2 Fonctions circulaires

Fonctions usuelles

1 Fonctions puissances

D´efinition. On appellepuissance d’exposant α l’application

f_α : R Ñ R

x ÞÑ x^α

A savoir.`

Courbes repr´esentatives.

1 2 3 4

1 2 3 4

2 Fonctions circulaires

2.1 Fonctions circulaires directes Rappels.

Rappelons cependant : (a) @xP R,cos²x sin²x1

(b) @xP Rr ^π₂ πZ

,tanx ^sin_cos^x_x

(c) Le formulaire de trigonom´etrie est `a connaˆıtre.

(d) cos et sin sont 2π-p´eriodiques, d´efinies, continues et d´erivables surR et cos¹ sin et sin¹ cos.

tan est π-p´eriodique, d´efinie, continue, d´erivable sur Rr ^π₂ πZ

, et tan¹x _cos¹2x 1 tan²x.

Ce logo signale un lien vers une animationgeogebradisponible sur le sitempsi1.lamartin.fr/geogebra

(e) Les courbes repr´esentatives sont :

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

(f) L’utilisation du cercle trigonom´etrique pour retrouver les relations cos ^π₂ x

sinx

-1 1

-1 1

α cosα

sinα tanα

O

2.2 Fonctions circulaires r´eciproques

2.2.1 Rappel de terminale

Th´eor`eme.

Si une fonction f : ra, bs Ñ R est continue etstrictement monotone avec ra, bsun intervalle

ferm´e born´e,alors pour toutkcompris entrefpaqetfpbq, l’´equationfpxq kadmet une unique solution dansra, bs.

G´en´eralisation.

Si une fonction f :s 8, 8rÑ R est continue et strictement monotonesur cet intervalle, et quef admet`<sub>1</sub> et`₂ pour limite en8et 8respectivement, alors pour toutkcompris entre`₁ et

`₂, l’´equation fpxq k admet une unique solution danss 8, 8r.

Remarque.

Remarque. Sous les hypoth`eses du premier th´eor`eme, cela signifie que l’on peut d´efinir une application, not´ee f¹ et appel´eeapplication r´eciproque de f par :

f¹ : J rfpaq, fpbqs Ñ ra, bs

y ÞÑ l’uniquex tel queyfpxq

Sa courbe repr´esentative est sym´etrique de celle de f par rapport `a la premi`ere bissectrice.

Th´eor`eme.

On se place sous les hypoth`eses pr´ec´edentes. On se donne yP rfpaq, fpbqs ourfpbq, fpaqs. On notex son unique ant´ec´edent par f dans ra, bs. Si de plusf est d´erivable sur ra, bset f¹pxq 0, alors f¹ est d´erivable eny et :

f¹₁

pyq 1

f¹pf¹pyqq

2.2.2 Arcsinus Pr´esentation.

D´efinition.

Arcsin : r1,1s Ñ

^π₂,^π₂

y ÞÑ x unique ´el´ement der^π₂,^π₂s t.q. sinxy

Remarque.

Exemple.

Arcsin 00 Arcsin 1 π

2 Arcsin

?3 2 π

3 Arcsin sin^2π₃

Propri´et´e.

(a) sinpArcsinxq x @xP r1,1s

(b) Arcsinpsinxq

$'

&

'%

x 2kπ ou

πx 2kπ

avec kP Z.

Propri´et´e.

(a) Arcsin est d´efinie surr1,1set est impaire

(b) Arcsin est continue, strictement croissante sur r1,1s

(c) Arcsin est d´erivable sur s 1,1r de d´eriv´ee x ÞÑ ^?₁¹_x2. Arcsin n’est pas d´erivable en 1 et 1, mais sa courbe y admet une tangente verticale.

Remarque.Etudier le domaine de d´´ efinition deArcsinpgpxqq, c’est chercher lesxde Dg tels quegpxq P r1,1s.

Cela revient `a r´esoudre l’in´equation 1g²pxq ¥0.

Courbe repr´esentative.

-3 -2 -1 1 2 3

-3 -2 -1 1 2 3

2.2.3 Arccosinus D´efinition.

Arccos : r1,1s Ñ r0, πs

x ÞÑ y l’unique ´el´ement der0, πs tel que cosyx

Exemple.

Arccos 0 π

2 Arccos

?2 2 π

4 Arccos

1 2

2π

3 Arccos

cos

π 6

π

6 Arccos

cos

13π 12

11π 12

Propri´et´e.

(a) Arccospcosxq @xP R (celui qui est dans r0, πs) (b) cospArccosxq x @xP r1,1s Propri´et´e.

(a) Arccos est continue strictement d´ecroissante sur r1,1s

(b) Arccos est d´erivable surs 1,1r de d´eriv´eex ÞÑ ^?₁¹_x2. Arccos n’est pas d´erivable en 1 et 1, mais sa courbe y admet une tangente verticale.

Courbe repr´esentative.

-3 -2 -1 1 2 3

-3 -2 -1 1 2 3

Th´eor`eme.

@xP r1,1s, Arcsinx Arccosx π 2

2.2.4 Arctangente D´efinition.

Arctan : R Ñ

^π₂,^π₂ x ÞÑ l’uniquey P

^π₂,^π₂

tel que tanyx

Exemple.

Arctan 00 Arctan 1 π

4 Arctan

tan 2π

3

π 3

Propri´et´e.

(a) Arctanptanxq x kπ avec kP Z, (celui de s ^π₂,^π₂r) @xP Rrt^π₂ kπ, k P Zu

(b) tanpArctanxq x @xP R

Propri´et´e.

(a) Arctan est d´efinie surR et est impaire

(b) Arctan est continue strictement croissante sur R

(c) Arctan est d´erivable sur Rde d´eriv´eexÞÑ ₁¹_x2, et donc Arctan est de classe C⁸ surR. Courbe repr´esentative.

-3 -2 -1 1 2 3

-3 -2 -1 1 2 3

Th´eor`eme.

@x¡0, Arctanx Arctan1

x π

2 et donc par imparit´e

@x 0, Arctanx Arctan1

x π

2

3 Fonctions exponentielles, logarithmes

3.1 Fonction logarithme n´ep´erien

D´efinition. Soit f : R Ñ R

x ÞÑ ¹_x

f est continue sur R, donc admet des primitives surR.

L’unique primitive de f qui s’annule au point 1 est appel´eefonction logarithme n´ep´erien

@x¡0, lnx

»_x

1

1 tdt

Propri´et´e.

(a) ln est continue, d´erivable sur R, de d´eriv´eexÞÑ _x¹ (b) ln est strictement croissante surR.

Courbe repr´esentative.

1 2 3 4 5

-2 -1 1 2

Propri´et´e alg´ebrique.

@pa, bq P R², lnpabq lnpaq lnpbq

Remarque.

3.2 Fonction exponentielle

D´efinition.

exp : R Ñ R

x ÞÑ exppxq e^x y qui est l’unique r´eel strictement positif dont le ln est ´egal `a x

Propri´et´e.

(a) exp est continue sur R, strictement croissante et strictement positive.

(b) exp est d´erivable, de d´eriv´eeexp donc de classe C⁸ sur R

Courbe repr´esentative.

-3 -2 -1 1 2

1 2 3 4 5

Propri´et´e alg´ebrique.

@pa, bq P R², e^{a b}e^ae^b

3.3 Fonctions logarithmes de base b

Dans ce paragraphe, bP R rt1u

D´efinition. On appellefonction logarithme de base bet on note log_b l’application deR dansRd´efinie par

@x¡0, log_bpxq lnx lnb

Exemple. Le logarithme d´ecimal est log₁₀. Propri´et´e.

(a) log_b est d´erivable sur R et@x¡0, plog_bq¹pxq _xln¹ _b, elle estC⁸. (b) log_b10

(c) @px, yq P R², log_bpxyq log_bx log_by

(d) @a, bP R rt1u, @xP R, log_bxlog_balog_ax (e) @bP R rt1u, @xP R, log1

bxlog_bx Courbe repr´esentative.

1 2 3 4 5

-2 -1 1 2

3.4 Fonctions exponentielles de bases b

Dans ce paragraphe `a nouveau, bP R rt1u

D´efinition.On appellefonction exponentielle de baseb, et on note exp_bl’application deRdansR bijection r´eciproque de log_b.

Proposition.

@xP R, exp_bxe^xlnb

Propri´et´e.

(a) exp_b est d´erivable surR etexp¹_bpxq lnbexp_bpxq donc de classeC⁸ sur R. (b) exp_b est un isomorphisme des groupes pR, qetpR,q,i.e.

exp_bpx yq exp_bpxq exp_bpyq

Corollaire.

Attention. Les r`egles de calculs sur les exposants ne sont plus du tout valables ! Courbe repr´esentative.

-3 -2 -1 1 2

1 2 3 4 5

4 Fonctions hyperboliques directes

4.1 Cosinus et sinus hyperboliques D´efinition. On appelle :

cosinus hyperbolique l’application ch : R Ñ R

x ÞÑ chx e^x e^x

2

sinus hyperbolique l’application sh : R Ñ R

x ÞÑ shx e^xe^x

2 Propri´et´e.

(a) ch est paire, continue, d´erivable sur R et pour toutx, ch¹xshx (b) sh est impaire, continue, d´erivable sur R et pour toutx, sh¹xchx

(c)

(d) ´Etude des branches infinies : Courbes repr´esentatives.

-3 -2 -1 1 2 3

-3 -2 -1 1 2 3

Remarque.

Th´eor`eme.

@xP R, ch²xsh²x1

4.2 Tangente hyperbolique

D´efinition. th : R Ñ R

x ÞÑ thx shx

chx e^xe^x e^x e^x Propri´et´e.

Courbes repr´esentatives.

-3 -2 -1 1 2 3

-3 -2 -1 1 2 3

4.3 Extension avec l’exponentielle complexe

Rappel.

Remarque.

5 Fonctions hyperboliques r´ eciproques

5.1 Argument sinus hyperbolique

D´efinition.

Argsh : R Ñ R

x ÞÑ l’uniqueyP Rt.q.xshy

Exemple. Argsh 00 Propri´et´e.

(a) Argsh est d´efinie surR et est impaire.

(b) Argsh est continue, strictement croissante sur R.

(c) Argsh est d´erivable sur R, de d´eriv´eexÞÑ ^?_x¹2 1, et donc Argsh est C⁸ surR (d) On a @xP R, Argshpxq lnpx ?

x² 1q. Courbe repr´esentative.

-3 -2 -1 1 2 3

-3 -2 -1 1 2 3

5.2 Argument cosinus hyperbolique

D´efinition.

Argch : r1, 8r Ñ R

x ÞÑ l’uniquey P R t.q. xchy

Exemple. Argch 10 Propri´et´e.

(a) Argch est d´efinie surr1, 8r.

(b) Argch est continue, strictement croissante sur r1, 8r.

(c) Argch est d´erivable sur s1, 8r, de d´eriv´eexÞÑ ^?_x¹21, et donc Argch est C⁸ surs1, 8r. (d) Argch n’est pas d´erivable en 1, mais sa courbe y admet une tangente verticale.

(e) On a@xP R, Argchpxq lnpx ?

x²1q. Courbe repr´esentative.

1 2 3 4

1 2 3 4

Remarque.

• Que valent sh Argshet Argshsh?

• Que valent ch ArgchetArgchch?

5.3 Argument tangente hyperbolique D´efinition.

Argth : s 1,1r Ñ R

x ÞÑ l’uniqueyP R t.q.xthy Propri´et´e.

(a) Argth est d´efinie surs 1,1ret est impaire.

(b) Argth est continue, strictement croissante sur s 1,1r.

(c) Argth est d´erivable sur s 1,1r, de d´eriv´eexÞÑ ₁¹_x2, et donc Argth estC⁸ surs 1,1r. (d) On a @xPs 1,1r, Argthpxq ¹₂ln

1 x 1x . Courbe repr´esentative.

-3 -2 -1 1 2 3

-3 -2 -1 1 2 3

5.4 Compl´ements Remarque.

Maple.

sin cos tan sinh cosh tanh

arcsin arccos arctan arcsinh arccosh arctanh

exp ln

R´ esum´ e des fonctions usuelles

fpxq d´efinie sur d´erivable sur f¹pxq courbe remarque

-3 -2 -1 1 2 3

-3 -2 -1 1 2 3

-3 -2 -1 1 2 3

-3 -2 -1 1 2 3

-3 -2 -1 1 2 3

-3 -2 -1 1 2 3

-3 -2 -1 1 2 3

-3 -2 -1 1 2 3

-3 -2 -1 1 2 3

-3 -2 -1 1 2 3

-3 -2 -1 1 2 3

-3 -2 -1 1 2 3

-3 -2 -1 1 2 3

-3 -2 -1 1 2 3

Fonctionscirculairesdirectesetr´eciproques 2.1R´esoudredansRles´equationssuivantes: (a)Arcsinp2xqArcsinp? 3xqArcsinpxq (b)2ArcsinxArcsinp2x? 1x2q (c)Arctanpx1qArctanxArctanpx1qπ 2 Oncommenceraparmontrerqu’ilexisteuneuniquesolution fctusu_1.tex 2.2Montrerl’´egalit´e: 4Arctan1 5Arctan1 239π 4 fctusu_6.tex 2.3Simplifierl’expressionsuivante,lorsqu’elleestd´efinie: fpxqArctanc 1cosx 1cosx fctusu_15.tex 2.4V´erifierque2arctan1 2arctan4 3. fctusu_36.tex 2.5Soitf:xÞÑarcsinpsinxq.Simplifierl’expressiondefet construiresacourberepr´esentative. fctusu_37.tex 2.6R´esoudrel’´equationArcsin2x 1x2π 3.fctusu_51.tex Fonctionshyperboliquesdirectesetr´eciproques 2.7Calculer(px,aqPR2 ,nPN ) Snⁿ1¸ k0ch2 pxkaqetS1 nⁿ1¸ k0sh2 pxkaq fctusu_12.tex

2.8CalculerSn

n¸ k0chpakbqo`upa,bqPR2 etnPN fctusu_13.tex 2.9 (a)MontrerquepourtoutaPR , tha2 th2a1 tha (b)SoitxPR.´ Etudierlaconvergencedelasuitedetermeg´en´eral: unⁿ1¸ k02k thp2k xq fctusu_14.tex 2.10Simplifierl’expressionsuivante,lorsqu’elleestd´efinie: fpxqlnc 1thx 1thx fctusu_16.tex 2.11Simplifierlesexpressionssuivantes: (a)chp2Argthxq (b)thp3Argthxq (c)sh1 2Argchx (d)Argthx? 1x2 (e)Argth13thx 3thx. fctusu_27.tex 2.12 (a)R´esoudreArgchpxqArgshp2xq (b)(b.1)

# 2 ch2t2cht1 ´ Etablirlesrelations: 3 ch3t4cht3cht 32 (b.2)R´esoudreArgchp4x3xqArgchp2x1q1

fctusu_28.tex 2.13Rappelerlad´efinitiondeshyetcelledeArgshx.End´eduire l’expressiondeArgshxparuneautrem´ethodequecelleducours.fc- tusu_29.tex 2.14R´esoudre: (a)chx3 (b)shx? 2 (c)ch2xsh2x3 (d)ch2 xsh2 x3 (e)7chx2shx9 (f)shx4sh2xsh3x0 fctusu_30.tex 2.15MontrerquepourtoutxPR, |arctanpshxq|arccos 1 chx fctusu_39.tex 2.16D´eterminerlalimiteen8de: chx 1shxx fctusu_40.tex Fonctionslogarithmes,exponentiellesetpuissances 2.17R´esoudredansR(aPR rt1u):logax¡loga3p3x2q fctusu_9.tex 2.18R´esoudredansRR# logyxlogxy50 7 xy256

fctusu_10.tex 2.19R´esoudrel’´equation(xPR): logx102log10x103log100x10

fctusu_11.tex 2.20MontrerquepourtoutxPs1,1r,ona: lnp1xq x¤lnp1|x|q |x| fctusu_22.tex

´ Etudesdefonctions 2.21

´ Etudierlafonctionfd´efiniepar: cc 1sinx1cosx fpxqArccosArcsin 22 fctusu_8.tex 2.22 ln|x| ´ EtudierlafonctionxÞÑx |x|

fctusu_52.tex 2.23

2´ EtudierlafonctionxÞÑpxlnxqxp1lnxq1fctusu_53.tex 2.24

´ Etudierlafonctionetdonnerl’alluredesacourberepr´esen- tative: x1 xÞÑth x1 fctusu_45.tex 2.25

´ Etudierlad´erivabilit´eetcalculerlad´eriv´eedexÞÑ 1x Arcsin. 1x fctusu_44.tex 2.26

´ Etudierlesvariationsetrepr´esenterlacourbede 2 xÞÑpx1qArctanx fctusu_33.tex