E686 ‒ Jeu de quilles [**** à la main].
Problème proposé par Michel Lafond
Zig a devant lui un certain nombre de quilles alignées tous les 10 cm.
Il essaie de les renverser toutes avec une boule de 12 cm de diamètre. Pour cela, il n’a que deux techniques : Ou bien il vise une quille unique et l’atteint systématiquement (seule).
Ou bien il vise entre deux quilles consécutives encore debout et alors, - une fois sur deux il renverse les deux quilles ;
- une fois sur quatre il renverse uniquement la quille de gauche ; - une fois sur quatre il renverse uniquement la quille de droite.
Une stratégie lui permet de renverser toutes les quilles en moins de 10 tirs (en moyenne), mais aucune stratégie ne lui permettrait de renverser toutes les quilles en moins de 9 tirs (en moyenne).
Combien y a-t-il de quilles ? Solution de l'auteur.
Réponse: Il y a 13 quilles.
Notons le nombre moyen de tirs nécessaires au renversement de n quilles, en utilisant la meilleure stratégie possible. (Inconnue pour l’instant)
Si n = 1 on a évidemment car la stratégie est unique.
Si n = 2.
La stratégie consistant à viser les deux quilles l’une après l’autre nécessite deux tirs. [Moyenne 2 tirs]
La seule autre stratégie consiste à viser entre les deux quilles, et alors une fois sur deux il renverse les deux quilles [un tir suffit] et les autres fois il ne renverse qu’une quille au premier tir, il lui faut un deuxième tir pour la quille restante.
Avec cette stratégie, meilleure que la première, la moyenne est Donc Si n = 3.
Compte tenu de la symétrie, il n’y a que 3 possibilités au premier tir :
Viser la quille 1, viser la quille 2, viser entre les quilles 1 et 2. Ces possibilités seront notées [1], [2], [1-2].
Avec [1], on se ramène à un jeu à deux quilles, donc on aura au mieux Avec [2], on se ramène à un jeu à deux quilles séparées, donc on aura
Avec [1-2] on a l’arbre ci-dessous : [O désigne une quille encore debout et x un emplacement vide]
On aurait donc
La stratégie [1-2] est la meilleure donc On trouve ainsi :
probabilité 1 / 2 1 / 4 1 / 4
nombre de tirs 1 2 2
n 1 2 3 4 5 6
avec la meilleure
stratégie 1
x x O x O O O x O
1 2
Nombre de tirs encore nécessaires
en moyenne
Il se trouve qu’à chaque fois le meilleur premier tir est [1-2] (ou son symétrique [n – 1 - n ]) consistant à viser entre les deux quilles de gauche (ou de droite).
Nous démontrerons plus tard que ceci est général.
Désignons par STR la stratégie consistant à viser, dans un alignement de n quilles, les deux quilles de gauche, puis dans le cas où seule la quille de droite est renversée [situation O x O O O --- O] à viser au second tir la quille isolée, ce qui ramène le problème à un jeu à n – 2 quilles alignées, où l’on continue à appliquer STR.
L’arbre est :
Si désigne maintenant le nombre moyen de tirs nécessaires au renversement de n quilles, en utilisant la stratégie STR, on a donc :
Soit :
Le traitement classique de ce genre de suite mène à : pour tout . [On peut le démontrer aussi par récurrence].
La stratégie STR garantit donc un renversement de 13 quilles en tirs en moyenne, soit moins de 10 tirs.
On a
Si on démontre que STR est la meilleure stratégie possible, le nombre inconnu n de quilles du problème est donc nécessairement 13, puisqu’au-delà de 13 quilles, il faudrait plus de 10 tirs en moyenne avec la meilleure stratégie, et avec moins de 13 quilles, 9 tirs suffisent en moyenne.
Démontrons que STR est la meilleure des stratégies.
Posons
Il faut prouver que toute stratégie ST différente de STR mène à un nombre moyen de tirs supérieur à
Pour cela démontrons d’abord que viser une quille unique au premier tir est moins bon que STR.
Supposons cette affirmation vraie avec 2, 3, ---, n – 1 quilles au départ du jeu. (Hypothèse de récurrence) C’est vrai pour 2, 3, 4, 5, 6 quilles comme on l’a vu dans le tableau plus haut.
Soit maintenant un jeu à n quilles et supposons qu’on vise la quille numéro q au premier tir.
On peut supposer par symétrie, donc
Après avoir visé, donc atteint, la quille numéro q, il reste :
D’après l’hypothèse de récurrence, il faudra au mieux (en moyenne) un nombre total de tirs égal à : [Si q = 1, on a posé
En notant pour simplifier on a :
x x O O --- O x O O --- O O x O O --- O Nombre de tirs encore nécessaires
en moyenne
O O --- O x O O O O --- O q – 1 n – q
Il faut prouver
Or cette inégalité équivaut après multiplication par 49 et quelques simplifications à :
Or donc (1) s’écrit :
Or, si q est pair,
et si q est impair,
Dans tous les cas, donc dans (2), puisque
Ainsi, ou bien q = 1 et
ou bien q > 1 et . Et (2) est encore vraie.
L’inégalité dans (2) est bien stricte, ce qui achève la récurrence.
Enfin, démontrons que viser deux quilles consécutives (sauf 1-2) au premier tir est moins bon que STR.
Supposons cette affirmation vraie avec 2, 3, ---, n – 1 quilles au départ du jeu. (Hypothèse de récurrence) C’est vrai pour 2, 3, 4, 5, 6 quilles comme on l’a vu dans le tableau plus haut.
Soit maintenant un jeu à n quilles et supposons qu’on vise au premier tir les quilles consécutives q et q + 1 avec . On peut supposer par symétrie, donc
L’arbre des possibilités après le premier tir est :
D’après l’hypothèse de récurrence, il faudra au mieux (en moyenne) un nombre total de tirs égal à :
Il faut prouver
Or cette inégalité équivaut après multiplication par et de nombreuses simplifications à : (3) équivaut à
Mais et donc (4) équivaut à :
ou enfin Cette dernière inégalité est vraie car
Ce qui achève la récurrence.
O O --- O x x O --- O O O O O --- O x O --- O O O O O --- O x O --- O O O
