Exercice 1

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Exercice 1

Les questions suivantes sont indépendantes et les réponses devront être justifiées avec soin.

Question 1 : Résoudre l’équation e^x²=e⁻^x.

Question 2 : Soitf la fonction définie sur ]0;+∞[ parf(x)=lnx x² . Calculerf^′(x).

Question 3 : On considère les fonctionsf etF définies surRparf(x)=xe^x²etF(x)=1 2e^x². Justifier queF est une primitive def surRet calculer

Z₁

0 f(x)dx.

Question 4 : SoitX une variable aléatoire uniforme sur l’intervalle [2; 5]. CalculerP(X ∈[3 ; 4]).

Question 5 : Soitf une fonction dérivable surRtelle queA(1 ; 3)∈C_f _et_f^′₍₁₎= −2.

Déterminer une équation de la tangente àC_f _{au point}_A.

Exercice 2

PARTIEI ÉTUDE D’UNE FONCTION

Soit f la fonction définie surRpar

f(x)=xe^x²⁻¹.

C_f est la courbe représentative de la fonctionf dans un repère orthonormé du plan. On note f^′la fonction dérivée de f.

1. (a) Montrer que pour tout réelx, f^′(x)=¡

2x²+1¢ e^x²⁻¹. (b) En déduire le sens de variation de f surR.

2. Soithla fonction définie surRpar

h(x)=x

³1−e^x²⁻¹´ .

(a) Justifier que l’inéquation 1−e^x²⁻¹>0 a pour ensemble de solutions l’intervalle [−1 ; 1].

(b) Déterminer le signe deh(x) sur l’intervalle [−1 ; 1].

(c) En remarquant que pour tout réelx, on a l’égalitéh(x)=x−f(x), déduire de la question précédente la position relative de la courbeC_f et de la droiteD d’équationy =xsur l’intervalle [0 ; 1].

3. SoitHla fonction définie surRparH(x)=1 2x²−1

2e^x²⁻¹et soitI= Z₁

0 h(x) dx.

On admet queH est une primitive de la fonctionhsurR. Calculer la valeur exacte deI.

PARTIEII APPLICATIONS

Sur le graphique suivant, sont tracées sur l’intervalle [0 ; 1] :

• la courbeC_f représentative de la fonction étudiée dans la partie I ;

• la courbeC_g représentative de la fonction définie parg(x)=x³;

• la droiteDd’équationy=x.

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(2)

0,5 1,0

0,5 1,0 x

y

C_f

C_g

0,125 M+

D

Les courbesC_f etC_g illustrent ici la répartition des salaires dans deux entreprises F et G :

• sur l’axe des abscisses,x représente la proportion des employés ayant les salaires les plus faibles par rapport à l’effectif total de l’entreprise ;

• sur l’axe des ordonnées, f(x) etg(x) représentent pour chaque entreprise la proportion de la masse salariale (c’est-à-dire la somme de tous les salaires) correspondante.

Par exemple :

Le point M(0,5 ; 0,125)est un point appartenant à la courbeC_g. Pour l’entreprise G cela se traduit de la façon suivante :

si on classe les employés par revenu croissant, le total des salaires de la première moitié (c’est-à-dire des 50 % aux revenus les plus faibles) représente 12,5 % de la masse salariale.

1. Calculer le pourcentage de la masse salariale détenue par 80 % des employés ayant les salaires les plus faibles dans l’entreprise F. On donnera une valeur du résultat arrondie à l’unité.

2. On noteA_f l’aire du domaine délimité par la droiteD, la courbeC_f et les droites d’équations x=0 etx=1.

On appelle indice de Gini associé à la fonction f, le nombre réel notéI_f et défini parI_f = 2×A_f.

(a) Montrer queI_f =1 e.

(b) On admet que, plus l’indice de Gini est petit, plus la répartition des salaires dans l’entreprise est égalitaire. Déterminer, en justifiant, l’entreprise pour laquelle la distribution des salaires est la plus égalitaire.

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Exercice 3

Un opérateur de téléphonie mobile constate que, chaque année, il perd 8 % de ses précédents abonnés et que, par ailleurs, il gagne 3 millions de nouveaux abonnés. En 2013, le nombre d’abon- nés était de 20 millions. On s’intéresse au nombre d’abonnés, en millions, pour l’année 2013+n.

En supposant que cette évolution se poursuit de la même façon, la situation peut être modélisée par une suite (un) définie par :

½ u₀=20

u_n+1=0,92un+3, pour tout entier natureln

Le termeu_ndonne une estimation du nombre d’abonnés pour l’année 2013+n.

PARTIEI ÉTUDE DE LA SUITE

1. (a) En utilisant cette modélisation, l’opérateur décide d’arrondir les résultats à 10⁻³. À quoi correspond ce choix d’arrondi ?

(b) Déterminer le nombre d’abonnés en 2014 et 2015.

2. On définit la suite (vn) pour toutnentier naturel parv_n=u_n−37,5.

Démontrer que (v_n) est une suite géométrique de raison 0,92 et préciser son premier terme.

3. Exprimerv_nen fonction den.

En déduire que, pour tout entier natureln,un= −17,5×0,92ⁿ+37,5.

4. Déterminer le nombre d’abonnés, en millions, en 2020. Arrondir à 10⁻³. 5. Déterminer le sens de variation et la limite de la suite (un).

6. L’opérateur peut-il espérer dépasser les 30 millions d’abonnés ? Au bout de combien d’an- nées ?

PARTIEII UN ALGORITHME

Compte tenu des investissements, l’opérateur considère qu’il réalisera des bénéfices lorsque le nombre d’abonnés dépassera les 25 millions.

1. Compléter l’algorithme suivant afin de déterminer le nombre d’années nécessaires à partir de 2013 pour que l’opérateur fasse des bénéfices.

Variables : N un nombre entier naturel non nul U un nombre réel

Traitement : Affecter àU la valeur 20 Affecter àNla valeur 0 Tant que . . . .

Affecter àUla valeur 0,92×U+3 Affecter àNla valeurN+1 Fin Tant que

Sortie : Afficher . . . .

2. Déterminer, par la méthode de votre choix, la valeur affichée par l’algorithme et en donner une interprétation.

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Exercice 4

Une agence de voyage propose des formules week-end à Londres au départ de Paris pour les- quelles le transport et l’hôtel sont compris. Les clients doivent choisir entre les deux formules :

« avion + hôtel » ou « train + hôtel » et peuvent compléter ou non leur formule par une option « visites guidées ».

Une étude a produit les données suivantes :

• 40 % des clients optent pour la formule « avion + hôtel » et les autres pour la formule « train + hôtel » ;

• parmi les clients ayant choisi la formule « train + hôtel », 50 % choisissent aussi l’option « visites guidées » ;

• 12 % des clients ont choisi la formule « avion + hôtel » et l’option « visites guidées ».

On interroge au hasard un client de l’agence ayant souscrit à une formule week-end à Londres. On note :

Al’évènement : le client interrogé a choisi la formule « avion + hôtel » ; T l’évènement : le client interrogé a choisi la formule « train + hôtel » ; V l’évènement : le client interrogé a choisi l’option « visites guidées ».

1. (a) Quelle est la probabilité de l’évènement : le client interrogé a choisi la formule « avion + hôtel » et l’option « visites guidées » ?

(b) Calculer la probabilitéP_A(V).

(c) Représenter cette situation à l’aide d’un arbre pondéré.

2. (a) Montrer que la probabilité pour que le client interrogé ait choisi l’option « visites gui- dées » est égale à 0,42.

(b) Calculer la probabilité pour que le client interrogé ait pris l’avion sachant qu’il n’a pas choisi l’option « visites guidées ». Arrondir le résultat au millième.

3. L’agence pratique les prix (par personne) suivants :

Formule « avion + hôtel » : 390e Formule « train + hôtel » : 510e Option « visites guidées » : 100e

Quel montant du chiffre d’affaires l’agence de voyage peut-elleespérerobtenir avec 50 clients qui choisissent un week-end à Londres ?

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