E686 ‒ Jeu de quilles [**** à la main].
Problème proposé par Michel Lafond
Zig a devant lui un certain nombre de quilles alignées tous les 10 cm.
Il essaie de les renverser toutes avec une boule de 12 cm de diamètre. Pour cela, il n’a que deux techniques : Ou bien il vise une quille unique et l’atteint systématiquement (seule).
Ou bien il vise entre deux quilles consécutives encore debout et alors, - une fois sur deux il renverse les deux quilles ;
- une fois sur quatre il renverse uniquement la quille de gauche ; - une fois sur quatre il renverse uniquement la quille de droite.
Une stratégie lui permet de renverser toutes les quilles en moins de 10 tirs (en moyenne), mais aucune stratégie ne lui permettrait de renverser toutes les quilles en moins de 9 tirs (en moyenne).
Combien y a-t-il de quilles ? Solution de Daniel Collignon Réponse : il y a 13 quilles.
Notons e_i l'espérance minimale du nombre de tirs pour renverser i quilles selon une stratégie optimale
Naïvement :
* e_i =< i avec la stratégie consistant à viser quille par quille !
* e_{i+2} =< e_2 + e_i qu'on peut raffiner en ciblant les 2 premières quilles
* qui se généralise en e_n =< e_i + e_{n-i} en ciblant les i premières quilles
* [(i+1)/2] =< e_i, la moyenne étant au-dessus du cas le plus favorable où 2 quilles tombent systématiquement
Cela donne déjà un ordre de grandeur du nombre de quilles cherchées.
Intuitivement il semble plus intéressant de commencer par viser 2 quilles lorsque c'est possible puisqu'en moyenne on ne fait pas moins bien que le cas où on cible une quille (dans la moitié des cas, 1 quille tombe ; dans l'autre moitié des cas 2 quilles tombent ; en moyenne 1 quille tombe)
Il convient donc de calculer les premières valeurs pour voir précisément le moment du passage du seuil à 9 tirs.
e_0 = 0 e_1 = 1
e_2 = (1/2)*1+2*(1/4)*(1+e_1) = 3/2
e_3 = (1/2)*(1+e_1)+(1/4)*(1+e_2)+(1/4)*(1+2*e_1) = 19/8
A partir de là, on va utiliser la formule de récurrence e_n est le minimum pour a=0..[(n-2)/2] de
(1/2)(1 + e_a + e_{n-2-a}) + (1/4)(1 + e_a + e_{n-1-a}) + (1/4)(1 + e_{a+1} + e_{n-2-a})
= 1 + (1/4)e_{a+1} + (3/4)e_a + (3/4)e_{n-2-a} + (1/4)e_{n-1-a}
Remarque : sur les premières valeurs, il semblerait que le minimum soit atteint pour a=0, mais cela resterait à démontrer
e_4 = 95/32 e_5 = 483/128
e_6 = 2263/512 ...
Avec un tableur on obtient :
n e_n 0 0 1 1 2 1,5 3 2,375 4 2,96875 5 3,7734375 6 4,419921875 7 5,185058594 8 5,861206055 9 6,604095459 10 7,296928406 11 8,027303696 12 8,729522228 13 9,452858329 14 10,16035625
