E686. Jeu de quilles (* à *****)
Problème proposé par Michel Lafond
Zig a devant lui un certain nombre de quilles alignées tous les 10 cm.
Il essaie de les renverser toutes avec une boule de 12 cm de diamètre. Pour cela, il n’a que deux techniques : Ou bien il vise une quille unique et l’atteint systématiquement (seule).
Ou bien il vise entre deux quilles consécutives encore debout et alors,
• une fois sur deux il renverse les deux quilles ;
• une fois sur quatre il renverse uniquement la quille de gauche ;
• une fois sur quatre il renverse uniquement la quille de droite.
Une stratégie lui permet de renverser toutes les quilles en moins de 10 tirs (en moyenne),
mais aucune stratégie ne lui permettrait de renverser toutes les quilles en moins de 9 tirs (en moyenne).
Combien y a-t-il de quilles ? Solution de Paul Voyer
La "bonne" stratégie consiste à maximiser à chaque étape le nombre de paires de quilles consécutives, de façon à avoir le maximum de tirs à espérance de quilles renversées maximale.
Si n quilles sont consécutives, on vise la paire 1+2 (en extrémité).
- avec une probabilité 1/2, il reste n-2 quilles consécutives - avec une probabilité 1/4, il reste n-1 quilles consécutives
- avec une probabilité 1/4, il reste n-2 quilles consécutives et 1 quille isolée.
Dans ce dernier cas, la quille isolée ne peut être renversée qu'en la visant seule.
Si on appelle E(k) l'espérance mathématique du nombre de tirs nécessaires pour renverser k quilles consécutives, on peut écrire :
E(n) = 1+(1/2)E(n-2)+(1/4)E(n-1)+(1/4)[1+E(n-2)]
soit E(n)=5/4+(3/4)E(n-2)+(1/4)E(n-1).
Avec E(0)=0, E(1)=1, cela donne bien E(2)=3/2
(1/2 pour 2 quilles, ou 2*1/4 nécessitant un second tir d'espérance 1 quille renversée) Le tableau EXCEL en annexe donne :
E(12) = 8.73 n > 12 E(13) = 9.45
E(14) = 10.16 n < 14 n = 13
Annexe
0 0
1 1
2 1.5
3 2.375
4 2.96875
5 3.7734375 6 4.41992188 7 5.18505859 8 5.86120605 9 6.60409546 10 7.29692841 11 8.0273037 12 8.72952223 13 9.45285833 14 10.1603563 15 10.8797328
