Devoir de synthèse 2

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L.S.Marsa Elriadh

Devoir de synthèse 2

^{M : Zribi}

4^ème Sc Bon travail

Exercice 1 ( 7 points):

L’espace est muni d’unrepère orthonormé ^{O i j k}^{, , ,}^{  } ; on considère les points A(0,0,-1) ; B(1,1,-4) ,C(0,1,-2) et I(-2,-1,-2).

1) a) Justifier que les points A, B et C déterminent un plan P.

b) Prouver qu’une équation cartésienne de P est 2x+y+z+1=0 c) Prouver que IABC est un tétraèdre et calculer son volume.

2) Soit S l’ensemble des points M(x,y,z) de l’espace tel que x²+y²+z²+4x+2y+4z+3=0.

a) Justifier que S est la sphère de centre I et de rayon 6 . b) Prouver que P est tangent à S en A.

3) Soit Q : 2x+y+z+4=0.

a) Prouver que P et Q sont strictement parallèles.

b) Montrer que Q et (IA) sont perpendiculaire en ( 1, ¹, ³)

2 2

E .

c) Justifier que Q et S se coupent selon un cercle que l’on présiera.

Exercice ( 6 points):

1) soit g la fonction définie sur 0, par g x( ) 1 x 2 lnx . a. Dresser le tableau de variations de f .

b. Calculer g(1) et en déduire le signe de g sur 0, . c. En déduire que

1 1

0 1 0 1 0

si x alors g et si x alors g

x x .

2) Soit f la fonction définie sur 0, ^{( )} ^{² ln} ⁰ (0) 0

f x x x x si x

par f . on désine par Cf sa

représentation graphique dans un repère orthonormé ^{O i j}^{, ,}^{ } . a. Calculer ^lim ^{( )} ^lim ^{( )}

x x

f x et f x

x .

b. Interpréter graphiquement les résultats obtenus.

3) a. Prouver que f est continue à droite en 0.

b. Montrer que f est dérivable à droite en 0.

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2

4) a. Donner une équation de la demie tangente ∆ à Cf au point d’abscisse 0.

b. Etudier la position de ∆ et Cf .

5) a. Calculer f’(x), pour tout x>0 et vérifier que f x'( ) x g( )¹ x . b. Dresser le tableau de variations de f.

c. Prouver que l’équation f(x)=0 admet dans 0, une unique solution α et que 1,7<α<2.

6) Tracer ∆ et Cf dans le repère ^{O i j}^{, ,}^{ } . Exercice ( 7 points):

Soit f la fonction définie sur 2, ( ) 2 e x

par f x

x ; on désigne par Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé ^{O i j}^{, ,}^{ } .

1) a) Calculer

( 2)

lim ( ) lim ( )

x x

f x et f x .

b) Interpréter graphiquement les resultats obtenus.

2) a) Montrer que pour tout ^2, ^; ^{'( )} ₂³

2 e x x

x f x

x .

b) Dreser le tableau de variations de f.

3) a) Donner une équation cartésienne de la tangente D à Cf au point d’abscisse 0.

b) Tracer Cf et D .

4) Soit g la fonction définie sur 2, par g x( ) f x( ) x .

a) Prouver que g réalise une bijection de 2, sur un intervalle J que l’on précisera.

b) En déduire que g(x)=0 admet dans 2, une unique solution et que

0 1 .

5) Utiliser le tableau de signe ci-contre et montrer que pour tout 0,1 ; '( ) ³

x f x 4 .

6) Soit U la suite définie sur IN par U₀ 0 et U_n₁ f U( _n) . a) Montrer que pour tout n IN; 0 U_n 1 .

b) Montrer que pour tout ; ₁ ³

n 4 n

n IN U U .

c) En déduire que pour tout ; ³ 4

n

n IN Un .

d) Jutifier que la suite U converge vers α.