= 2 + 2 = 4
= −1 + 2 = 1
= 2 − 1 = 1
= −1 − 1 = −2 Exercices 4, 5, 6, 7 et 8 page 315
N°4 page 315 : Attention piège !!!
Le joueur mise 1€ puis les gains possibles sont donnés dans le tableau.
En notant le gain algébrique du joueur (après avoir retranché la mise initiale), les valeurs possibles sont 4, −1 et −9 :
= 4 × 0,4 + −1 × 0,5 + −9 × 0,1 = 1,6 − 0,5 − 0,9 = 0,2
En jouant un grand nombre de parties, le gain à ce jeu, en moyenne, est de 20 centimes. Le jeu est donc favorable au joueur (ne rêvez pas, ça n’existe pas dans la vraie vie !).
N°5 page 315 :
La probabilité d’obtenir une boule jaune est au départ de et celle d’obtenir une boule verte est de . Mais attention : il n’y a pas remise de la carte avant le deuxième tirage !
Notons le gain algébrique en euros à l’issue des deux tirages.
On obtient ainsi le tableau suivant :
−2 1 4
= 10
28
15 28
3 28
Remarque : j’ai délibérément laissé qui pouvait se simplifier en mais le calcul de l’espérance est plus simple avec des fractions de même dénominateur.
= −2 ×10
28+ 1 ×15
28+ 4 × 3
28=−20 + 15 + 12
28 = 7
28= 0,25 L’espérance n’étant pas nulle, le jeu n’est pas équitable.
N°6 page 315 :
On mise une somme d’argent x qui sera retranchée au gain obtenu : On gagne alors 9 − ! euros en cas de multiple de 3 (3 ou 6)
On « gagne » −3 − ! dans les 4 autres cas (1, 2, 4 ou 5)
−3 − ! 9 − !
= 2
3
1 3 = −3 − ! ×2
3+ 9 − ! ×1
3=−6 − 2! + 9 − !
3 = −3! + 3 On cherche la valeur de ! donnant une espérance nulle : 3
= 0 ⇔ −3! + 3 = 0 ⇔ ! = 1
Conclusion : ce jeu est équitable si la mise de départ est de 1€ (les gains sont alors de 8€ ou −4€)
N°7 page 315 :
Avant de calculer la variance puis l’écart-type de la loi #, il est indispensable de calculer son espérance :
# = −1 × 0,3 − 2 × 0,6 + 3 × 0,1 = −0,3 − 1,2 + 0,3 = −1,2
# = −1 − −1,2× 0,3 + −2 − −1,2× 0,6 + 3 − −1,2× 0,1 = $, %&
Autre calcul avec l’autre formule :
# = −1× 0,3 + −2× 0,6 + 3× 0,1 − −1,2 = $, %&
Enfin l’écart-type : '# = (# = √2,16 ≈ %, +,
N°8 page 315 : Pour le jeu 1 :
= −2 × 0,3 + 1 × 0,6 − 1 × 0,1 = −0,1
' = (−2 − −0,1× 0,3 + 1 − −0,1× 0,6 + −1 − −0,1× 0,1 = (1,89 ≈ 1,37 Pour le jeu 2 :
# = −1 × 0,3 + 0 × 0,6 + 2 × 0,1 = −0,1
'# = (−1 − −0,1× 0,3 + 0 − −0,1× 0,6 + 2 − −0,1× 0,1 = (0,69 ≈ 0,83 Ces deux jeux ont la même moyenne mais deux écart-types différents.
L’écart-type est plus élevé pour le jeu 1 ce qui signifie que les valeurs du jeu 1 sont plus dispersées autour de la moyenne. Autrement dit, le jeu 1 est plus risqué que le jeu 2.
