Applications à l’Analyse Harmonique

(Dans tout ce Nº, on se place dans la théorie avec coéfficients complexes).

SoitAune algèbre involutive,ϕune forme linéaire surA, on désigne paru_ϕ la forme sesquilinéaire surAˆAdéfinie par

(1) uϕpx,yq “ϕpy^˚xq.

On a u_ϕ^˚ “ puϕq^˚ (où ϕ^˚ est défini par ϕ^˚pxq “ ϕpx^˚q, et où u^˚px,yq “ upy,xq). Par définition, la forme ϕ est dite positive, si elle est hermitienne et si u_ϕ est positive. Si on suppose maintenant que A est une algèbre normée complèteinvolutive, et que la forme ϕ est positiveet continue, alors uϕ sera une forme sesquilinéaire positive continue, donc hilbertienne (§3, Nº 2, th. 2).

Doncu_ϕ sera encore hilbertienne siϕ est une combinaison linéaire de formes linéaires positives continues sur A. En particulier, supposons que A soit une C^˚-algèbre, alors il est connu que toute forme linéaire continue surAest com-binaison linéaire de formes positives (d’ailleurs automatiquement continues)¹³. Donc alorsuϕ est hilbertienne pour touteϕ PA¹. En fait, il n’est pas difficile

de prouver qu’on a même

(2) }u_ϕ}H “ }u_ϕ} “ }varphi}

Soit A une ˚-algèbre normée complète, il est bien connu (Gelfand) que si pour tout x P A, on pose ρpxq “ sup}U_x}, le sup étant pris pour toutes les représentations unitaires Ude A,ρest une semi-norme surAcompatible avec la structure d’algèbre involutive, plus petite que la norme donnée sur A, et l’algèbre involutive complétéeA_ρ est une C^˚-algèbre, qu’on pourra appeler la C^˚-algèbre enveloppante deA. On a une˚-représentation canonique (de norme ď 1) de Adans la C^˚-algèbre A_ρ(qui est "universelle" dans un sens évident), l’image deAdansA_ρ est dense. Donc l’application transposée est une applica-tion linéairebiunivoquede normeď1 deA_ρ¹ dansA¹, qui permet donc d’écrire A_ρ¹ Ă A¹. Les éléments deA_ρ¹ sont des combinaisons linéaires de formes po-sitives "unitaires et bornées" sur A¹⁴, et si on suppose A² dense dans A, c’est la une caractérisationdu sous-espaceA_ρ¹ de A¹. D’où une norme naturelle sur l’espace des combinaisons linéaires des formes positives unitaires et bornées sur A(savoir la norme du dual deA_ρ), qu’on notera}ϕ}H. Avec cette convention, il est immédiat d’après (2) que l’inégalité}uϕ}^H ď }ϕ}^H sera valable pour toute ϕcomme ci-dessus.

Dans le cas où Aest l’algèbre de composition L¹pGq sur un groupe locale-ment compact unimodulaire G, les formes positives sur A sont automatique-ment continues, unitaires et bornées, et celles s’identifient auxfonctions conti-nues de type positif surG. Ce qui précède définit donc une norme naturelle sur l’espace des combinaisons linéaires de fonctions continues de type positif sur G, norme notée encore}ϕ}^H. D’ailleurs, siϕest un élément du dualL⁸pGq de L¹pGq, la forme sesquilinéaireu_ϕsurL¹ˆL¹est définie par la fonctionϕpt^´1sq deL⁸pGˆGqpar la formule usuelle :

(3) u_ϕpf,gq “ xrg˚f,ϕy “ ij

fpsqgptqϕpt^´1sqdsdt.

On désignera donc encore par uϕ la fonction uϕps,tq “ ϕpt^´1sq sur GˆG.

On voit donc que siϕ est combinaison linéaire de fonctions continues de type positif, alors la fonctionu_ϕ sur GˆGest hilbertienne(Nº 1, définition 1) et }uϕ}^H ď }ϕ}^H. Réciproquement, siuϕ est hilbertienne et hermitienne, alors il existe unefdansL⁸pGˆGqtelle que´f!u_ϕ !fet}f}8 ď }u_ϕ}H (§3, Nº 2, th. 2). L’ensemble desfqui satisfont à ces propriétés est d’ailleurs une partie convexe faiblement compacte de L⁸pGˆGq, invariante sous les translations par le groupe diagonal G :τ_sfpr,tq “ fps^´1r,s^´1tq. Si alors on suppose que le groupe Gadmet une "moyenne invariante"¹⁵, on pourra dans ce convexe trouver une f invariante que sous G, donc de la forme uψ, avec ψ P L⁸pGq.

On aura alors´ψ ! ϕ ! ψ et}ψ}8 ď }u_ϕ}H.ψ sera de type positif, et on voit alors aussitôt que ϕ sera différence de deux fonctions P L⁸pGq de type positif, et de façons plus précise qu’on aura}ϕ}^Hď }uϕ}^H. On a donc obtenu (indépendamment des résultats des Nºs antérieures de ce §4) la

Proposition 8. SoitGun groupe localement compact unimodulaire,ϕPL⁸pGq. Si ϕ est combinaison linéaire de fonctions continues de type positif, alors la fonction u_ϕps,tq “ ϕpt^´1sq sur GˆG est hilbertienne, et }u_ϕ}H ď }ϕ}H. La réciproque est vraie si on admet que Gadmet une "moyenne invariante", en particulier siGest compact, ou abélien, ou admet une suite de composition formée de tele groupes. Dans ce cas, si ϕest hermitienne (ϕpsq “ ϕps^´1q) on aura même}uϕ}^H“ }ϕ}^H.

En transformant par dualité, on obtient une caractérisation des éléments de laC^˚-algèbre enveloppante deL¹pGq:

Corollaire 1. L’application linéaire de L¹pGq bL¹pGq dans L¹pGq définie par l’application bilinéairepf,gq Ñg˚f, se prolonge par continuité en une applica-tion linéaire de normeď1deL¹pGq^H

1

b L¹pGqdans laC^˚-algèbre enveloppante deL¹. SiGadmet une "moyenne invariante", c’est même là un homomorphisme sur (qui induit un homomorphisme métrique pout les sous-espaces hermitiens).

Ce corollaire s’interprète de façon particulièrement concrète (laissée au lec-teur) quandGest discret. Rappelons d’ailleurs que quandGest abélien, laC^˚ -algèbre enveloppante deL¹pGqn’est autre que l’espace "transformé de Fourier"

de C₀pGpq(oùGp est le groupe dual deG), qui s’interprète par exemple comme un espace de distributions surG¹⁶.

Ces énoncés se transforment de façon remarquable, si on tient compte main-tenant du th. 2 (Nº 2). Ainsi, sous les conditions indiquées,une fonction ϕ P L⁸pGqest combinaison linéaire de fonctions continues de type positif si et seule-ment si la fonctionϕpt^´1sq sur GˆGest intégrale; alors sa norme intégrale est ď h}ϕ}^H, où h est la constante du Nº 2 (qui est ici encore le meilleure possible, car on voit que l’énoncé présent est en fait équivalent au théorème fondamental du Nº 2). D’ailleurs, siGest abélien, les fonctions envisagées sont (d’après le classique théorème de Bochner-Godement) les transformées de Fou-rier des mesures bornées sur le groupe dual G. Sip ϕ est transformée de µ, on a ϕpt^´1sq “ ş

p

Gpspt^´1sqdµppsq “ ş

p

Gpspsqsptqdµppsq, d’oùu_ϕ “ ş

p

Gpsbps dµppsq, d’où aussitôt l’inégalité

(4) }uϕ}^{zď }µ}

siϕest transformée de Fourier de la mesure bornéeµ. On en conclut que si on supposeϕhermitienne, on a même

(5) }u_ϕ}^{z“ }u_ϕ}^H“ }ϕ}^H“ }µ}.

De même le corollaire 1 est encore valable si on y remplace L^{1 H}

1

b L¹ par l’espace plus sympathiqueL¹bqL¹, en vertu de Nº 1, formule (11).

Enfin, nous obtenons une dernière formulation équivalente intéressante du théorème fondamental :

Corollaire 2. SoitGun groupe compacte,uune forme bilinéaire continue sur CpGq ˆCpGq invariante par translations gauches :upf,gq “ upτsf,τsgq pour tout fetg P CpGq et touts PG. Alorsupeut s’étendre par continuité en une forme bilinéaire continuevsurL²pGq ˆL²pGq, de normeďh}u}.

Soient en effet f et g deux éléments de CpGq, on a upf,gq “ xu_g˚fq y, (on poseqgpsq “gps^´1qoùu_g˚fq est regardé comme un élément deCpGqbpCpGq. Or on a}qg˚f}^H ď }f}2}g}2comme il est bien connu¹⁷, donc d’après ce qu’on a dit }u_g˚fq } ď h}qg˚f}H ď h}f}2}g}2. On en conclut |upf,gq| ď h}f}2}g}2}u}, c.q.f.d.

J’ignore si dans la proposition 8, deuxième partie, la restriction sur G est nécessaire. De même, il est peut-être inutile de supposerϕhermitienne dans la formule}u_ϕ}H “ }ϕ}H.