Formalité linéaire analytique

ANNALES

DE LA FACULTÉ DES SCIENCES

Mathématiques

DIDIERARNAL, MOUNACHAABOUNI ETMABROUKAHFAIEDH

Formalité linéaire analytique

Tome XXVIII, n^o1 (2019), p. 129-143.

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Centre de diffusion des revues académiques de mathématiques

pp. 129-143

Formalité linéaire analytique

Didier Arnal⁽¹⁾, Mouna Chaabouni⁽²⁾ et Mabrouka Hfaiedh⁽³⁾

RÉSUMÉ. — Dans ce papier nous étudions la restriction de la formalité de Kont- sevich à la sous-algèbre des tenseurs linéaires, dans l’algèbre de Lie des tenseurs sur R^d. On établit que c’est une formalité analytique.

ABSTRACT. — In this paper, we study the restriction of the Kontsevich formality to the subalgebra of the linear polyvectors in the algebra of polyvector fields onR^d. We prove that this formality is an analytic map.

1. Introduction

NotonsTpoly(R^d) l’algèbre de Lie différentielle graduée des multichamps de vecteurs munie de la différentielle nulle et du crochet de Schouten, et Dpoly(R^d) l’algèbre de Lie différentielle graduée des opérateurs polydifféren- tiels munie de la différentielle de Hochschild et du crochet de Gerstenhaber.

Les éléments de degréndans T_poly(R^d) sont les (n+ 1)-champs de vec- teurs, et les éléments de degrémdansDpoly(R^d) sont les opérateurs (m+ 1)- différentiels. Dans les espaces gradués décalésT_poly(R^d)[1] etD_poly(R^d)[1] ce sont les (n+2)-champs de vecteurs (resp. les opérateurs (m+2)-différentiels) qui sont de degrén(resp.m).

(*)Reçu le 8 février 2017, accepté le 15 mars 2017.

Classification Mathématique (2010) :53D50, 53D55, 05C30.

(1) Institut de Mathématiques de Bourgogne, UMR 5584, Université de Bourgogne-Franche Comté UFR Sciences et Techniques BP 47870, F-21078 DIJON Cedex (France) — Didier.Arnal@u-bourgogne.fr

(2) Laboratoire de Mathématiques appliquées et d’Analyse Harmonique, LR/11/ES-52, Université de Sfax, Faculté des sciences de Sfax, route de Soukra, BP 1171, 3000 SFAX (Tunisia) — mounaelloumichaabouni@gmail.com

(3) Université de Sfax, Faculté des sciences de Sfax, route de Soukra, BP 1171, 3000 SFAX (Tunisia) — mabrouka_hfaiedh@yahoo.fr

Article proposé par Bertrand Toën.

Toute algèbre de Lie différentielle graduée est uneL_∞-algèbre. Cela signi- fie en particulier que les structures d’algèbres de Lie différentielles graduées sur T_poly(R^d) et D_poly(R^d) induisent des codérivations Q et Q⁰ de degré 1 sur les cogèbresS⁺(Tpoly(R^d)[1]) etS⁺(Dpoly(R^d)[1]), vérifiant toutes deux l’équation maîtresse :

[Q, Q] = 0 et [Q⁰, Q⁰] = 0.

UnL_∞-morphisme de T_poly(R^d) versD_poly(R^d) est par définition un mor- phisme de cogèbres

F:S⁺(T_poly(R^d)[1])→S⁺(D_poly(R^d)[1])

de degré 0 et commutant aux codérivations, c’est à dire vérifiant l’équation : F ◦Q=Q⁰◦ F.

Si la restriction deF à Tpoly(R^d) est un quasi-isomorphisme de complexes deT_poly(R^d) dansD_poly(R^d), on dira queF est une formalité.

M. Kontsevich a défini dans son article [7] une formalité qui est unique- ment déterminée par ses coefficients de Taylor :

Fn:Sⁿ(Tpoly(R^d)[1])→Dpoly(R^d)[1].

Si lesαi sont des ki-champs de vecteurs, alorsFn(α1. . . αn) est d’ordre k1+. . .+kn−2ndansDpoly(R^d)[1]. C’est à dire un opérateurm-différentiel,

avec n

X

i=1

ki= 2n+m−2. (1.1)

Les Fn sont construits à l’aide des graphes et des poids associés à ces graphes (pour les définitions voir les parties 2 et 3).

SoitG_n,ml’ensemble des graphes admissibles ànsommets aériens (numé- rotés) etmsommets terrestres. Soit Γ un graphe deG_n,m, etk_ile nombre de flèches partant du sommet aérienidans Γ. A toutn-uplet de multi-champs de vecteurs (α₁, . . . , αn), tel que chaque αi soit un ki-champ de vecteurs, on associe un opérateurm-différentielBΓ(α1, .., αn), oùmest donné par la relation 1.1. L’opérateurBΓ(α1, . . . , αn) dépend des dérivées des coefficients des tenseursαi.

L’applicationFn est alors donnée par la formule : Fn(α1. . . αn) = X

Γ∈Gn,m

wΓBΓ(α1, . . . , αn) où le poidsw_Γ est un nombre réel dépendant uniquement de Γ.

NotonsAn,ml’ensemble des graphes admissibles tels que sur chaque som- met aérien il arrive au plus une flèche. Dans cet article, le nombre d’éléments

deG_n,m et de A_n,m est d’abord majoré, puis une majoration du poids w_Γ associé à Γ est établie. Ces majorations sont des généralisations des résultats d’Andler, Dvorsky et Sahi dans [2].

Ensuite, on restreint la notion de formalité à l’espace des tenseurs li- néaires c’est à dire à l’ensembleT_poly⁽¹⁾ (R^d) des tenseursαdont les coefficients α^i1...ik sont des fonctions linéaires. En effet, cet espace est une sous-algèbre deT_poly(R^d). On a donc une notion de formalité linéaire. La restrictionF⁽¹⁾ de la formalité de Kontsevich à T_poly⁽¹⁾ (R^d) est un exemple de formalité li- néaire.

On établit alors que F⁽¹⁾ est analytique. Plus précisément il existe une suiteRn,mde fonctions analytiques en 0 telle que, pour tous tenseurs α1, . . . , αn, tous vecteursa1, . . . , am, etx,

F_n⁽¹⁾(α1. . . αn)(e^a1x, . . . , e^amx) =Rn,m(x, aj, αi)e^(a1+...+am)x

2. Graphes et opérateurs

2.1. Graphes admissibles

On se place surR^d, un vecteurx∈R^dest déterminé par ses coordonnées, siaetxsont des vecteurs, on poseax=X

i

aⁱxⁱ. Un tenseur complètement antisymétrique, ou multi-champ de vecteursαest donné par ses coordonnées α^r1,...,rk(x), complètement antisymétriques en lesr_s :

α= X

r₁,...,r_k

α^r1,...,rk(x)∂r₁∧. . .∧∂r_k, où∂_r= _∂x^∂

r.

Dans cette section et la suivante, on rappelle la construction de Kontse- vich d’une formalité naturelle surR^d.

Définition 2.1. — Un graphe orienté est une paire (V_Γ, E_Γ) de deux ensembles finis ordonnés tels queEΓ est un sous-ensemble de VΓ×VΓ.

Les éléments deVΓ sont les sommets deΓ et les éléments deEΓ sont les flèches deΓ. Si e= (v1, v2)∈EΓ est une flèche, on dit que e part dev1 et arrive surv2 et on écrite=−−→v1v2.

On se restreint aux graphes admissibles, c’est à dire aux éléments des ensemblesG_n,m:

Définition 2.2. — Pour chaque couple de nombres naturels (n, m), on dit que le graphe orientéΓ appartient àGn,msi :

1. Γpossède (n+m)sommets et 2n+m−2 flèches.

2. L’ensemble des sommetsVΓ est{1, . . . , n}∪{1, . . . , m}, les sommets 1, . . . , n sont dits aériens, les sommets1, . . . , mterrestres.

3. Les flèches−−→v1v2 partent toutes d’un sommet aérien. Leur ordre est compatible : les flèches issues du sommeti précèdent les flèches is- sues du sommeti+ 1.

4. Il n’y a pas de petites boucles :Γn’a pas de flèche de la forme −vv.→ 5. Il n’y a pas de flèches doubles : sie=−−→v1v2 et e⁰ =−−→

v1v⁰₂ sont deux flèches deΓ, alorsv26=v₂⁰.

Soit Γ∈G_n,mun graphe admissible. De chaque sommet aérieni, il sortk_i flèches notées : (e¹_i, e²_i, . . . , e^k_iⁱ). Notonsstar(i) l’ensemble de ces flèches. On noteraGn,m(k1, . . . , kn) le sous-ensemble deGn,mformé des graphes tels que

|star(i)|=ki pour touti(siX est un ensemble, on note|X| son cardinal).

Exemple 2.3. —L’ensembleG_0,2a un seul élément : le graphe possèdant les sommets 1 et 2 et aucune flèche.

De même |G1,2| = 5 : il y a un seul graphe sans flèche, deux avec une seule flèche et, en tenant compte de l’ordre des flèches, deux à deux flèches.

Exemple 2.4. —(voir [2]) Pour m = 2, et ki = 2 pour tout i, Γ a n sommets aériens et deux sommets terrestres, de chaque sommet aérien sort deux flèches, pas de flèche sortant de 1 et 2. Comme il n’y a pas de boucles, ni de flèches doubles, pour chaquestar(i), il y a (n+ 1) choix pour la pre- mière flèchee¹_i etn choix pour la deuxième flèchee²_i. Donc il y a n(n+ 1) manières de dessiner la paire de flèches partant d’un sommetiet par suite Gn,2(2, . . . ,2) est fini de cardinal (n(n+ 1))ⁿ.

2.2. Majoration de |Gn,m(k1, . . . , kn)|

Les graphes deGn,montnsommets aériens etmsommets terrestres. Pour estimer|Gn,m|, il suffit de compter le nombre des flèches aériennes (aboutis- sant sur un sommet aérien) et le nombre des flèches terrestres (aboutissant

sur un sommet terrestre) possibles du graphe Γ. Soit i un sommet aérien.

D’abord, on ne tient pas compte de l’ordre sur les flèches.

1. Flèches aériennes arrivant suri

Soit aucune flèche n’arrive suri (1 choix), soit une seule flèche aé- rienne arrive suri(n−1 =C_n−1¹ choix), soit deux flèches aériennes arrivent suri(C_n−1² choix),. . . , soitn−1 flèches aériennes arrivent suri(C_n−1ⁿ⁻¹choix). Il y a donc 1 +C_n−1¹ +C_n−1² +. . .+C_n−1ⁿ⁻¹= 2ⁿ⁻¹ choix possibles de flèches arrivant suri.

2. Flèches terrestres issues du pointi

Soit il n’y a aucune flèche terrestre (1 choix), soit il y a une seule flèche terrestre (C_m¹ choix), soit deux flèches terrestres (C_m² choix),. . . , soitmflèches terrestres (C_m^m choix).

Donc il y a : 1 +C_m¹ +C_m² +. . .+C_m^m= 2^mchoix possibles de flèches terrestres issues du pointi.

Donc, sans tenir compte de leur ordre, il y a 2^n−1+mpossibilités de choix de telles flèches pour chaque sommeti, (16i6n) et (2^n+m−1)ⁿ choix de flèches au total. Il reste à fixer l’ordre compatible, parmi les

n

Y

i=1

ki! possibi- lités, comme il y a une relation entre les |star(i)| et le nombre des flèches énumérées ci-dessus, on n’obtient qu’une majoration :

Lemme 2.5. — Le nombre total |Gn,m(k1, . . . , kn)| de graphes admis- sibles, ayantnsommets aériens,m sommets terrestres et, pour chaquei,ki

flèches issues du sommetiest majoré par :

|Gn,m(k1, . . . , kn)|6(2^n+m−1)ⁿ

n

Y

i=1

ki!.

Par exemple, sim= 2 etki= 2 pour chaque i, comme dans [2],

|Gn,2(2, . . . ,2)|62ⁿ⁽ⁿ⁺²⁾.

2.3. Majoration de |A_n,m(k₁, . . . , k_n)|

On noteAn,mle sous ensemble des graphes admissibles deGn,mtels que sur chaque sommet aérien il arrive au plus une flèche, etAn,m(k1, . . . , kn)

l’ensemble des graphes deA_n,m tels que|star(i)|=k_i pour touti.

Lemme 2.6. — On a la majoration :

|An,m(k1, . . . , kn)|6(2^mn)ⁿ

n

Y

i=1

ki!6(2^me)ⁿn!

n

Y

i=1

ki!.

Preuve. — Pour décrire un graphe Γ deA_n,m, il suffit de regarder les différentes situations pour chaque sommet aérieni.

1. Flèches aériennes arrivant suri

En comptant le cas où il n’y a aucune flèche aboutissant ài, il y a nchoix possibles.

2. Flèches terrestres issues du pointi

Comme ci-dessus, le sommet i est relié soit à aucun sommet ter- restre, soit 1, etc. . . Il y a 1 +C_m¹ +. . . .+C_m^m= 2^mcas possibles.

Alors il y a au plus 2^mnchoix pour chaque sommeti, et en tenant compte de l’orientation de l’ensemble des flèches sortant de chaque sommet, on obtient le résultat

|An,m(k1, . . . , kn)|6(2^mn)ⁿ

n

Y

i=1

ki! D’autre part on sait que :nⁿ6n!eⁿ, d’où

|An,m(k1, . . . , kn)|6(2^me)ⁿn!

n

Y

i=1

ki!.

2.4. L’opérateurBΓ(α1, . . . , αn)

A chaque graphe admissible Γ deG_n,m(k₁, . . . , k_n), on associe un opéra- teur multi-différentielB_Γ(α₁, . . . , α_n) nul sauf si chaqueα_iest unk_i-tenseur.

Notons|k|=P

iki, et{−→e1, . . . ,−→e_|k|} l’ensemble des flèches de Γ, rangées dans leur ordre. A las^i`emeflèche −→e_s, on associe un indicer_s, compris entre 1 etd.

Soit a un sommet aérien ou terrestre de Γ. Si les flèches arrivant sur a sont {−e→s₁, . . . ,−−→es_`a} (l’ordre n’importe pas), on leur associe l’opérateur différentiel :

Da=Da(rs) =∂r_s1. . . ∂r_s`a.

D’autre part, si on poseK_i=k₁+. . .+k_i−1pour touti>2 etK₁= 0, les flèches issues du sommetisont (dans leur ordre){−−−→e_Ki+1, . . . ,−−−−→e_Ki+ki}.

Dans le cas où chaqueαi est unki-tenseur,BΓ(α1, . . . , αn) est un opéra- teurm-différentiel surR^d dont la valeur sur les fonctionsf1, . . . , fm est :

B_Γ(α₁, . . . , α_n)(f₁, . . . , f_m) = X

16r_s6d

Y

i

D_iα^r_i^{Ki+1,...,rKi+ki}Y

j

D_jf_j. (2.1) Dans cette formule, lesα^r_i^{Ki+1,...,rKi+ki} sont les composantes du tenseurα_i. Exemple 2.7. —(voir [4]) Prenons n= 3, m= 2 et ki = 2 pour tout i, et choisissons le graphe Γ deG3,2(2,2,2) suivant, où l’ordre des flèches est fixé par celui des indicesr₁,. . . , r₆ :

1 2

1 B

B B

B B

B r₁N

b b

b b

b b

b b

b b j

r2

2 A A

A A

A A

A A r4U PP

PP PP q

r3

3

"

"

"

"

"

"

"

"

"

"

r₅

r₆

Le graphe Γ

L’opérateurBΓ(α1, α2, α3) correspondant à ce graphe Γ est : (f₁, f₂)7→ X

r1,...,r6

α^r₁^1r2α^r₂^3r4∂_r3α^r₃^5r6 ∂_r1r5f₁∂_r2r4r6f₂.

3. Espace de configuration et poids

Pour finir de définir la formalité de Kontsevich, il faut sommer les opéra- teursBΓ(α1, . . . , αn) affectés d’un poidswΓ.

Définition 3.1. — Soit H= {z ∈ C : Im(z) >0} le demi-plan de Poincaré. L’espace de configurationConfn,mest l’ensemble des nuages den pointspi dans Hetmpoints réels qj :

Confn,m=

(p1, . . . , pn, q1, . . . , qm) : pi∈ H, qj ∈R, pi6=pi⁰, qj6=qj⁰ sii6=i⁰, j6=j⁰ .

L’ensembleConf_n,mest une variété différentielle de dimension 2n+m.

Si 2n+m>2, le groupeGdes transformations affines : G={z7→az+b : a >0, b∈R}

agit librement surConfn,m. L’espace quotient Cn,m=Confn,m/G est une variété de dimension 2n+m−2.

Les espaces Conf_n,m et C_n,m ont m! composantes connexes, on note Conf_n,m⁺ respC_n,m⁺ les composantes telles queq₁< . . . < qm.

On plonge l’espace de configurationC_n,m⁺ dans une variété compacte de la façon suivante. Chaque fois que l’on prend deux pointsaetbdeH, on leur associe l’angleArg(b−a), à chaque triplet de points (a, b, c) deR, on associe l’élément [a−b, b−c, c−a] de l’espace projectifP²(R) qu’ils définissent. On définit ainsi une applicationG-invariante :

Φ :e Conf_n,m⁺ →K_n,m=T(2n+m)(2n+m−1)×(P²(R))(2n+m)(2n+m−1)(2n+m−2)

En faisant le quotient par le groupeG, on obtient un plongement Φ deC_n,m⁺ dans une variété compacte :

Φ :C_n,m⁺ →Kn,m.

On définit le compactifiéC⁺_n,m de l’espace C_n,m⁺ comme étant la fermeture dansK_n,m de Φ(C_n,m⁺ ). (Pour plus de détails voir [5]).

Exemple 3.2. — Puisqu’on peut par l’action de G, amener p₁ en √

−1, ouq₁ en 0 etq₂ en±1, on trouve, en petites dimensions :

Conf1,0=H, C1,0' {√

−1}, C0,2=Conf0,2/G' {−1, 1}.

De même, en posantt=q2q3dans la paramétrisation deC0,3,

C1,1=Conf1,1/G'R, C0,3' {±1} × ]− ∞,0[∪]0,1[∪]1,∞[

. De même :

C_2,0=Conf_2,0/G' H \ {√

−1 }, C_1,2'R²\ {(t, t) : t∈R}.

3.1. Définition du poids

Le poidswΓ associé à Γ∈Gn,mest défini par l’intégrale d’une forme sur l’espace de configurationC_n,m⁺ (voir [7, 3]).

Si c est un point de C_n,m⁺ , on trace le graphe Γ sur un représentant (pi, qj) ∈ Conf_n,m⁺ de c, en plaçant le sommet i en pi, le sommet j en qj

et la flèche−→

ii⁰ (resp.−→

ij) est dessinée comme l’arc du cercle passant par ces deux points et centré sur l’axe réel.

A chacune de ces flèchese, on associe l’angle Φe entreeet l’axe vertical issu depi vers +∞:

Φ_e(p, q) =Arg

p_i⁰ −p_i pi⁰ −pi

, ou Arg

q_j−p_i qj−pi

Cet angle ne dépend pas du choix du représentant de c, on a donc une application ΦΓ : C_n,m⁺ → T^|k|, ΦΓ(c) = (Φe₁(c), . . . ,Φe_|k|(c)), et une |k|- forme surC_n,m⁺ :

ω_Γ = 1 (2π)^|k|

1

k! dΦ_e1∧. . .∧dΦ_e|k|, où k! =Qn

i=1k_i!. Le poids w_Γ est l’intégrale de cette forme sur la variété C_n,m⁺ :

wΓ= Z

C⁺_n,m

ωΓ.

On a doncwΓ = 0 sauf si les ki satisfont la relation 1.1. Dans ce cas, on montre quewΓ est fini.

3.2. Majoration du Poids|w_Γ|

Le poidswΓ a été majoré par Andler, Dvorsky et Sahi dans [2] sim= 2.

De même, on a pour les graphes deAn,m :

Lemme 3.3. — Pour tout grapheΓdeAn,m(k1, . . . , kn), on a

|wΓ|62^2n+m−2 k! .

Preuve. — On ne considère que le cas|k| = 2n+m−2, et n >0, le casn= 0 étant trivial. On a vu que ωΓ est l’image réciproque de la forme volume du tore T^2n+m−2 sous l’application ΦΓ : C_n,m⁺ → T^2n+m−2. Un pointc deC_n,m⁺ est donné par son représentant (pi, qj) tel que p1 =√

−1.

Si φ = (φs) ∈ Φ(C_n,m⁺ ), ses antécédents sont les c tels que pour chaque

s, si es = −→

ii⁰ (resp.es =−→

ij), (pi, pi⁰) (resp. (pi, qj)) sont les solutions des équations quadratiques :

(z⁰−z)(z⁰−z) =e²

√−1φs(z⁰−z)(z⁰−z) (3.1)

Il y a ainsi 2n+m−2 équations quadratiques dans Cde type 3.1 dont les variables sontp₂, . . . , p_n, q₁, . . . , q_m, ou les 2n+m−2 variables réelles (Re(p_i),Im(p_i), q_j, 26i6n, 16j6m).

Génériquement, chaque équation 3.1 a deux racines, chaque pointφd’un ouvert dense de ΦΓ(C_n,m⁺ ) a donc 2^2n+m−2 antécédents. Donc si V est le volume du toreT^2n+m−2, on a :

|w_Γ|6 2^2n+m−2V

(2π)^2n+m−2k! 6 2^2n+m−2 k! .

4. Formalité

4.1. La formalité de Kontsevich

L’espaceTpoly(R^d) possède une structure d’algèbre de Lie graduée diffé- rentielle lorsqu’on le munit du degrédeg(α) =k−1 si αest unk-tenseur, de la différentielle nulle et du crochet de Schouten :

(−1)^{(k−1)(k0−1)}[ξ1∧. . .∧ξk, η1∧. . .∧ηk⁰] =

=X

i,j

(−1)^i+j[ξi, ηj]∧ξ1∧. . .ξbi. . .∧ξk∧η1∧. . .ηbj. . .∧ηk⁰. (La notationξbi signifie que le termeξi est omis.)

De même l’espace D_poly(R^d) est une algèbre de Lie différentielle gra- duée lorsqu’on le munit du degré deg(D) = m−1 si D est un opérateur m-différentiel, de la différentielle donnée par l’opérateur de cobord de Hoch- schild :

(−1)^m+1dD(f0, . . . , fm) =f0D(f1, . . . , fm)+

+ X

16`6m

(−1)<sup>`</sup>D(f<sub>0</sub>, . . . , f<sub>`−1</sub>f_`, . . . , f_m) + (−1)^m+1D(f₀, . . . , f_m−1)f_m,

et du crochet de Gerstenhaber, antisymétrisé de la composition : (D◦D⁰)(f1, . . . , fm+m⁰−1) =

=

m−1

X

`=0

(−1)<sup>`(m0−1)</sup>D(f1, . . . , f`, D⁰(f`+1, . . . , f`+m⁰), . . . , fm+m⁰−1).

Une algèbre de Lie différentielle graduée (g, d,[, ]) est une L_∞-algèbre (pour cette construction, voir par exemple [1]). On considère d’abord son décalég[1], muni du degré|x|=deg(x)−1, puis l’algèbre graduée symétrique S⁺(g[1]) avec :

x·x⁰ = (−1)^|x0||x|x⁰·x=ε_x0,x x,x⁰

x⁰·x.

On munit cette algèbre de la déconcaténation :

∆(x1·. . .·xn) = X

ItJ={1,...,n}

n>|I|>0

ε(^x1x^,...,x_Ix_Jⁿ)xI

OxJ.

(SiI ={i1, . . . , ik}, xI =xi₁·. . .·xi_k, le signe est celui de la permutation (^x1x^,...,x_Ix_Jⁿ) en tenant compte des degrés desxi). On pose alors Q1(x) =dx, Q₂(x, y) = (−1)^deg(x)[x, y]. Ces applications ont chacune un seul prolonge- ment en des codérivations de ∆ :

Q1(x1·. . .·xn) =X

i

ε _x1...xn

xix₁...

xbi...xn

Q1(xi)·x1·. . .xbi. . .·xn. Q2(x1·. . .·xn) =X

i<j

ε _x1...xn

x_ix_jx₁...

xb_i...

xb_j...x_n

Q2(xi, xj)·x1·. . .xbi. . .xbj· · · ·xn. AlorsQ=Q₁+Q₂ est une codérivation de ∆ qui satisfait l’équation maî- tresse [Q, Q] = 0.

Soient (S⁺(g[1]), Q), (S⁺(g⁰[1]), Q⁰) deuxL∞-algèbres, un morphismeF de L∞-algèbres entre elles est donné par une suite d’applications linéaires Fn :Sⁿ(g[1])→g⁰[1], de degrés 0, prolongée en un morphisme des déconca- ténations en posant :

F(x₁·. . .·x_n) =X

j>0

1 j!

X

I₁t···tIj={1,...,n}

I₁...I_j6=∅

ε x^xI¹1^...x...xⁿ_Ij

F_|I1|(x_I1)·. . .· F_|Ij|(x_Ij),

et telle queF ◦Q=Q⁰◦ F.

Dans le casg=T_poly(R^d),g⁰=D_poly(R^d), cette relation se réduit à : Q⁰₁(Fn(α1·. . .·αn)) +1

2

X

ItJ={1,...,n}

I,J6=∅

ε(^αα¹_I^...α,α_Jⁿ)Q⁰₂(F_|I|(αI)· F_|J|(αJ)) =

= 1 2

X

k6=`

ε _α1...αn

α{k,`},α

{1,..., k,`,...,n}b

F_n−1(Q2(αk·α`)·α1·. . .αck. . .cα`· · · ·αn).

Définition 4.1. — Soit g=Tpoly(R^d), g⁰ =Dpoly(R^d). Une formalité est unL_∞-morphismeF deS⁺(g[1])versS⁺(g⁰[1])dont le terme linéaireF₁ est l’identification canonique des tenseurs à des opérateurs poly-différentiels d’ordre1, . . . ,1 :

F1(α)(f₁, . . . , f_k) =hα, df1∧. . .∧df_ki.

Cette notion est due à M. Kontsevich qui a montré que l’application F définie par :

Fn(α₁, . . . , α_n) =X

m

X

Γ∈Gn,m

w_ΓB_Γ(α₁, . . . , α_n)

est une formalité. En particulier, il a montré que la relation de Stokes sur les diverses formesωΓdéfinies sur chaqueC_n,m⁺ et les faces de son bord implique queF est unL_∞-morphisme (voir [7, 3]).

4.2. Formalité linéaire analytique

Dans toute la suite on se restreint à l’espace T_poly⁽¹⁾ (R^d) des tenseurs li- néaires, plus précisément les coefficients des tenseurs α sont des fonctions linéaires. Pour tousr₁, . . . , r_k, il existe des vecteursα^r1,...,rk deR^dtels que :

α(x) = X

r₁,...,r_k

(α^r1,...,rkx)∂r₁∧. . .∧∂r_k.

Par définition du crochet de Schouten, T_poly⁽¹⁾ (R^d) est une sous algèbre de Lie différentielle graduée de Tpoly(R^d). On a donc une notion de L_∞- morphisme et de formalité linéaire.

Définition 4.2. — On dira qu’unL_∞-morphismeF =X

n

FndeT_poly⁽¹⁾(R^d) dansDpoly(R^d)est une formalité linéaire siF1 est l’identification canonique d’un tenseur linéaire à un opérateur poly-différentiel d’ordre1, . . . ,1.

Bien entendu, la restrictionF⁽¹⁾de la formalité de Kontsevich àT_poly⁽¹⁾ (R^d) est une formalité linéaire.

Considérons maintenantF⁽¹⁾ comme une application (non linéaire) sur T_poly⁽¹⁾ (R^d). Pour étudier l’analyticité de cette fonction, on se restreint à l’es- paceT_k⁽¹⁾ des tenseurs linéaires d’ordre au plusk. Un tel tenseur s’écrit :

α=X

i

α_i, avec deg(α_i) =k_i−16k−1.

On écrit alors formellemente^α−1 =X

n>1

αⁿ

n!, et on considère l’application : α7→ F⁽¹⁾(e^α−1) =

+∞

X

n=1

1 n!

X

i1,i2,...,in

F_n⁽¹⁾(αi₁·. . .·αi_n).

Son imageF⁽¹⁾(e^α−1) est un opérateur multidifférentiel formel : F⁽¹⁾(e^α−1) =X

m

Dm(α)

=X

m

X

β₁,...,β_m

Em(x, αi)β₁...β_m∂^β1⊗. . .⊗∂^βm.

(4.1)

On dira que F⁽¹⁾ est analytique si pour chaque m la fonction symbole (x, αi, ξj) 7→ X

β1,...,βm

Em(x, αi)β1...βmξ₁^β1. . . ξ_m^βm de Dm(α) est analytique.

De façon équivalente,

Définition 4.3. — Une formalité linéaire F, qu’on écrit F(e^α−1) = X

m

D_m(α), est dite analytique si, pour chaquek, il existe une suite de fonc- tions analytiques en 0 :

Rm:R^d×T_k⁽¹⁾×(R^d)^m→R telle que pour toutα=X

i

αi deT_k⁽¹⁾, pour tout(a₁, . . . , am)de(R^d)^m, Dm(α)(e^a1x, . . . , e^amx) =Rm(x, αi, aj)e^(a1+...+am)x.

Avec cette définition,

Théorème 4.4. — La formalité linéaire de Kontsevich F⁽¹⁾ est analy- tique.

Preuve. — Par définition de A_n,m, si Γ est un graphe de G_n,m\A_n,m, l’opérateur BΓ(α1, . . . , αn) s’annule sur (T_poly⁽¹⁾ (R^d))ⁿ. La restriction de la formalité de Kontsevich àT_poly⁽¹⁾ (R^d) est donc :

F_n⁽¹⁾(α₁, . . . , α_n) =X

m

X

Γ∈An,m

w_ΓB_Γ(α₁, . . . , α_n).

Soit Γ∈An,m(k1, . . . , kn), en utilisant la relation 2.1 : B_Γ(α₁, . . . , α_n)(f₁, . . . , f_m) = X

16r_s6d

Y

i

D_iα^r_i^{Ki+1,...,rKi+ki}Y

j

D_jf_j, on a avec les notations de 4.1 :

BΓ(α1, . . . , αn)(e^a1x, . . . , e^amx) = X

β₁,...,β_m

EΓ(x, αi)β₁...β_m

Y

j

∂^βje^ajx

= (X

β,γ

X

s,r

Y

i

α^r_i,s^{Ki+1,...,rKi+ki}

i x^γY

j

a^β_j^j)e^(a1+...+am)x

= (X

δ,β,γ

C_δ,γ,β^Γ Y

i,r,j

(α^r_i)^δi,rx^γa^β_j^j)e^(a1+...+am)x.

(4.2)

Ici α^r_i,s^{Ki+1,...,rKi+ki}

i est la coordonnée s_i du vecteur α^r_i = α^r_i^{Ki+1,...,rKi+ki}, δ= (δi,r) est un multi-indice tel queP

rδi,r = 1. Comme la somme dans 2.1 contientd^2n+m−2 termes,

|C_δ,γ,β^Γ |6d^2n+m−2.

Mais le nombre de flèches terrestres de Γ est |β| =P

j|βj|, donc celui des flèches aériennes est A = 2n+m−2− |β|. Bien sûr, |γ| = n−A =

|β|+ 2−m−n, donc le degré des monômes qui apparaissent dans 4.2 est : n+|γ|+X

j

|βj|= 2n+m−2 + 2|γ|>2n+m−2.

Donce^−xP_a

jDm(α)(e^a1x, . . . , e^amx) est une série entière en les coordonnées des vecteursα^r_i,xetaj dont le coefficient du terme

Y

i,r,j

(α^r_i)^δi,rx^γa^β_j^j est, si on posen=P

|δi,r|, et si chaque α_i est unk_i-tenseur, Cδ,γ,β= 1

n!

X

Γ∈An,m(k)

wΓC_δ,γ,β^Γ .

On a donc :

|Cδ,γ,β|6 1

n!|An,m(k)| sup

Γ∈A_n,m(k)

|wΓ||C_δ,γ,β^Γ |

6 1

n!(2^me)ⁿn!Y

i

ki!2^2n+m−2 Q

iki! d^2n+m−2 6(2^m+1ed)^2m+n−26(2^m+1ed)

P_|δ

i,r|+|γ|+P

j|β_j|

.

Finalement,Rm(x, αi, aj) est la somme de cette série entière. Si on pose

|x|= sup

s

|x_s|, |α_i|= sup

r₁,...,r_ki,s

|α^r_i,s^1,...,rki|, etk(x, α_i, a_j)k= sup{|x|,|α_i|,|a_j|}, Rm est analytique sur la boule de centre 0 et de rayon ₂m+1¹ed (voir par exemple [6]).

Bibliographie

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[2] M. Andler, A. Dvorsky&S. Sahi, « Kontsevich quantization and invariant distri- butions on Lie groups »,Ann. Sci. Éc. Norm. Supér.35(2002), n^o3, p. 371-390.

[3] D. Arnal, D. Manchon&M. Masmoudi, « Choix des signes pour la formalité de M.

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[4] N. Ben Amar, M. Chaabouni&M. Hfaiedh, « Kontsevich deformation quantization on Lie algebras »,Boll. Unione Mat. Ital. Sez. B Artic. Ric. Mat. (8)10(2007), n^o2, p. 365-379.

[5] W. Fulton&R. MacPherson, « A compactification of configuration spaces »,Ann.

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[6] R. C. Gunning&H. Rossi,Analytic functions of several complex variables, Prentice- Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1965.

[7] M. Kontsevich, « Deformation quantization of Poisson manifolds »,Lett. Math. Phys.

66(2003), n^o3, p. 157-216.