[ Corrigé du baccalauréat technique de la musique et de la danse \ Métropole septembre 2011 E

E

1 6 points

1. On complète l’arbre de probabilités suivant qui correspond à cette situation :

0,80 M

0,75 R

0,25 R

0,20 D

0,60 R

0,40 R

2. a. La probabilité que l’élève interrogé soit musicien et soit retenu pour le spectacle estp(M∩R) : p(M∩R)=p(M)×pM(R)=0,80×0,75=0,60

b. D’après la formule des probabilités totales :

p(R)=p(M∩R)+p(D∩R)=p(M)×pM(R)+p(D)×pD(R)=0,60+0,20×0,60=0,72 3. p(M)=0,80 etp(R)=0,72 doncp(M)×p(R)=0,80×0,72=0,576

p(M∩R)=0,60

p(M)×p(R)6=p(M∩R) donc les événementsMetRne sont pas indépendants.

4. La probabilité que l’élève interrogé soit musicien sachant qu’il est retenu pour le spectacle estpR(M) : pR(M)=p(M∩R)

p(R) =0,60 0,72≈0,83

E

2 7 points

Partie 1. Étude graphique

On donne ci-dessous, dans un repère orthogonal, la courbeC représentative d’une fonctionf définie sur l’in- tervalle[_{0,5 ; 3}]_.

Par lecture graphique :

1. a. f(0,5)≈ −1 etf(3)≈5,6.

b. Le nombre réelαde l’intervalle[_{0,5 ; 3}]_{tel quef(α)=}0 vaut environ 1,9.

c. La valeur minimale de la fonctionf sur l’intervalle[_{0,5 ; 3}]est d’environ−2.

2. La fonctionf est positive sur l’intervalle]_{α; 3}]_.

1 2 3 4 5

−1

−2

1 2 3

1 2 3 4 5 6

−1

−2

1 2 3

b b

C

α O

Partie 2. Étude de la fonction

La fonctionf est définie, pour tout nombre réelxde[_{0,5 ; 3}]_{, parf(x)=x}²_{+2x−5−4lnx.}

1. f^′(x)=2x+2−4 x

2. (x−1)(x+2)=x²−x+2x−2=x²+x−2 3. f^′(x)=2x+2−4

x =2x²+2x−4 x =2¡

x²+x−2¢

x =2(x−1) (x+2)

x pour toutxde[_{0,5 ; 3}]_. 4. On étudie le signe de la fonction dérivéef^′sur l’intervalle[_{0,5 ; 3}]_:

x 0,5 1 3

x−1 − 0 +

x+2 + +

x + +

f^′(x) − 0 +

5. f(0,5)= −3,75−4 ln(0,5)≈ −0,977 ;f(1)= −2 etf(3)=10−4 ln(3)≈5,6

E

3 Enseignement obligatoire (au choix) 7 points

1. a. On part de la note LA. On ajoute quatre quintes donc 4×7=28 demi-tons et 28=2×12+4.

Si on ajoute un multiple de 12 demi-tons, on reste sur la même note ; en ajoutant 24 demi-tons on obtient donc un LA. En ajoutant 4 demi-tons de plus, on obtient la note DO#.

... LA ... ... LA LA# SI DO DO# RÉ ...

+24 +4

b. Une quarte fait 5 demi-tons donc quatre quartes font 4×5=20 demi-tons et 20=12+8.

En retranchant 12 demi-tons, on obtient la même note LA ; en retranchant 8 demi-tons de plus, on obtient la note DO#.

... DO DO# RÉ RÉ# MI FA FA# SOL SOL# LA ... ... LA LA# ...

−12

−8 On obtient donc la même note qu’à la questiona.

2. On désigne parnun entier naturel non nul.

a. 12≡0 (modulo 12) donc

12n≡0 (modulo 12) ⇐⇒7n+5n≡0 (modulo 12) ⇐⇒7n≡ −5n (modulo 12) b. On ajoutenquintes à la note LA ; donc on ajoute 7ndemi-tons.

Si on retranchenquartes à la note LA, on retranche 5ndemi-tons, ou on ajoute−5ndemi-tons. Or on a vu que 7n≡ −5n (modulo 12) donc les deux notes obtenues sont les mêmes, avecnoctaves d’écart.

3. On part de la note LA3.

a. On cherche la fréquence f1de la note obtenue en ajoutant quatre quintes à la note LA3. La suite des fréquences des notes est géométrique de raisonqavecq¹²=2.

Si on monte de 4 quintes, on monte de 4×7=28 demi-tons ;

la fréquence de la note obtenue est doncf1=440×q²⁸=440×2²⁸¹²≈2217 Hz.

b. On cherche la fréquence f2de la note obtenue en retranchant quatre quartes de la note LA3. Retrancher quatre quartes revient à retrancher 4×5=20 demi-tons ; la fréquence de la note obtenue est doncf2=440×q⁻²⁰=440×2⁻²⁰¹²≈139 Hz.

c. La différence de hauteur entre les deux notes de fréquencesf1etf2(avecf1>f2) est 10³log

µf1

f2

¶

=10³log

Ã440×2²⁸¹² 440×2⁻²⁰¹²

!

=10³log³ 2⁴⁸¹²´

=10³log¡ 2⁴¢

=4000 log(2)≈1204 savarts.

On obtient 1203 comme résultat si on calcule 10³log µ2217

139

¶ .

E

4 Enseignement renforcé (au choix) 7 points

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal¡

O,−→u,→−v¢

où l’unité graphique est 2 cm.

On note i le nombre complexe de module 1 et d’argumentπ 2. On considère le point A d’affixezA=1−i et le point B d’affixezB=p

3+i.

1. zB

zA= p3+i

1−i =

¡p3+i¢ (1+i) (1−i )(1+i ) =

p3+i+ip 3+i² 1−i² =

p3+i+ip 3−1

2 =

p3−1 2 +i

p3+1 2 2. a. Voir figure.

b. |zA| =p

1²+(−1)²=p

2 ; donczA=p 2

µ 1 p2−i 1

p2

¶

=p 2

Ãp 2 2 −i

p2 2

!

On cherche donc un réelαtel que cos(α)= p2

2 et sin(α)= − p2

2 ;α= −π

4 répond à la question.

Le nombre complexezAa donc pour modulep

2 et pour argument−π 4. 3. a. On sait que le module du nombre complexezBest 2. DonczB=2

Ãp 3 2 +i1

2

!

On cherche donc un nombreβtel que cos(β)= p3

2 et sin(β)=1 2;β=π

6 répond à la question.

Le nombre complexezBa donc pour module 2 et pour argument π 6.

b. Le module dezBest égal à 2 donc le point B se trouve sur le cercle de centre O et de rayon 2.

La partie imaginaire dezBest égale à 1 donc le point B se trouve sur la droite d’équationy=1.

Le point B se trouve donc à l’intersection du cercle et de la droite.

Voit figure.

4. a. D’après le cours,

¯

¯

¯

¯ zB

z_A

¯

¯

¯

¯=|zB|

|z_A|= 2 p2=p

2.

D’après le cours, arg µzB

zA

¶

=arg(zB)−arg(zA) à 2πprès, donc arg

µzB

zA

¶

=π 6−

³

−π 4

´

=π 6+π

4 =2π 12+3π

12 =5π

12 à 2πprès.

Le nombrezB

zAa pour modulep

2 et pour argument 5π 12. b. On en déduit que zB

zA=p 2

µ cos

µ5π 12

¶ +i sin

µ5π 12

¶¶

=p 2cos

µ5π 12

¶ +ip

2sin µ5π

12

¶ . c. On a vu que zB

zA=p 2cos

µ5π 12

¶ +ip

2sin µ5π

12

¶

et quezB

zA= p3−1

2 +i p3+1

2 ; par identification des parties réelles on peut dire que :

p p

−

→u

−

→v

b b

A

B

O −^π₄

π 6