RÉSUMÉ DE LA THÉORIE MÉTRIQUE DES PRODUITS TENSORIELS TOPOLOGIQUES

TOPOLOGIQUES

PAR A. GROTHENDIECK (SÃO PAULO)

INTRODUCTION. 1. Contenu du travail.

Ce travail présente une théorie à peu près complète sur le sujet indiqué par son titre, à cela près que nous avons omis la plupart des démonstrations. Sa véritable raison d’être réside dans les résultats du §3 et surtout du §4, nºs 2, 4, 5, résultats tout à fait nouveaux sur les classiques espacesL¹,L²,L⁸, qui justi- fient les développements un peu longs des §§1,2. Les idées directrices résultant de façon assez naturelle de [4] (notamment Chap.1, §4, nº6 ; voir [5] pour un résumé de [4]). En principe, ce travail est cependant autonôme et ne demande pas la lecture de [4] et [5]. On peut même remarquer que la théorie des produits tensoriels topologiques d’espaces localement convexes généraux gagne en clarté et simplicité à être exposée d’abord pour les espaces de Banach. (En effet, la lec- ture de [4] montrera que presque toutes les questions de la théorie générale, y compris la théorie des espaces nucléaires, se ramènent en réalité à des questions sur les espaces de Banach).

Jusqu’au §3, nº4 le texte ne contient presque aucune démonstration. La plu- part de ses énoncés relèvent d’une technique assez standard, qui sera bien fami- lière par exemple au lecteur de [4]. Certains résultats-clefs, notamment ceux du

§2, nº1, sont traités in extenso dans [4] (et les démonstrations se trouvent déjà esquissées dans [5]). Tout au plus la démonstration de certains résultats du §3 (Notamment le th.2, corollaire 3, et le th.3) ne se borne pas à des redites ou à une morne routine. - Par contre, j’ai donné des démonstrations essentiellement completes pour les résultats fondamentaux difficiles (§3, nº5, th.4 et §4, nº3). Je pense qu’à partir du §3, nº5, tous les raisonnements peuvent être sans difficulté réconstruits par le lecteur attentif, à l’aide des indications détaillées du texte.

A défaut de démonstrations complètes, j’ai pris le plus grand soin à bien dé- gager la suite logique des idées et des propositions (qui constituait l’essentiel du travail de mise au point) et de montrer comment les unes étaient conséquences naturelles des autres. Aussi je pense que ce texte devrait permettre au lecteur attentif une domination rapide de la théorie.

Les besoins d’un cadre plus vaste que dans [4] et [5] nous ont obligés de

1

revoir complètement la terminologie et les notations antérieurs dans la théorie des produits tensoriels topologiques. Celles que nous avons, fini par adopeter semblent posséder toutes les propriétés désirables de simplicité, cohérence et sy- métrie.

Remarquons que nous aurions pu nous dispenser de développer tout le for- malisme desb-normes (§§1,2,3) pour formuler et démontrer les résultats fon- damentaux du §4. Mais il me semble que, comme en mainte occasion analogue, cela aurait économisé encre et papier aux dépens de l’effort intellectuel du lec- teur. En effet, ce n’est que par ces préliminaires que l’on arrive à donner les énoncés sous la forme concise et suggestive qui permet de saisir, d’un seul coup, les relations entre les très nombreuses variantes du théorème fondamental, et qu’on parvient à une compréhension véritable de la théorie.

Signalons enfin que d’asses nombreux résultats dignes d’intérêt, mais non in- dispensables pour une bonne compréhension générale, on dû être passés sous silence. On espère qu’un exposé complet d’au moins une partie de la théorie, avec des résultats divers en exercices, pourra trouver sa place dans un livre ac- tuellement en préparation, en collaboration par L. Nachbin et l’auteur, sur la théorie des espaces localement convexes.

2. Terminologie et notations générales.

Nous supposons une bonne connaissance de la théorie des espaces de Banach, l’algèbre multilinéaire, l’intégration, et suivons de façon générale la terminolo- gie de N. Bourbaki (voir notamment [1], [2]).

a. Généralités algébriques. Tous les espaces vectoriels envisagés sont des es- paces de Banach, sur le corps des réels ou des complexes. Si E,F, Gsont des espaces de Banach, E¹ désigne le dual de E, LpE;Fq l’espace des applications linéaires continues de EdansF, BpE,F;Gq l’espace des applications bilinéaires continues deEˆFdansG; siGest le corps des scalaires, on écrit simplement BpE,Fq. Ces espaces sont munis des normes naturelles qui en font encore des espaces de Banach. Si APLpE;Fq, on désigne par^tAla transposée de A, c’est donc un élément deLpF¹;E¹q.

SiAPBpE,Fq, on identifiera aussi Aavec l’application linéairede EdansF¹ (et non deFdansE¹1) qu’elle définit : sixPE,A.xPF¹ sera donc défini par (1) xy,A.xy “Apx,yq pxPE,yPF,APBpE,Fqq.

On désignera par^tAla forme bilinéairesymétriquedeA, forme surFˆEdonnée par

(2) ^tApy,xq “Apx,yq pxPE,yPF,APBpE,Fqq.

Si, conformément à la convention ci-dessus, on regarde alors ^tA comme une application linéaire F Ñ E¹, ce n’est autre que la restriction àF de la transpo- sée de l’application A : E Ñ F¹ (ou encore la transposée tout court, pourvu qu’on munisseF¹ de la topologiefaible), ce qui montre que nos notations sont raisonnablement cohérentes. Evidemment

(3) ^tp^tAq “A pAPBpE,Fqq.

EbF désigne le produit tensoriel de E et F au sens algébrique général [1], qui est donc engendré par les éléments du typexbypxPE,yPFq. Pour tout espace vectorielG, les applications bilinéairesudeEˆFdansGcorrespondent biunivoquement aux applications linéairesv de EbFdansG, à vcorpondant l’applicationupx,yq “vpxbvq. En particulier,BpE,Fqest une espace de formes linéaires surEbF, on a

(4) xxby,Ay “Apx,yq pxPE,yPF,APBpE,Fqq. EbFetE¹bF¹ sont accouplés, on a

(5) xxby,x¹by¹y “ xx,x¹yxy,y¹y pxPE,yPF,x¹ PE¹,y¹ PF¹q. Cela permet de considérer EbFcomme l’espace des formes bilinéaires faible- ment séparément continues de rang fini surE¹ ˆF¹, etE¹ bF¹ comme l’espace des formes bilinéaires continues de rang fini surEˆF:

(6) EbFĂBpE¹,F¹q E¹bF¹ ĂBpE,Fq.

Avec les conventions faites plus haut, cela donne donc aussi des immersions (7) EbFĂLpE¹;Fq E¹bF¹ ĂLpE;F¹q.

EbFest l’espace des applications linéaires faiblement continues de rang fini de E¹ dansF,E¹bF¹ l’espace des applications linéaires continues de rang fini deE dansF¹. Plus généralement on a une immersion canonique

(8) E¹bGĂLpE;Gq

le premier membre est l’espace des applications linéaires continues de rang fini deEdansG.

On a unisomorphisme de symétrienaturel notéuÑ ^tude EbFsurFbE, donné par

(9) ^tpxbyq “ybx pxPE,yPFq.

C’est la transposée de l’application donné par (2) compte tenu de l’accouple- ment (4) :

(10) xu,Ay “ x^tu,^tAy puPEbF,APBpE,Fqq.

De plus, les identifications (6) sont compatibles avec les deux opérationsuÑ^tu etA Ñ ^tA, en ce sens que la première est induite par la seconde. Il estab- solument essentielpour la suit que ces conventions (où "la droite et la gauche"

sont soigneusement distingués !) soient bien explicitées et respectées.

b. Applications et formes compactes et faiblement compactes. Prolongements canoniques.

On appelle application linéaire compacte (resp. faiblement compacte) de E dans F une application linéaire transformant l’image de la boule unité en une partie relativement compacte (resp. faiblement relativement compacte). Pour ceci, il faut et il suffit que la transposée ^tA P LpF¹;E¹q possède la même pro- priété (en tant qu’application de l’espace de BanachF¹ dans l’espace de Banach E¹; donc ici "faible" dans E¹ doit se référer àσpE¹,E²qq. Une forme bilinéaire A P BpE,Fq est dite compacte (resp. faiblement compacte) si l’application li- néaireA:EÑF¹ qu’elle définit l’est (même remarque pour le mot "faible que ci-dessus). Il revient d’ailleurs au même de dire que l’application^tA : F Ñ E¹ l’est.

SoitAPBpE,Fq,As’identifie à un élément deLpE;F¹q, orF¹ est plongé dans le dual deF² (c’est l’espace des formes linéaires faiblement continues surF², en entendant par topologie faible sur un bidual F² la topologie σpF²,F¹qq. Donc Adéfinit canoniquement un élément de LpE,pF²q¹q, i.e. de BpE,F²q. D’où une immersion canonique deBpE,FqdansBpE,F²q. L’élémentAr deBpE,F²qqui cor- respond à uneAPBpE,Fqest appelé leprolongement canoniquedeAàEˆF². Ar est encore caracterisée par le fait d’être une forme continue sur EˆF², fai- blement continue relativement à F², qui prolonge A. On définit de même le prolongement deAàE²ˆF. On fera attention qu’en prolongeantAd’abord à EˆF², puis la forme obtenue àE²ˆF², on obtient en général autre chose qu’en prolongeant d’abord à E² ˆF, puis à E² ˆF². Pour qu’on obtienne la même chose, il faut et il suffit que Asoit faiblement compacte. On peut alors parler sans ambiguité du prolongement canonique deAàE²ˆF². Elle est caractérisée par le fait d’être un prolongement faiblement séparément continu deAàE²ˆF² (et un tel prolongement d’ailleurs n’existequesiAest faiblement compacte).

Exemple. Appliquant la première formule (6) àE¹ etF¹ au lieu deEetF, on trouveE¹bF¹ ĂBpE²,F²q. Cette immersion n’est autre que celle qu’on obtient en composant l’immersion canonique de la deuxième formule (6) avec l’opéra- tion de prolongement canonique aux biduals (qui a ici un sens, car une forme bilinéaire continue de rang fini est compacte, et à fortiori faiblement compacte).

Des identifications de cette nature seront monnaie courante dans toute la théo- rie des produits tensoriels topologiques (bien qu’on se l’explicitera guère dans ce résumé).

c. Espaces accessibles, métriquement accessibles.

Un espace de Banach E est dit accessible (resp. métriquement accessible) si l’application identique deEsurEest limite uniforme sur tout compact d’appli- cations linéaires continues de rang fini (resp. et de norme ď 1). La deuxième propriété implique d’ailleurs la première. Une étude détaillés de ces propriétés se trouve dans [4], Chap. 1, §5 (résumé dans [5], Chap. 1, Appendice 2). Signa- lons que tous les espaces de Banach classique sont métriquement accessibles. Il en est en particulier des espacesL^p p1 ď p ď `8q,C₀pMqetc., ce dont nous nous servirons sans autre référence (comme de tour les résultats rappelés dans l’Introduction).

d. Espaces spéciaux.

C₀pMqdésigne l’espace des fonctions scalaires continues nulles à l’infini sur l’espace localement compactM, muni de la norme uniforme. On écrit simple- ment CpMq si M est compact. L^p “ L^ppµq p1 ď p ď `8q est l’espace L^p classique construit sur la mesure positive quelconqueµsur l’espace localement compactM[2]. Chaque fois que dans un énoncé ou une formule, interviennent des espaces notésC, resp.L, resp.H, il s’agira d’un espace du typeC₀pMq, resp.

L¹pµq, resp. d’un espace de Hilbert (espaces que par abréviation on appelle res- pectivementespaces du typeC, espaces du typeL, espaces tu typeH). SiIest un ensemble sans topologie spécifiés, on convient de le munir la topologie discrète et la mesureµmasse`1 en chaque point. On écrit alorsc₀pIq,l^ppIqau lieu de C₀pIq,L^ppµq. SiIest l’ensembleMdes entiersě0, on sous-entendMdans les notations, et écrit simplementc₀,l^p.

TABLE DES MATIÈRES

Introduction. 1

Table des Matières 6

§1 - Lesb-normes 7

1. Normes raisonnables. Les normesz{et{z 7

2. Définition desb-normes. 8

3. Extension desb-normes aux espaces de dimension infinie. 10

4. Formes et applications de typeα. 11

5. Formes et applicationsα-nucléaires. 13

6. Comparaison desb-normes. 15

§2 - Lesb-normes liées aux espacesCetL. 16

1. Compléments surz{et{z. 16

2. Propriétés vectorielles-topologiques fondamentales des espacesCetL. 18

3.b-normes injectives, projectives. 21

4. Formation de nouvellesb-normes. 23

5. Compléments sur{{z,{zz,{{zz,zz{,z{{,zz{{. 27

6. Tableau desb-normes naturelles. 28

§3 - Lesb-normes liées à l’espace de Hilbert. 32

1. Définitions et généralités pourHetH¹. 32

2.H-formes hermitiennes. 34

3.H¹-formes hermitiennes. 36

4. Premières relations entreH,H¹, etc. . 38

5. Relations plus profondes entre lesb-normes liées à l’espace de Hilbert. 39 6. Les classes naturelles d’opérations linéaires dans l’espace de Hilbert. 42

§4 - Les relations entre les deux groupes desb-normes. 45

1. Fonctions de typeα. 45

2. Le théorème fondamental et ses variantes. 47

3. Démonstration du théorème fondamental. 50

4. Conséquences diverses dans la théorie des opérations linéaires. 52

5. Applications à l’Analyse Harmonique. 55

6. Quelques questions ouvertes. 58

Bibliographie 60

Remarques 61

§1 - LES b-NORMES

1. Normes raisonnables. Les normesz{et{z.¹

Définition 1. SoientEetFdeux espaces de Banach. Une normeαsurEbFest diteraisonnablesi l’application bilinéairex,yÑ xbydeEˆFdansEbFest de normeď1, et si de mêmex¹,y¹ Ñ x¹by¹ est une application bilinéaire de normeď1 deE¹ˆF¹ dans le dual de l’espace norméEbF.

Désignant la norme de ce dual parα¹, ces conditions signifient queαpxbyq ď αpxqαpyq etα¹px¹by¹q ď α¹px¹qα¹py¹qpourx PE,y PF,x¹ PE¹,y¹ PF¹. En fait, cela implique même les égalités

αpxbyq “αpxqαpyq; α¹px¹by¹q “α¹px¹qα¹py¹q

E¹bF¹s’identifie alors à un sous-espace vectoriel du dual de l’espace norméEbF.

La normeα¹ induite surE¹bF¹ par ce dual est aussi une norme raisonnable. - On désigne parEb^α Fle complété deEbFpour la norme raisonnableα.

Théorème 1.

1. Il existe surEbFune plus petite norme raisonnablez{et une plus grande norme raisonnable{z.

2. Le norme^z{est la norme induite surEbFparBpE¹,F¹q:

|u|z{ “ sup

}x¹}ď1 }y¹}ď1

|xu,x¹by¹y| px¹ PE¹,y¹PF¹q.

3. La norme{zest la norme polaire de la boule unité de B(E,F) :

|u|^{z“ sup

vPBpE,Fq }v}ď1

|xu,vy|.

SiA(resp.B) est la boule unité deE(resp.F),{zest aussi la norme jauge de l’ensembleΓpAbBqenveloppe disqués de l’ensemble desxbypxPA,yPBq, et est donné par la formule

|u|^{z“infÿ

i

}x_i} }y_i}

le inf étant étendu à toutes les représentations deusous la forme d’une somme finieu“ř

ixibyi.

Théorème 2. Quel que soit l’espace de Banach G, on a un isomorphisme mé- triqueLpEbpF;Gq “BpE,F;Gq.

(dont on laisse la définition au lecteur). En particulier : Corollaire 1. Le dual deEpbFestBpE,Fq.

La définition de^z{dans le th.1, 2º implique queEbqFs’identifie à l’adhérence de EbF dansBpE¹,F¹q. Si la forme bilinéaire u surE¹ˆF¹ appartient à EqbF, alors elle estcompacte et faiblement continue, et la réciproque est vraie siEou Fest accessible. Donc EqbFs’identifie aussi à un espace d’applications linéaires compactes deE¹ dansF, continues pourσpE¹,Eq etσpF,F¹q, et on obtient ainsi toutes les applications de ce type siE ou F est accessible. De façon analogue, E¹bqF s’identifie à l’adhérence dans LpE;Fq de l’espaceE¹bF des applications linéaires continues de rang fini deEdansF, adhérence qui est une espace d’ap- plications linéaires compactesde EdansF; et on obtient ainsitoutesles appli- cations linéaires compactes de E dans F siE¹ ou F est accessible. Enfin E¹bqF¹ s’identifie à l’adhérence dansBpE,Fqde l’espace E¹bF¹ des formes bilinéaires continues de rang fini sur EˆF, adhérence qui est un espace de formes bili- néairescompactessurEˆF; et on obtient ainsi toutesles formes de ce type si E¹ ouF¹ est accessible.

Notons enfin que si EouF est de dimension finie, toutes les normes raison- nables surEbFsont équivalences. Si par exempleEest muni d’une base finie, EbFest isomorphe àFⁿ.

2. Définition desb-normes.

Appelons espace normé numériqueun espace normé dont l’espace vectoriel sous-jacent soit unRⁿ, resp.Cⁿ. L’ensemble de tous les espaces normés numé- riques est donc défini.

Définition 2. On appelleb-normesune fonction αqui, à tout couple de deux espaces normés numériquesE,F, associe une normeraisonnable(voir Nº1, dé- finition 1) sur leur produit tensoriel EbF, norme notée u Ñ |u|^α, faisant de EbF un espace normé notéE b^α F, cette fonction étant assujettie à vérifier la condition suivante : Soitu_iune application linéaire deE_idansF_i(i“1, 2,E_i etFiespaces normés numériques), etu₁ b^α u₂l’applicationu₁bu₂considérée comme application de l’espace normé E₁ b^α E₂ dans l’espace normé F₁ b^α F₂; alors on a

}u₁b^α u₂} ď }u₁} }u₂}.

Il s’ensuit que siu₁ etu₂ sont des isomorphismes sur, il en est de même de u₁b^α u₂. Cela montre qu’on peut définirEbFsiEetFsont deux espaces nor- més de dimension finie quelconques (pas nécessairement numériques), et que la

condition énoncée dans la définition 2 reste vérifiée pour de tels espaces. No- tons aussi qu’avec l’identification usuelle de EbF à LpE¹,Fq, commeE¹ peut être regardé comme un espace normé numérique si Eest un espace normé nu- mérique, la donnée d’uneb-normeαrevient aussi à la donnée, pour tout couple pE,Fq de deux espaces normés numériques, d’une norme raisonnable |u|α sur LpE;Fq “E¹bF, la condition de la définition 2 s’exprimant maintenant par

|AuB|^αď }A} }B} |u|^α

pouruPLpE;Fq,APLpF;Gq,BPLpH;Eq(E,F,G,Hétant des espaces normés numériques quelconques).

Exemples. Si pour tout couple E, F de deux espaces normés numériques, on considère sur EbF la plus petite norme raisonnable z{ (resp. la plus grande norme raisonnable{z), on obtient uneb-norme qu’on désigne encore parz{(resp.

par^{z). La norme|u|^z{ sur un espaceLpE;Fqn’est évidement autre que la norme usuelle des opérateurs.

Opérations fondamentales sur lesb-normes.Soitαuneb-norme. Pour deux espaces normés numériquesEetF, considérons la normeuÑ |^tu|^αsurEbF.

On voit aussitôt que la fonction ainsi définie, pour EetFvariables est une b- norme, qu’on note^tαet qu’on appelle lab-norme transposéeousymétriquede α. Elle est donc définie par|u|^tα“ |^tu|^α.αest ditesymétriquesiα“^tα. - En second lieu, pour deux espaces normés numériques quelconques, considérons surEbFla norme duale de la norme|u|^αsurE¹bF¹. On voit aussitôt que pour E etF variables, on obtient ainsi une b-norme, qu’on note α¹ et qu’on apelle b-norme duale deα. Donc par définition la norme|u|α¹ surEbFest la duale de la norme|u¹|^αsurE¹bF¹. On vérifie aussitôt les formules

tp^tαq “α, pα¹q¹ “α

et^tpα¹q “^tpαq¹. On désigne aussi parαq la valeur commune :

tpα¹q “ p^tαq¹ “αq.

Relation d’ordre.Soientαetβdeuxb-normes, et λě0. On écriraαďλβ si pour tout couple de deux espaces normés numériquesE,F, on a|u|αďλ|u|β

pouruPEbF. Cela implique évidemmentλě1. En particulier, la relationαď βest une relation d’ordre dans l’ensemble desb-normes. On a les équivalences suivantes :

αďλβ équivaut à ^tαďλ^tβ et à β¹ ďλα¹ .

Soit pα_iq une famille de b-normes. Pour tout couple pE,Fq de deux espaces normés numériques, considérons surEbFla norme|u|^α borne supérieure des

normes |u|αi (qui sont toutes majorées par |u|^{z). On constate qu’on a ainsi définie une b-norme α, qui est évidemment la borne supérieure de pα_iq dans l’ensemble ordonné de toutes les b-normes. Comme α Ñ α¹ est un isomor- phisme de l’ensemble ordonné des b-normes sur le même ensemble muni de l’ordre inverse, on voit donc que la borne inférieure d’une famille quelconque de b-normes existe aussi. En d’autres termes, l’ensemble desb-normes est un ensemble complètement réticulé.

Les propriétés élémentaires des b-normes z{ et {z dans ce contexte sont résumées dans le

Théorème 3. z{ est la plus petite, {z la plus grande des b-normes. z{ et {z sont symétriques, et duales l’une de l’autre :p^z{q¹ “^{z, p^{zq¹ “^z{.

3. Extension desb-normes aux espaces de dimension infinie.

Soit αuneb-norme. Soient EetFdeux espaces de Banach. Pour tout sous- espace vectoriel de dimension finieMdeEetNdeF,MbNest un sous-espace vectoriel de dimension finie deEbF, qui croit avecMetN, et lesMbNforment une famille filtrante croissante de sous-espaces vectoriels de dimension finie de EbF dont la réunion est EbF. Soit u P EbF; si u P MbN, on désigne par|u|_MbN^α la norme deudansMb^α N. Elle décroit quandMetNcroissent, posons

|u|^α“ inf

M,N|u|_MbN^α .

On voit aussitôt que la fonction ainsi définie surEbFest une norme raisonnable (Nº 1, définition 1). Si en particulier α “ ^z{ ou α “ ^{z, la définition de |u|^α donnée dans la formule ci-dessus est compatible avec les notations introduites au Nº1 (i.e. notre formule redonne bien la plus petit resp. la plus grande des normes raisonnables surEbF). On désigne parEb^αFle complété deEbFpour la norme|u|α.

SoientE_i,F_ides espaces de Banach (i“1, 2), soitu_iune application linéaire continue deEidansFi. Considéronsu₁bu₂comme une application linéaire de l’espacenorméE₁bE₂dans l’espacenorméF₁bF₂, on aura encore}u₁bu₂} ď }u₁} }u₂}. Doncu₁bu₂se prolonge par continuité en une application linéaire de normeď }u₁} }u₂}deE₁b^α E₂dansF₁b^α F₂, notéeu₁b^αu₂.

On aura encore la formule|u|tα “ |^tu|α. D’autre part, si on désigne par}u}α

la norme surEbFduale de la norme|u¹|^α1 surE¹bF¹, on aura}u}^αď |u|^α, mais on ne sait pas si on aura toujours }u}^α “ |u|^α. Ce sera le cas du moins sEetFsontmétriquement accessibles(voir Introduction, II). Disons que lab- norme αestaccessiblesi on a}u}α “ |u|α dansEbF chaque fois queEou F est de dimension finie. On montre facilement pour toutes lesb-normes connues

qu’elles sont accessibles ; si est accessible, il en est de même deα¹ et^tα, donc aussi de αq “ ^tpα¹q. Ceci posé, siα est accessible, on aura }u}α “ |u|α dans EbF pourvu queE ouF soit métriquement accessible. - On dans tous les cas }u}^z{“ |u|^z{, comme on voit aussitôt.²

4. Formes et applications de typeα.

Soitαuneb-norme,EetFdeux espaces de Banach. Comme on a|u|^αď |u|^{z dansEbF, on voit que le dual deEb^α Fs’identifie à un sous-espace vectoriel du dualBpE,FqdeEpbF, avec une norme plus fine.

Définition 3.

1. Une forme bilinéaireusurEˆFest dite de typeα, ou uneα-forme, si elle appartient au dual de deE ^α

1

b F. L’espace de ces formes sur EˆF, i.e. le dual deE^α

1

bF, est notéB^αpE,Fq, la norme sur cet espace est notée }u}α(α-norme deu).

2. Une application linéaire u de E dans F est dite de type α, ou une α- application, si la forme bilinéairexux,y¹ysur EˆF¹ qu’elle définit est de typeα. La α-norme de cette dernière est aussi appellée α-norme de u, et notée }u}^α. L’espace des α-applications de Edans F, muni de la α-norme, est notéL^αpE;Fq.

3. Dans le cas α “ ^{z, on emploie les noms : forme bilinéaire intégrale, application intégrale, norme intégrale.

On convient de regarder }u}α comme infini si la forme ou l’application li- néaireun’est pas de typeα. - Siα“^z{, lesα-formes (resp. lesα-applications) sont toutes les formes bilinéaires continues (resp. toutes les applications li- néaires continues), et laα-norme est leur norme usuelle :}u}^z{“ }u}.

Propriétés générales desα-formes.Par sa définition, la boule unité deB^αpE,Fq est compacte pour la topologie faible définie par E ^α

1

b F, laquelle topologie coïncide donc sur cette boule avec la topologie faible définie par EbF, i.e. la topologie de la convergence simple des formes bilinéaires surEˆF. Donc toute limite pour la convergence simple de formes bilinéaires de α-norme ď 1, (est encore de typeαet) a uneα-normeď1.

Soit Auneα-forme sur EˆF, soit uune application linéaire continue d’un espace de Banach E₁ dans E, v une application linéaire continue d’un espace de Banach F₁ dans F. On notera A˝ pubvq la forme bilinéaire sur E₁ˆF₁ : Apux₁,vy₁q. Alors cette dernière est encore de typeα, et on a

}A˝ pubvq}^αď }A}^α}u} }v}.

En particulier, si E₁ resp.F₁ est un sous-espace vectoriel normé de E resp. F, on voit (en prennant pouru,vles applications d’inclusion) que la restriction à E₁ˆF₁d’une forme de typeαsurEˆFest de typeα, et a uneα-norme su plus égale.

Soit A une forme bilinéaire sur EˆF, ^tA la forme transposée sur FˆE :

tApy,xq “Apx,yq. Pour queAsoit de typeα, il faut et il suffit que ^tAsoit de type^tα, et on a encore

}^tA}^tα“ }A}α.

Voici enfin un résultat élémentaire, mais moins trivial :

Théorème 4. SoitAune forme bilinéaire continue surEˆF,Ar son prolongement canonique àEˆF². Pour queAsoit de typeα, il faut et il suffit que Ar le soit, et on a alors

}A}^α“ }Ar}^α. Par polarité, ce théorème équivaut au

Corollaire 1. La boule unité de Eb^α F est dense dans la boule unité deEb^α F² pour la topologie faible définie par la dualité avecB^α1pE,Fq.

Cela implique de plus le

Corollaire 2. Les applications canoniques (produits tensoriels des applications d’inclusion) E b^α F Ñ E b^α F² etE b^α F Ñ E² b^α F² sont des isomorphismes métriques.

Le théorème 4 implique aussi que si on considère la norme}u}αinduite sur E¹bF¹ parB^αpE,Fq, c’est aussi la norme introduite avec la même notation à la fin du Nº 3, i.e. la norme duale de la norme|y|α¹ surE²bF².

Propriétés générales des α-applications. Ce sont les mêmes propriétés que celles vues pour les formes, mises dans le langage des applications linéaires.

Toute application de EdansF qui est limite pour la convergence simple d’ap- plications de typeαet deα-normeď1, est de typeαet a uneα-normeď1. A fortiori,L^αpE;Fqest un espace de Banach pour sa norme}u}α. SiuPL^αpE;Fq, vPLpF;Gq, on avuPL^αpE;Gq, et

}vu}^αď }v} }u}^α.

De même,vPLpE;FqetuPL^αpF;GqimpliqueuvPL^αpE;Gqet }uv}^αď }u}^α}v}.

Soit uP LpE;Fq, pour que usoit de typeα, il faut et il suffit que ^tusoit de type^tα, et on a

}^tu}^tα“ }u}^α.

Appliquant ce même résultat au transposé u¹ et à^tα au lieu de uet α, on trouve : pour queusoit de type α, il faut et il suffit que son bitransposéu² P LpE²;F²qle soit, et on a

}u}^α“ }u²}^α.

Soit uune forme bilinéaire continue sur EˆF, pour qu’elle soit de type α, il faut et il suffit que l’application linéaire de E dans F¹ qui lui correspond le soit, et les deuxα-normes correspondantes sont égales (résulte du théorème 4).

Il s’ensuit que si u P LpE;Fq, pour que usoit de type α, il faut et il suffit que l’application deEdansF²qui lui correspond le soit, et alors des deuxα-normes correspondantes sont égales.

Relations entreα-applications etα-applications.q On a le

Théorème 5. Soit u PL^αpE;Fq,v P L^αqpF;Gq,α étant une b-norme accessible (voir fin du Nº3) ou les trois espaces de Banach E,F,Gétant supposés métri- quement accessibles. Alorsvuest intégrale, et

}vu}{zď }v}α_q}u}α.

On a d’ailleurs une réciproque. Soient en effetE,Fdeux espaces de Banach, et u P LpE;Fq. Pour que }u}α ď 1, il faut et il suffit que v P F¹bE implique

|vu|^{zď |v|αq ou encore quevPF¹bEimplique|uv|^{zď |v|αq. Si alorsE(resp.F) est métriquement accessible, il revient encore au même de dire quevPL^αqpF;Eq implique}vu}^{z ď }v}α_q (resp. }uv}^{z ď }v}α_q). (on suppose αaccessible, ce qui pratiquement n’est pas une restriction). Utilisant le théorème du graphe fermé, on voit que pour queusoit de typeα, il suffit déjà que pour toutevPL^αqpF;Eq, uv(resp.vu) soit intégrale.

5. Formes et applicationsα-nucléaires.

Soit α une b-norme. Soient E et F deux espaces de Banach. Comme dans EbF, on a}u}αď |u|α, on a une application linéaires canonique de normeď1 deEbFdansBαpE¹,F¹q. Cette application est biunivoque siEouFest accessible (et même un isomorphisme métrique siEouFest métriquement accessible). En tous cas, l’image de E b^α F dans B^αpE¹,F¹q s’identifie au quotient de E b^α F par le noyau de l’application précédente, et il y a lieu de la munir de la norme quotient, qui sera notéeNαpuq. PouruPEbF, on aura donc

}u}^αďNαpuq ď |u|^α.

(En fait, on a dit que les deux membres extrêmes sont déjà égaux siEouFest métriquement accessible, donc dans tous les cas importants en pratique). SiEet Fsont des duals, mettonsE¹etF¹, on a aussi une application linéaire canonique de norme ď 1 de E¹ b^α F¹ dans B^αpE,Fq; on passe de celle-ci à l’application

définie plus haut, iciE¹ b^α F¹ Ñ B^αpE²,F²q, en faisant correspondre à la forme surEˆFdéfinie par une uP E¹ b^α F¹, (forme qui est compacte comme limite pour la norme de formes de rang fini), son prolongement canonique à E² b F². L’espace quotient envisagé plus haut peut donc aussi s’identifier ici à un sous-espace vectoriel de B^αpE,Fq; sa normeN_α sera la norme induite pourvu que E¹ ou F¹ soit métriquement accessible. On voit de même que le quotient défini plus haut, peut pour une espace E¹ b^α F s’identifier à un sous-espace de L^αpE;Fq; sa normeN_αsera la norme induite parL^αpE;Fqpourvu queE¹ ou F soit métriquement accessible.

Définition 4. Soitαuneb-norme,EetFdeux espaces de Banach.

1. On appelle forme α-nucléaire sur Eˆ F une forme qui appartient à l’image canonique de E¹ b^α F¹ dans B^αpE,Fq. Muni de quotient N_α, l’espace de ces formes est notéBαpE,Fq.

2. On appelle applicationα-nucléaire deEdansFune application qui ap- partient à l’image canonique deE¹b^α FdansL^αpE;Fq. Muni de sa norme quotientN_α, l’espace de ces applications est notéL_αpE;Fq.

3. Dans le cas α“ ^{z, on emploie les noms : forme nucléaire, application nucléaire.N_{zpuqest appelé norme nucléaire (ou norme-trace) deu.

Les applications nucléaires sont aussi parfois appelés applications de Fred- holm, ou applications à trace.

Dans une large mesure, les propriétés générales des formes et applications α-nucléaires sont les mêmes que celles des α-formes etα-applications (qui les généralisent), parfois sous réserve que certains des espaces considérés soient ac- cessibles. Toutesfois, le plus souvent la boule unité deBαpE,Fqne sera pas com- pacte pour la convergence simple même siα“^z{ouα“^{z(son adhérence dans BpE,Fq pour la convergence simple est contenu dans la boule unité deB^αpE,Fq et exactement égale à cette dernière si E ou F est métriquement accessible). P.

ex. les formesz{-nucléaires sont compactes, mais en général il existera surEˆF des formes bilinéaires continues (donc de typez{|) non compactes.

On a énoncés exactement parallèles À ceux du Nº précédent pour la com- position de formes ou applications α-nucléaires avec des applications linéaires continues, et sur les prolongements canoniques de formes ou applications α- nucléaires. De plus, il résulte aussitôt des définitions que la forme usurEˆF estα-nucléaire si et seulement si l’application linéaire deEdansF¹ qu’elle défi- nit l’est, et les normesN_αcorrespondantes sont les mêmes. - Soit maintenantu une applicationα-nucléaire deEdansF, alors vérifie aussitôt que sa transposée

tuest^tα-nucléaire, et que

N^t_α`_t u˘

ďN_αpuq.

Réciproquement, dire que ^tuest ^Tα-nucléaire, signifie que la forme bilinéaire xux,y¹y sur EˆF¹ est α-nucléaire, ou encore que u est α-nucléaire en tant qu’application dasF². Cela entraine que uestα-nucléaire (en tant qu’applica- tion dansF) et qu’en fait l’inégalité donnée plus haut est une égalité, i]pourvu qu’on supposeE¹ ouF²accessible (ou qu’il existe une projection de norme 1 de F²surF). Cela résulte de l’énoncé un peu plus général : SoituPLαpF¹,Eq, conti- nue pourσpF¹,FqetσpE,E¹q, alorsuprovient d’un élément de normeN_αpuqdu quotient de F b^α E par l’application canonique de cet espace dans LαpF¹,Eq, pourvu que E ou F² soir accessible. Cette dernière condition est peut-être in- utile.³

6. Comparaison desb-normes.

Soientαetβdeuxb-normes, etλě0, tels queαďλβ. SiEetFsont deux es- paces de Banach, on a alors|u|αďλ|u|αpour toutuPEbF, en d’autres termes l’application identique deEbFse prolonge par continuité en une application linéaire de normeďλdeEb^β FdansEb^α F. Si d’ailleursEouFest accessible, ou sait à priori que cette application est biunivoque (car tous les produits tensoriels complétésEb^γ Fse plongent dans le même espaceEbqF), on pourra alors écrire E b^β F ĂE b^α F. - Appliquant ceci au coupleβ¹,α¹ qui satisfait àβ¹ ďλα¹, et transposant, on trouve de même que pour toute forme bilinéaireusur EˆF, on a }u}α ď λ}u}β, en particulier B^βpE,Fq Ă B^αpE,Fq. Le résultat analogue s’ensuit aussitôt pour les applications de E dans F de type α resp. de type β, en particulier L^βpE,Fq ĂL^αpE,Fq. On trouve de mêmeBβpE,Fq ĂBαpE,Fqet L_βpE.Fq ĂLαpE;Fq, avec des inégalités analoguesNαpuq ďλN_βpuq.

Si maintenant on a à la fois deux inégalités α ď λβ et β ď µα, on voit que pour tout couple de deux espaces de Banach E, F, on aura un isomor- phisme vectoriel-topologique E b^α F “ E b^β F, et des identités, respectant les topologies, B^αpE,Fq “ B^βpE,Fq, L^αpE;Fq “ L^βpE;Fq, BαpE,Fq “ BβpE,Fq, LαpE;Fq “L_βpE;Fq.

Il est alors naturel de dire que uneb-normeαestdominéepar une autreβ, s’il existe un λ ě 0 tel queα ď λβ, et de dire que αetβ sontéquivalentes si chacune est dominée par l’autre. Il n’est d’ailleurs pas difficile de construire un espace de Banach E(réflexif, séparable, métriquement accessible, isomorphe à son dual) tel que pour deux b-normes quelconques α et β,E b^β E Ă E b^α E implique que αest dominée par β (donc E b^α E “ E b^β E implique que α et

β son équivalentes). Notons que les résultats essentiels de ce travail (§§ 3 et 4) peuvent s’exprimer précisément par des inégalités du type αď λβentre b- normes particulières.

Relations entreb-normes réelles et complexes.Dans la théorie desb-normes développés dans ce travail, il faut bien faire attention que le corps de scalaires R ou C est fixé une fois pour toutes. Il faut donc distinguer entre l’ensemble C_rdes "b-normes réelles" et l’ensembleC_c des "b-normes complexes". Les re- lations entre les deux ne semblent pas si simples qu’on pourrait s’y attendre.

Ainsi on remarquera que la norme intégrale d’une application linéaire d’un es- pace de Banach complexeEdans un autreFest plus petite (et parfois strictement plus petite) dans la "théorie complexe" que dans la "théorie réelle" (quand on regarde u comme une application linéaire réelle entre les espaces de Banach réelsE₀,F₀sous-jacents àE,F). (Il suffit à titre d’exemple de prendre l’applica- tion identique du corps des complexesCsur lui-même). De positif, nous dirons simplement ceci (que est tout à fait satisfaisant quand on s’intéresse à l’aspect vectoriel-topologique plûtôt que métrique de la théorie). SoitTr(resp.Tc) l’en- semble des classes deb-normes réelles (resp. complexes) modulo l’équivalence définie dans ce Nº. Alors il y a une correspondance biunivoque canonique entre Tr etTc définie ainsi. Supposons queα PTr etβP Tc se correspondent. Alors une application linéaire ud’un espace de Banach complexeEdans un autre F est de typeβ, si et seulement si elle est de typeα(en tant qu’application linéaire réelle entre les espaces de Banach réels sous-jacents) ; et une application linéaire ud’un espace de Banach réelEdans un autreFest de typeαsi et seulement si l’application linéaire complexe du complexifié E^C deE dans le complexifiéF^C deFqui prolongeu, est de typeβ. - Bien entendu, cette identification entreT_ret Tc est compatible avec les relations d’ordre, et avec les opérations usuelles sur classes deb-normes, tellesαÑ^tα,α¹,αq(ainsi d’ailleurs qu’avec les opérations moins triviales étudiées au §2).

§2 - LESb-NORMES LIÉES AUX ESPACES CETL.

1. Compléments surz{et{z.

Détermination des formes bilinéaires et applications linéaires intégrales.Soi- ent E et F deux espaces de Banach. Par définition, les formes bilinéaires inté- grales, de norme intégrale ď 1, sur EˆF, forment la boule unité du dual de EbqF. Il résulte alors du théorème des bipolaires que ce sont aussi les formes qui sont limites, pour la convergence simple, de combinaisons linéaires convexes de formes "décomposées"x¹by¹, avecx¹ PE¹ ety¹PF¹ de normeď1. Par raison de compacité, il s’ensuit que ce sont aussi les formes qui peuvent s’écrire sous

forme d’une intégrale faible u“

ż

x¹ptq by¹ptqdµptq

où µ est une mesure positive de norme 1 sur un espace compact K (on peut prendre pour Kle produit des boules unités de E¹ etF¹, munies des topologies faibles), t Ñ x¹ptq une application scalairement mesurable deKdans la boule unité deE¹,tÑy¹ptqune application analogue deKdansF¹. La formule inté- grale écrite plus haut signifie simplement qu’on a

upx,yq “ ż

xx,x¹ptqyxy,y¹ptqydµptq

pour toutx PE,yPF. On en conclut enfin facilement la réduction suivante à un type canonique bien concret de formes bilinéaires :

Théorème 1. Soituune forme bilinéaire surEˆF. Pour que}u}^{zď1, il faut et il suffit que l’on puisse trouver un espace compactKmuni d’une mesure positive µde norme 1, et des applications linéaires de normeď1α(resp.β) deE(resp.

F) dansL⁸pµq, telles que l’on ait

upx,yq “ xαx,βyy pxPE, yPFq. (Bien entendu, on posexf,gy “ş

fg dµpourf,gPL⁸pµq. En interprétant en termes d’applications linéaire, il vient :

Corollaire 1. Pour qu’une application linéaire u de E dans F soit de norme intégraleď1, il faut et il suffit qu’elle se factorise en

E−Ñ^α L⁸ −Ñ^β L¹−Ñ^γ F²

où α etγ sont de norme ď 1, et β l’application identique d’un espace L⁸pµq dansL¹pµq, pour une mesure positiveµde norme 1 convenable sur un espace compactK.

Signalons un cas intéressant :

Corollaire 2. Soitµune mesure positive sur un espace localement compactM, uune application linéaire continue d’un espace de BanachEdansL¹pµq. Pour que usoit intégrale, il faut et il suffit que l’image par ude la boule unité deE soit latticiellement bornée, et alors on a

}u}^{z“ } sup

}x}ď1|ux| }^{z

(où pour f P L¹,|f|désigne la (classe de la) fonction t Ñ |fptq|). (Voir [5], Chap. 1, Nº 9 pour des variantes).

Propriétés spéciales essentielles des applications intégrales.Elles son résumées dans le

Théorème 2. SoientE,F,Gtrois espaces de Banach,uune application linéaire de E dans F, v une application linéaire de F dans G. Si U est intégrale et v faiblement compacte (resp. ufaiblement compacte et v intégrale) alorsvu est nucléaire (§1, Nº 5, définition 4) et on a

N_{zpvuq ď }v} }u}^{z presp.N_{zpvuq ď }v}^{z}u}q

Corollaire. SiEouFest réflexif, alors les applications intégrales, ou nucléaires, de E dansF sont les mêmes, avec identité entre norme intégrale et norme nu- cléaire.

Détermination de certains produits tensoriels topologiques. Voici les deux cas les plus importants où un produit tensoriel topologique peut s’interpréter de façon simple :

Théorème 3. Soit E un espace de Banach, M un espace localement compact muni d’une mesure positive µ. Alors on a des isomorphismes métriques cano- niques :

L¹pµq bE“L¹_Epµq; C₀pMqbqE“C₀pM,Eq.

L¹_Epµq désigne l’espace des (classes de) fonctions intégrables pour µ à valeurs dansE[2], etC₀pM,Eq l’espace des fonctions surMcontinues nulles à l’infini à valeurs dansE, muni de la norme uniforme.

On se reportera à [4] et [5] pour des cas particuliers divers et certaines appli- cations de ce théorème, (en particulier quand on faitM= ensemble discret des entiers avec la masse`1 en chaque point,L¹etC₀ devenant alorsl¹etc₀). De nombreuses autres déterminations de produits tensoriels topologiques, dans le cadre des espaces localement convexes généraux, sont donnés dans [4], Chap. 2, nº 5 et [5], Chap. 2, passim. Signalons seulement encore quel¹bEs’interprête comme l’espace des suites sommables (unconditionnally convergent) dansE, et que siE^pmqpKqdésigne l’espace des fonctionsmfois continûment différentiables sur le cube compact K dansRⁿ, avec sa topologie usuelle (qui est normable), on a E^pmqpKqbqE “ E^pmqpK,Eq (espace des applications m fois continûment différentiables deKdansE).

2. Propriétés vectorielles-topologiques fondamentales des espacesCetL.

On appelle espaceC ou dutypeC (resp. espaceL, ou du type L) un espace de Banach métriquement isomorphe à un espaceC₀pMqconstuit sur un espace

localement compact convenable (resp. à un espaceL¹pµqconstruit sur une me- sure positive convenable). Il est classique (Kakutani) que le dual d’un espaceL (i.e. un espaceL⁸) est un espaceC, et que le dual d’un espace C(i.e. l’espace des mesures bornées sur un espace localement compact M) est un espace L . L’importance à priori de ces espaces en théorie des opérations linéaires tient à leurs propriétés vectorielles-topologiques très spéciales, (et qui les caractérisent dans une large mesure⁴) aperçus pour la première fois dans un cas particulier important par L. Nachbin [9]. Ces propriétés découlent de façon naturelle de la théorie des produits tensorielsz{et{z, grâce au théorème suivant, dont la pre- mière partie est une conséquence triviale de la première partie du théorème 3, et la seconde s’en déduit facilement par dualité (en se ramenant d’abord au cas où est de dimension finie) :

Théorème 4. Soit Eun espace de Banach,Fun sous-espace vectoriel fermé. 1.

Soit L un espace du typeL. Alors l’application canonique LbpF Ñ LbpEest un isomorphisme métrique du premier espace dans le second. 2. SoitCun espace du type C. Alors l’application canonique CqbE Ñ CqbE{F est un homomor- phisme métrique du premier espace sur le second.

(Bien entendu, les applications canoniques en question sont resp. le produit tensoriel des applications canoniques L Ñ L et E Ñ E, et des applications canoniques C Ñ C et E Ñ E{F). Transformant par transposition, le premier énoncé équivaut à :

Corollaire 1. Toute forme bilinéaire continue surLˆEse prolonge en une forme bilinéaire de norme égale surLˆE.

Interprétant en langage d’applications linéaires, on trouve

Corollaire 2. Toute application linéaire continue de F dans un espace L⁸ se prolonge en une application linéaire de même norme deE dansL⁸. Toute ap- plication linéaire continue deFdans un espaceCdu typeCse prolonge en une application linéaire de même nrome deEdansC².

On notera qu’on ne peut remplacerC²parCdans ce dernier énoncé : faisant en effetE“C²,F“C, il faudrait en effet que l’on puisse trouver une projection de norme 1 de C² surC, or on peut montrer p.ex. que si C est un espace du typeCséparable, il n’est pas facteur direct dans son bidual.

Par transposition, le corollaire 2 s’énonce aussi ainsi :

Corollaire 3. SoitLun espace du typeL. Toute application linéaire continue de Ldans un quotientE{Fse relève en une application de même norme deLdans E².

(Pour donner une sens à cet énoncé, on regarde l’application donnée com- me une application de L dans le bidual de E{F, lequel s’identifie à un espace quotient du bidualE² deE). Bien entendu, siEest un dual, etFun sous-espace vectoriel faiblement fermé, on peut trouver un relèvement de même norme à valeurs dans E lui-même. Mais on voit encore comme plus haut qu’il n’en est plus ainsi dans le cas général : l’espaceLétant donné, pour que toute application linéaire continue deLdans un quotientE{Fse relève en une application linéaire continue deLdansE, il faut et il suffit queLsoit isomorphe à un espacel¹pIq construit sur un ensemble d’indicesIconvenable.

Appliquant le théorème 4, 2º au couplepF⁰,E¹qau lieu depF,Eq, on trouve la variante suivante du corollaire 2 :

Corollaire 4. Toute application linéaire compacte deF dans Cse prolonge en une application linéaire compacte deEdansCde norme arbitrairement voisine.

Appliquant le théorème 4, 2º au cas oùCest le dual d’un espace du typeL, on trouve la variante suivante du corollaire 3 :

Corollaire 5. Toute application linéaire compacte deLdans un quotientE{Fse relève une application linéaire compacte deLdansE, de norme arbitrairement voisine.

En vertu de l’interprétation des produits tensorielsCbqEdonné dans th.3, 2º, la deuxième partie du th.4 s’énonce aussi ainsi :

Corollaire 6. Toute application continue nulle à l’infini de l’espace localement compactMdans un quotientE{F se relève en une application deMdansEde même nature, de norme arbitrairement voisine.

Signalons encore le fait bien connu : Tout espace de Banach est isomorphe à un sous-espace d’un espace du typeC(p.ex. l’espace des fonctions continues sur la boule unité de son dual, munie de sa topologie faible), et à un espace quotient d’un espace du typeL(p.ex. l’espacel¹pIq construit sur une famille d’éléments de la boule unité de Edense dans cette boule). Toutes ces propriétés sont à la base de l’utilisation intensive des espacesCetLdans la suite de la théorie, et des propriétés plus profondes de ces mêmes espaces que nous exposerons au §4.

Remarque.Toutes les propriétés vectorielles-topologiques qu’on vient de voir pour les espaces C resp.L sont manifestement encore vraies pour tout espace facteur direct dans un espace du type envisagé (à condition de faire abstraction du caractère métrique des énoncés). On on peut montrer que l’espace E^pmqpKq envisagé à la fin du Nº 1 est isomorphe à un facteur direct d’un espaceC(il est isomorphe du point de vue vectoriel-topologique à un espace C lui même). Il en résulte p.ex. que le résultat de relèvement analogue au corollaire 6 ci-dessus

est valable pour les fonctions vectorielles m fois continûment différentiables sur le cubeK(d’où aussitôt le résultat analogue pour des fonctions vectorielles définies sur un ouvert quelconque deRⁿ).

3.b-normes injectives, projectives.

Proposition 1. Soit αune b-norme. Les conditions suivantes surαsont équi- valentes :

a. Quels que soient les espaces de BanachE,Gde dimension finie, et les sous-espacesFdeE, l’application canonique

Fb^α GÑEb^α G est un isomorphisme métrique dans.

b. Quels que soientE,F,Gcomme ci-dessus, l’application canonique E^α

1

bGÑE{f^α

1

bG est une homomorphisme métrique sur.

c. Touteα¹-forme surFˆGse prolonge en uneα¹-forme surEˆGayant mêmeα¹-norme.

d. Pour touteα-forme surEˆGqui s’annule surFˆG, la forme surE{FˆG qui s’en déduit par passage au quotient a mêmeα-norme.

De plus, si ces conditions sont vérifiées, elles le sont encore si les espaces E,F, Gne sont plus supposés de dimension finie.

Définition 1. On dit queαest injective à gauche (resp. à droite) si les conditions équivalentes précédentes sont vérifiés pourα(resp. pour lab-norme transposée

tα). On dit que α est injective siαest à la fois injective à gauche et à droite.

Enfin αest dite projective à gauche (resp. projective à droite, resp. projective) si sa dualeα¹ est injective à gauche (resp. injective à droite, resp. injective).

Interprétant la condition d. en termes d’applications linéaires, on voit queα est injective à gauche, si pour touteα-application d’un espaceEdans un espace G, qui s’annule sur un sous-espace ferméF, l’application deE{FdansGobtenue par passage au quotient est encore de typeαet a mêmeα-norme. (Il revient au même de dire que laα-norme deune dépend que de l’image parude la boule unité de E). Et queα est injective à droite si pour toute application linéaireu d’un espaceGdans un sous-espace ferméFd’un espaceE, telle que l’application

˜

udeGdansEqu’elle définit soit de typeα,uest elle-même de typeαet a même α-norme que ˜u. Sous réserve que certains des espaces qui interviennent dans ces

énoncés soient accessibles, on peut d’ailleurs y remplacer "applications de type α" par "applicationsα-nucléaires".

De même, α est projective à gauche, si toute application d’un sous-espace F d’un espace Edans un espace G, peut se prolonger en une α-application de même α-norme de E dans G² (donc même dans G s’il existe une projection de norme 1 de G² sur G). Et α est projective à droite si toute α-application d’un espace G dans un quotient E{F peut se relever en une α-application de même α-norme de G dans E². Les énoncés analogues avec "applications α- nucléaires" au lieu de "α-applications" sont encore valables, à cela près qu’au lieu de l’égalité des normesα-nucléaires, on peut seulement exiger que la norme N_αdu prolongement ou du relèvement cherché soit arbitrairement voisine de la normeN_αde l’application donnée (en revanche, inutile de passer aux biduals).

Enfin, si α est injective (resp. projective) alors le produit tensoriel de deux isomorphisme métriques dans (resp. de deux homomorphismes métriques sur) est une application du même type pour les produits tensoriels complétés relatifs àα.

Bien entendu d’après ce qui précède,z{n’est projective ni à gauche no à droite, donc{zn’est injective ni à gauche ni à droite. En revanche :

Théorème 5. z{est injective, donc{zest projective.

L’assertion relative àz{est en effet triviale. - On trouve donc d’intéressantes propriétés de prolongement et relèvement pour les formes ou applications in- tégrales (ou nucléaires), que le lecteur pourra expliciter. Notons d’ailleurs qu’il n’existe malheureusement par deb-norme à la fois injective et projective.

Remarque. SoientE,G deux espaces de Banach, F un sous-espace vectoriel fermé deE,αuneb-norme. En général, l’application canoniqueFb^α GÑEb^α G n’est pas un isomorphisme vectoriel topologique, l’application E b^α G Ñ E{F b^α Gn’est pas un homomorphisme sur, une α-forme sur EˆG nulle sur FˆGpeut donner par passage au quotient une forme surE{FˆGqui n’est plus de typeα, enfin uneα-forme sur FˆGpeut ne pas admettre de prolongement en une α-forme sur EˆG. (Ces deux derniers énoncés peuvent aussi s’inter- préter en termes d’applications linéaires). On vient d’envisager des hypothèses sur αpour que certains de ces énoncés deviennent positifs, quel que soient E, F,G. Au Nº précédent on avait envisagé des conditions sur G(être du typeC resp. L) pour que certains de ces énoncés deviennent positifs quel que soit le couple (F Ă E), αétant suivant les cas ^z{ou ^{z; on peut d’ailleurs voir que ces conditions sont dans une large mesure nécessaires. Enfin, on peut aussi donner des conditions sur le couple (F Ă E) pour que tous ces énoncés (α et Garbi- traires) deviennent positifs : il suffit queFsoit facteur direct dansE, ou aussi (ce

qui est moins fort) queF² soit facteurs direct dansE²⁵. Ici encore, d’ailleurs, la condition énoncé est aussi nécessaire. On peut construire un espaceGsimple (le même que celui envisagé dans le §1, Nº6), tel que, si le couple d’un espace de BanachEet d’un sous-espaceFsatisfait à l’une des propriétés :FbpGÑEbpGest un isomorphisme vectoriel topologique,FbqFÑE{FbqGest un homomorphisme vectoriel-topologique, ou l’une des deux variantes de ces propriétés, - alorsF² est facteur direct dansE².

4. Formation de nouvellesb-normes.

Il est immédiat que la borne supérieure d’une famille quelconque deb-nor- mes injectives à gauche (resp. à droite) est encore injective à gauche (resp. à droite). En particulier, siαest uneb-norme quelconque, il existe un plus grande b-norme injective à gauche (resp. à droite) majorée parα. De même, par dua- lité, il existe une plus petite b-norme projective à gauche (respectivement, à droite) minorée parα.

Définition 2. Lesb-normes précédentes sont notées respectivement{α,αz, α, αz. (lire : pré-αgauche, pré-αdroit, pro-αgauche, pro-αdroit).

Le trait altérateur de α est incliné vers le bas (en partant deα) s’il indique b-norme plus petite queα (injective à gauche ou à droite suivant que le trait est placé à gauche ou à droite), et au contraire incliné vers le haut s’il indique une b-norme plus grande que α. Les noms donnés se justifient d’eux-mêmes par ce qui va suivre ("pro" signifie "prolongement"). L’une quelconque des 4 opérations surb-normes qu’on vient d’introduire suffit d’ailleurs à déterminer (au moyen des opérationsα Ñ ^tαetα Ñ α¹) toutes les autres, au moyen des formules suivantes (triviales à partir des définitions, et des propriétés deαÑ^tα etαÑα¹en relation avec la structure d’ordre) :

tp{αq “ p^tαqz, ^tpαzq “ {p^tαq, ^tpzαq “ p^tαq{,

tpα{q “ zp^tαq, p{αq¹ “ zpα¹q, pαzq¹ “ pα¹q{, pzαq¹“ {pα¹q, pα{q¹“ pα¹qz.

On vérifie (grâce à ce qui va suivre) que p{αqz “ {pαzq “ plus grande b- norme injective majorée par α, on la note simplement par{αzet on la nomme pré-α. De même pzαq{ “ zpα{q “plus petite b-norme projective minorée par α, on la note simplement parzα{, et on la nomme pro-α.

Pour que αsoit injective à gauche (resp. . . . ) il faut et il suffit que α “ {α (resp. . . . ).