Algèbre homologique

Algèbre homologique

Notes de cours

Master 2 Mathématiques 2020-2021 Julien Bichon et Rachel Taillefer

Université Clermont Auvergne UFR de Mathématiques

Julien.Bichon@uca.fr, Rachel.Taillefer@uca.fr

Les pages qui suivent constituent les notes de cours “Algèbre homologique” du Master 2 Mathématiques. Bien sûr, il est probable que des coquilles ou erreurs se sont glissées dans ce document, merci de nous les signaler !

Voici quelques références utiles.

• P.J. Hilton and U. Stammbach, A course in homological algebra, Springer, 1971.

• J.M. Lee, Introduction to topological manifolds, Springer, 2000.

• T. tom Dieck, Algebraic topology, EMS Textbooks in Mathematics, European Mathema- tical Society (EMS), Zürich, 2008.

• C.A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 38, Cambridge University Press, 1994.

• J.J. Rotman, An introduction to homological algebra

• J.-P. Serre, Finite groups : an introduction. Ch. 4, With assistance in translation provided

by Garving K. Luli and Pin Yu, Surveys of Modern Mathematics, 10, International

Press, Somerville, MA ; Higher Education Press, Beijing, 2016.

Table des matières

I Le language des catégories et foncteurs 5

A Catégories . . . . 5

B Foncteurs . . . . 7

II Complexes, homologie, cohomologie 11 A Suites exactes de modules . . . . 11

B Complexes . . . . 12

C Longue suite exacte d’homologie . . . . 14

D Homotopies . . . . 16

E Complexes pré-simpliciaux . . . . 17

III Homologie singulière 19 A Définition de l’homologie singulière . . . . 19

B Premiers calculs . . . . 20

B.1 H

0

( X ) . . . . 20

B.2 Homologie d’un point . . . . 21

B.3 Composantes connexes . . . . 22

C Homologie et homotopie . . . . 22

C.1 Homotopie . . . . 22

C.2 Homologie d’un espace contractile . . . . 23

C.3 Invariance homotopique de l’homologie . . . . 25

C.4 Le premier groupe d’homologie . . . . 27

D Le théorème de Mayer-Vietoris . . . . 29

D.1 Enoncé . . . . 29

D.2 Applications . . . . 29

D.3 Homologie associée à un recouvrement ouvert . . . . 31

D.4 Subdivision barycentrique . . . . 33

E Cohomologie simpliciale . . . . 39

IV Modules projectifs, injectifs 40 A Motivation . . . . 40

B Suites exactes scindées . . . . 42

C Modules projectifs . . . . 43

D Modules injectifs . . . . 48

D.1 Le cas des groupes abéliens (A = Z) . . . . 52

E Résolutions projectives, injectives . . . . 53

V Foncteurs Ext 59 A Généralités . . . . 59

B Cohomologie des groupes . . . . 66

C Autre exemple : cohomologie de Hochschild . . . . 70

VI Extensions de groupes 72

A Introduction . . . . 72

B Le cas où N = A est abélien . . . . 72

B.1 Classification des extensions de G par A . . . . 72

B.2 H

¹

( G, A ) et les extensions triviales . . . . 81

B.3 H

³

( G, A ) ? . . . . 83

I. Le language des catégories et foncteurs

Ce chapitre est une brève introduction au langage des catégories et des foncteurs, utile dans toutes les branches des mathématiques. On introduit seulement les notions minimales pour nos besoins.

A. C ATÉGORIES

Définition A.1. Une catégorie C est la donnée 1. d’une classe ob (C) d’objets de C ;

2. pour tout couple ( X, Y ) d’objets de C d’un ensemble noté Hom C ( X, Y ) dont les éléments sont appelés morphismes de X dans Y de C (avec la notation f : X −→ Y pour f ∈ Hom C ( X, Y ) ) ;

3. pour tout triplet ( X, Y, Z ) d’objets de C , d’une application

Hom C ( X, Y ) × Hom C ( Y, Z ) −→ Hom C ( X, Z ) ( f , g ) 7−→ g ◦ f

appelée composition des morphismes, qui est associative, et telle que pour tout objet X de C , il existe un élément 1

_X

∈ Hom C ( X, X ) , appelé identité de X (noté parfois aussi id

_X

), tel que

∀ f ∈ Hom C ( X, Y ) , on a f ◦ 1

X

= f et ∀ f ∈ Hom C ( Y, X ) , on a 1

X

◦ f = f .

Exemples A.2. (a) Ens : la catégorie des ensembles. Les morphismes sont les applications, la composition est la composition des applications.

(b) Grp : la catégorie des groupes. Les morphismes sont les morphismes de groupes.

(c) Top : la catégorie des espaces topologiques. Les morphismes sont les applications conti- nues.

(d) Mod ( A ) , la catégorie des A-modules à gauche, A étant un anneau. Les morphismes sont les applications linéaires.

(e) Soit G un groupe. On construit une catégorie C ( G ) de la manière suivante : ob (C ( G )) = {∗} _{et Hom C} (∗ _, ∗) = G. La composition est le produit dans G.

Remarque A.3. On désigne souvent une catégorie par le nom de ses objets. En fait l’essentiel de l’information est contenue dans les morphismes (voir le dernier exemple).

Définition A.4. Une catégorie C est dite petite si ob (C ) est un ensemble.

Exemple A.5. Ens n’est pas une petite catégorie.

Définition A.6. Soit C une catégorie. On appelle catégorie opposée de C la catégorie, notée

C

^op

, dont les objets sont les mêmes que ceux de C et telle que si X, Y sont des objets de C

^op

, on a

Hom C

^op

( X, Y ) = Hom C ( Y, X ) .

Définition A.7. Soit C une catégorie. Une sous-catégorie C ⁰ de C est la donnée d’une sous-classe ob (C ⁰ ) _{de ob} (C) d’objets de C ⁰ , et pour tous objets X, Y de C ⁰ d’un sous-ensemble Hom C

⁰

( _{X, Y} ) de Hom C ( X, Y ) , tels que

• si X est un objet de C ⁰ , on a 1

X

∈ Hom C

⁰

( X, X ) ;

• _{si X, Y,} Z sont des objets de C ⁰ _{et si f} ∈ _{Hom C}

⁰

( _{X, Y} ) _{, g} ∈ _{Hom C}

⁰

( _{Y, Z} ) _{, on a g} ◦ _f ∈ Hom C

⁰

( X, Z )

Une sous-catégorie C ⁰ de C est dite pleine si pour tous objets X, Y de C ⁰ , on a Hom C

⁰

( X, Y ) = Hom C ( _{X, Y} )

Une sous-catégorie est elle-même, pour la composition induite, une catégorie.

Exemples A.8. (a) Soit k un corps commutatif. La catégorie Vect

_f

( k ) des k-espaces vectoriels de dimension finie est une sous-catégorie pleine de la catégorie des k-espaces vectoriels Vect ( k ) = Mod ( k ) .

(b) Ab, la catégorie des groupes abéliens, est une sous-catégorie pleine de Grp.

Définition A.9. Soit C une catégorie et X un objet de C . On dit que X est un objet initial (resp.

objet final) de C si pour tout objet A de C l’ensemble Hom C ( X, A ) (resp. Hom C ( A, X ) ) est réduit à un élément.

Exemples A.10. (a) Le groupe trivial à un élément est un objet initial et final de Grp.

(b) Z est un objet initial dans Ann, la catégorie des anneaux, alors que l’anneau nul est un objet final.

(c) Un objet initial (resp. final) de C est un objet final (resp. initial) de C

^op

.

Définition A.11. Soient C une catégorie et f ∈ Hom C ( X, Y ) . On dit que f est un (a) monomorphisme si ∀ g, h ∈ Hom C ( Z, X ) , on a

f ◦ g = f ◦ h ⇒ g = h (b) épimorphisme si ∀ g, h ∈ Hom C ( Y, Z ) , on a

g ◦ f = h ◦ f ⇒ g = h

(c) isomorphisme s’il existe g ∈ _{Hom C} ( Y, X ) tel que f ◦ g = ₁

_Y

et g ◦ f = ₁

_X

.

Exemples A.12. (a) Dans Ens ou Mod ( A ) : monomorphisme = morphisme injectif, épimor- phisme = morphisme surjectif, isomorphisme = morphisme bijectif = monomorphisme + épimorphisme.

(b) Un isomorphisme est un monomorphisme et un épimorphisme. La réciproque n’est pas vrai : dans Ann , l’inclusion Z ⊂ _Q est un monomorphisme et un épimorphisme, mais pas un isomorphisme.

(c) Un objet initial (resp. final) d’une catégorie est, s’il existe, unique à isomorphisme près.

(En effet : Soient X et Y des objets initiaux d’une catégorie C , et soient f , g les uniques morphismes

respectifs de Hom

_C

( X, Y ) et Hom

_C

( Y, X ) . Alors on a f ◦ g = 1

_Y

et g ◦ f = 1

_X

car Hom

_C

( Y, Y ) et

Hom

C

( X, X ) sont réduits à un élément. La preuve pour les objets finaux est identique.)

B. F ONCTEURS

Définition B.1. Un foncteur (covariant) F d’une catégorie C vers une catégorie C ⁰ , F : C −→ C ⁰ , est la donnée

(a) Pour tout objet X de C d’un objet F ( X ) de C .

(b) Pour tout couple d’objets ( X, Y ) de C et tout f ∈ Hom C ( X, Y ) , d’un F ( f ) ∈ Hom _C

⁰

( F ( X ) , F ( Y )) tel que

• pour tout objet X de C , on a F ( 1

X

) = 1

_F

₍

_X

₎ ;

• ∀ f ∈ _{Hom C} ( X, Y ) , ∀ g ∈ _{Hom C} ( Y, Z ) , on a F ( g ◦ f ) = F ( g ) ◦ F ( f ) . Exemples B.2. (a) Le foncteur identité 1 C : C −→ C , X 7−→ X, f 7−→ f .

(b) Le foncteur oubli Grp −→ Ens, qui à un groupe associe l’ensemble sous-jacent.

(c) Le foncteur Ann −→ Grp qui associe à un anneau le groupe de ses éléments inversibles.

(d) Le foncteur Grp −→ Ab qui à un groupe G associe son abélianisé G/ [ G, G ] .

(e) Soit X un objet d’une catégorie C . Alors Hom C ( X, −) est un foncteur de C dans Ens avec pour f : Y −→ Z,

Hom C ( X, −)( f ) = f ◦ − : Hom C ( X, Y ) −→ Hom C ( X, Z ) u 7−→ f ◦ u

Si C = Mod ( A ) , le foncteur Hom

_A

( X, −) est un foncteur Mod ( A ) −→ Ab.

(f) Si F : C −→ C ⁰ et G : C ⁰ −→ C ⁰⁰ sont des foncteurs, on définit le foncteur composé G ◦ F : C −→ C ⁰⁰ par G ◦ F ( X ) = G ( F ( X )) pour tout objet X de C , et G ◦ F ( f ) = G ( F ( f )) pour tout morphisme f de C .

(g) Si X est un espace topologique, on note π

0

( X ) l’ensemble des composantes connexes par arcs de X. On vérifie sans difficulté que si f : X → Y est une application continue, alors f induit une application π

0

( X ) → π

0

( Y ) . On obtient ainsi un foncteur π

0

: Top −→ Ens.

(h) Pour un anneau A, le foncteur Ens −→ Mod ( A ) , X 7−→ _A ⁽

^X

⁾ = AX, qui à un ensemble X associe le A-module libre de base X (AX, étant, formellement, le A-module libre des fonc- tions à support fini X → A).

Définition B.3. Un foncteur contravariant F d’une catégorie C vers une catégorie C ⁰ est un foncteur covariant F : C −→ C ⁰ op.

Exemple B.4. Soit X un objet d’une catégorie C . Alors Hom C (− , X ) est un foncteur contra- variant de C dans Ens, avec pour f : Y −→ Z,

Hom C (− , X )( f ) = − ◦ f : Hom C ( X, Z ) −→ Hom C ( X, Y ) u 7−→ u ◦ f

Si C = Mod ( A ) , le foncteur Hom

_A

(− , X ) est un foncteur contravariant Mod ( A ) −→ Ab Le résultat suivant, très facile, est pourtant un outil important pour montrer que des objets d’une catégorie ne sont pas isomorphes.

Théorème B.5. Soient F : C −→ C ⁰ un foncteur, et X, Y des objets de C . Si X et Y sont

isomorphes, alors F ( X ) et F ( Y ) sont isomorphes.

Preuve. Soient f : X → Y et g : Y → X tels que f ◦ g = 1

_Y

et g ◦ f = 1

X

. Alors 1

_F(Y)

= F ( 1

_Y

) = F ( f ◦ g ) = F ( f ) ◦ F ( g ) et 1

_F(X)

= F ( 1

_X

) = F ( g ◦ f ) = F ( g ) ◦ F ( f ) , donc F ( X ) et F ( Y ) sont isomorphes. X Exemple B.6. On retrouve ainsi le fait que si X et Y sont des espaces topologiques homéo- morphes, alors les ensembles π

0

( X ) et π

0

( Y ) sont en bijection. On peut utiliser cela pour montrer que R

²

et R ne sont pas homéomorphes (en enlevant un point à chacun des deux espaces).

Définition B.7. Soient F, G : C −→ C ⁰ deux foncteurs. Un morphisme de foncteurs (ou trans- formation naturelle) de F dans G, φ : F −→ G, est la donnée pour chaque objet X de C d’un morphisme φ

X

∈ Hom C

⁰

( F ( X ) , G ( X )) tel que ∀ f ∈ Hom C ( X, Y ) , on a G ( f ) ◦ φ

X

= φ

Y

◦ F ( f ) , c’est-à-dire que le diagramme suivant est commutatif

F ( X )

^φX

^//

F

(

f

)

G ( X )

G

(

f

)

F ( Y )

^φY

^// G ( Y )

Un morphisme de foncteurs φ est un isomorphisme si φ

X

est un isomorphisme pour tout objet X de C .

Exemple B.8. Soient X et X ⁰ deux objets d’une catégorie C et soit f ∈ Hom C ( X, X ⁰ ) . Alors f induit un morphisme de foncteurs f ∗ : Hom C ( X ⁰ , −) −→ Hom C ( X, −) défini par

( f ∗ )

_Y

: Hom C ( X ⁰ , Y ) −→ Hom C ( X, Y ) u 7−→ u ◦ f

Le morphisme de foncteurs f ∗ est un isomorphisme si f est un isomorphisme.

Définition B.9. Deux catégories C et C ⁰ sont dites

(a) isomorphes s’il existe des foncteurs F : C −→ C ⁰ _{et G :} C ⁰ −→ C _{tels que F} ◦ _G = _{1 C}

⁰

_et G ◦ F = 1 C . On dit alors que F et G sont des isomorphismes de catégories.

(b) équivalentes s’il existe des foncteurs F : C −→ C ⁰ et G : C ⁰ −→ C et des isomorphismes de foncteurs F ◦ _G ' _{1 C}

⁰

_{et G} ◦ _F ' _{1 C} . On dit alors que F et G sont des équivalences de catégories.

On dit alors que G est un quasi-inverse de F.

Lorsque les foncteurs précédents sont contravariants, on parle d’anti-isomorphisme et d’anti-équivalence de catégories.

Le théorème à suivre est très utile pour montrer qu’un foncteur est une équivalence de catégories. On a d’abord besoin d’un peu plus de vocabulaire.

Définition B.10. Soit F : C −→ C ⁰ un foncteur. On dit que F est fidèle (resp. plein, resp.

pleinement fidèle) si pour pour tous les objets X, Y de C l’application Hom C ( X, Y ) −→ Hom C

⁰

( F ( X ) , F ( Y ))

f 7−→ F ( f ) est injective (resp. surjective, resp. bijective).

On dit que F est essentiellement surjectif si pour tout objet X ⁰ de C ⁰ il existe un objet X de C

tel que F ( X ) est isomorphe à X ⁰ .

Théorème B.11. Soient C et C ⁰ des catégories et F : C −→ C ⁰ un foncteur. Les assertions suivantes sont équivalentes.

(a) F est une équivalence de catégories.

(b) F est essentiellement surjectif et pleinement fidèle.

Preuve. ( a ) = ⇒ ( b ) Supposons que F est une équivalence de catégories : il existe un foncteur G : C

⁰

−→ C et des isomorphismes de foncteurs η : 1

_C⁰

−→ F ◦ G et θ : G ◦ F −→ 1

_C

. Pour U ∈ C

⁰

, le premier ismorphisme U ∼ = F ( G ( U )) assure que F est essentiellement surjectif. Soit f : X −→ Y un morphisme de C . Alors le diagramme suivant est commutatif :

GF ( X )

^θX

^//

GF(f)

X

f

GF ( Y )

^θY

^// Y Ainsi si F ( f

₁

) = F ( f

2

) , on a

f

₁

= θ

_Y

◦ GF ( f

₁

) ◦ θ

_X⁻¹

= θ

_Y

◦ GF ( f

₂

) ◦ θ

⁻_X¹

= f

₂

est F est fidèle. De même on montre que G est fidèle en utilsant η. Soit g : F ( X ) −→ F ( Y ) un morphisme de C

⁰

. Alors g = F ( f ) pour f : = θ

_Y

◦ G ( g ) ◦ θ

⁻_X¹

. En effet

θ

_Y

◦ GF ( f ) ◦ θ

_X⁻¹

= f = θ

_Y

◦ G ( g ) ◦ θ

⁻_X¹

et ainsi GF ( f ) = G ( g ) , d’où g = F ( f ) puisque G est fidèle. Ainsi F est pleinement fidèle.

( b ) = ⇒ ( a ) Supposons F pleinement surjectif et essentiellement fidèle. Pour chaque objet W de C

⁰

, choisissons un objet G ( _W ) _de C et un isomorphisme η

_W

: W ∼ = F ( _G ( _W )) _{. Pour g : W} −→ W

⁰

un morphisme de C

⁰

, considérons

η

_W⁰

◦ g ◦ η

_W⁻¹

: FG ( W ) −→ FG ( W

⁰

)

Le foncteur F étant pleinement fidèle, il existe un unique morphisme G ( g ) _: G ( W ) −→ G ( W

⁰

) _{tel que} F ( G ( g )) = η

_W⁰

◦ g ◦ η

_W⁻¹

: FG ( W ) −→ FG ( W

⁰

)

Vérifions que G est un foncteur. On a G ( 1

_W

) = 1

_G(W)

car F ( G ( 1

_W

)) = η

_W

◦ η

_W⁻¹

= 1

_FG(W)

= F ( 1

_G(W

) . Soient g : W −→ W

⁰

et h : W

⁰

−→ Z. Alors

F ( G ( h ◦ g )) = η

_Z

◦ h ◦ g ◦ η

_W⁻¹

= η

_Z

◦ h ◦ η

_W⁻¹0

◦ η

_W⁰

◦ g ◦ η

_W⁻¹

= F ( G ( h )) ◦ F ( G ( g )) = F ( G ( h ) ◦ G ( g ))

ce qui donne G ( h ◦ g ) = G ( h ) ◦ G ( g ) par fidélité de F. Ainsi G est un foncteur et par construction η : 1

C⁰

−→ F ◦ G est un isomorphisme de foncteurs. Pour un objet X de C , on définit θ

_X

: G ( F ( X )) −→ X comme l’unique morphisme tel que F ( θ

_X

) = η

⁻_F(¹_X)

(F est pleinement fidèle). Les θ

_X

sont des isomor- phismes car F est fidèle. Si f : X −→ Y est un morphisme de C , pour montrer que f ◦ θ

_X

= θ

_Y

◦ GF ( f ) , il suffit, par fidélité de F, de voir que F ( f ) ◦ η

⁻_F(¹_X)

= η

⁻_F(¹_Y)

◦ FGF ( f ) , ce qui est vrai par construction

de η et G. X

Exemple B.12. Soit C la sous-catégorie pleine de Vect

_f

( k ) dont les objets sont les espaces

vectoriels k

ⁿ

, n ∈ N (k

⁰

est par convention l’espace vectoriel nul). Le foncteur inclusion

C ⊂ Vect

_f

( k ) est une équivalence de catégories.

Définition B.13. Une catégorie est dite essentiellement petite si elle est équivalente à une petite

catégorie.

II. Complexes, homologie, cohomologie

Dans ce chapitre on introduit les objets de base de l’algèbre homologique. Pour des usages futurs dans diverses situations (topologie et algèbre), les concepts et résultats généraux sont présentés ici, mais manquent probablement d’exemples concrets pour les illustrer.

A. S UITES EXACTES DE MODULES

On présente, dans ce court paragraphe la notion de suite exacte de modules. Dans la suite A est un anneau.

Définition A.1. Soient f : M → N et g : N → P des morphismes de A-modules. La suite M − →

^f

_N − →

^g

_P

est dite exacte en N si Ker ( g ) = Im ( f ) . Une suite de morphismes de A-modules M

0

→ M

1

→ M

2

→ · · · → M

n

→ M

n

+

1

est dite exacte si elle est exacte en M

₁

, . . . , M

n

. Par exemple :

1. La suite 0 → M − →

^f

N est exacte (en M) si et seulement si f est injective.

2. La suite M − →

^f

N → 0 est exacte (en N) si et seulement si f est surjective.

3. La suite 0 → M − →

^f

N − →

^g

P → 0 est exacte si et seulement si f est injective, g est surjective et Ker ( g ) = Im ( f ) .

Le résultat suivant, qui ne sera pas utilisé dans la suite, est un bon exercice pour travailler les suites exactes et les diagrammes commutatifs.

Lemme A.2. (Le lemme des cinq) Considérons le diagramme commutatif à lignes exactes de morphismes de A-modules suivant :

M

₁ ^f1

^//

φ₁

M

₂ ^f2

^//

φ₂

M

₃ ^f3

^//

φ₃

M

₄ ^f4

^//

φ₄

M

₅

φ₅

N

1

g₁

// N

2

g₂

// N

3

g₃

// N

4

g₄

// N

5

1. Supposons φ

₁

surjective, φ

2

injective, φ

₄

injective. Alors φ

3

est injective.

2. Supposons φ

2

surjective, φ

4

surjective et φ

5

injective. Alors φ

3

est surjective

3. Si φ

2

et φ

4

sont des isomorphismes, φ

1

est surjective et φ

5

est injective, alors φ

3

est un

isomorphisme.

Preuve. 1. Soit x

3

∈ M

3

tel que φ

3

( x

3

) = 0. Alors g

3

φ

3

( x

3

) = 0 = φ

₄

f

3

( x

3

) . φ

₄

est injective donc f

₃

( x

₃

) = 0, et par exactitude en M

₃

il existe x

₂

∈ M

₂

tel que x

₃

= f

₂

( x

₂

) . On a 0 = φ

₃

( x

₃

) = φ

₃

f

₂

( x

₂

) = g

₂

φ

₂

( x

₂

) , donc par exactitude en N

₂

il existe y

₁

∈ N

₁

tel que φ

₂

( x

₂

) = g

₁

( y

₁

) . Il existe, par surjectivité de φ

₁

, x

₁

∈ M

₁

tel que y

₁

= φ

₁

( x

₁

) , et alors g

₁

( y

₁

) = g

₁

φ

₁

( x

₁

) = φ

2

f

₁

( x

₁

) = φ

2

( x

2

) . Par injectivité de φ

₂

on a f

₁

( x

₁

) = x

₂

, donc x

₃

= f

₂

( x

₂

) = f

₂

f

₁

( x

₁

) = 0. Donc φ

₃

est injective.

2. Soit y

₃

∈ N

₃

. Par surjectivité de φ

₄

, il existe x

₄

∈ M

₄

tel que φ

₄

( x

₄

) = g

₃

( y

₃

) et on a g

₄

φ

₄

( x

₄

) = 0 = φ

5

f

₄

( x

₄

) . Par injectivité de φ

5

, on a f

₄

( x

₄

) = 0, et par exactitude en M

₄

il existe x

3

∈ M

3

tel que f

₃

( x

₃

) = x

₄

. Alors g

₃

( y

₃

) = φ

₄

( x

₄

) = φ

₄

f

₃

( x

₃

) = g

₃

φ

₃

( x

₃

) . Donc par exactitude en N

₃

, il existe y

₂

∈ N

₂

tel que y

₃

− φ

₃

( x

₃

) = g

₂

( y

₂

) . Comme φ

₂

est surjective il existe x

₂

∈ M

₂

tel que y

₂

= φ

₂

( x

₂

) , d’où y

3

− φ

₃

( x

3

) = g

2

φ

₂

( x

2

) = φ

₃

f

2

( x

2

) , et y

3

= φ

₃

( x

3

+ f

2

( x

2

)) . φ

₃

est donc surjective. La troisième

assertion est la combinaison des deux premières. X

B. C OMPLEXES

On introduit maintenant les objets de base de l’algèbre homologique.

Définition B.1. Un A-module Z-gradué est une suite M ∗ = ( M

n

)

_n

_∈

_Z

de A-modules. Si M ∗ = ( M

n

)

_n

∈

_Z

et N ∗ = ( N

n

)

_n

∈

_Z

sont des A-modules Z-gradués, un morphisme de A-modules Z- gradués M ∗ → N ∗ est une suite d’applications A-linéaires f

n

: M

n

→ N

n

, n ∈ Z. La catégorie obtenue, notée Mod

_Z

( A ) , est appelée la catégorie des A-modules Z-gradués.

Remarque B.2. La donnée d’un A-module Z-gradué est équivalente à la donnée d’un A- module M muni d’une décomposition en somme directe M = ⊕

_n

_∈

_Z

M

n

, où les M

n

sont des sous-A-modules de M.

Définition B.3. Soit k ∈ Z. Soient M ∗ = ( M

n

)

_n

_∈

_Z

et N ∗ = ( N

n

)

_n

_∈

_Z

des A-modules Z- gradués. Une application linéaire de degré k de M ∗ dans N ∗ est une suite d’applications A-linéaires

f

n

: M

n

→ _N

_n

₊

_k

_{, n} ∈ _Z.

Un morphisme de A-modules Z-gradués est donc une application linéaire de degré 0.

Définition B.4. Un complexe de chaînes (ou simplement complexe) de A-modules est un couple C = ( C ∗ , d ∗ ) où C ∗ est un A-module Z-gradué et d ∗ : C ∗ → C ∗ est une application linéaire de degré − 1, appelée différentielle telle que pour tout n ∈ _{Z, on a d}

_n

◦ d

n

+

1

= 0 (c’est-à-dire Im ( d

_n

+

1

) ⊂ Ker ( d

n

) ).

C : · · · C

_n

+

2 d_n+2

−−→ C

_n

+

1 d_n+1

−−→ C

n dn

− → C

_n

−

1

· · ·

Définition B.5. Soit C = ( C ∗ , d ∗ ) un complexe de A-modules. On pose, pour tout n ∈ _Z,

• Z

n

( C ) = Ker ( d

n

) ⊂ C

n

(n-cycles),

• _B

_n

( C ) = Im ( d

n

+

1

) ⊂ _C

_n

_(n-bords)

• H

n

( C ) = Z

n

( C ) /B

n

( C ) . H

n

( C ) est appelé le n-ième A-module d’homologie de C (le n- ième groupe d’homologie quand A = _Z).

L’homologie d’un complexe mesure donc le défaut d’exactitude de la suite de modules

sous-jacente.

Exemple B.6. Soient f : M → _{N et g : N} → _P des morphismes de A-modules tels que g ◦ f = 0. Alors

· · · 0 → M − →

^f

N − →

^g

P → 0 · · ·

est un complexe, en posant M

n

= 0 si n < 0 ou n > 2, M

0

= P, M

₁

= N, M

2

= M, et d

n

= 0 si n > 2 ou n ≤ 0, d

1

= g, d

2

= f . Si on note C ce complexe, on a H

0

( C ) = P/Im ( g ) , H

₁

( C ) = _Ker ( g ) _{/ Im} ( f ) _, H

₂

( C ) = _Ker ( f ) _{, et} H

n

( C ) = _{0 si} n 6= _{0, 1, 2.}

Exemple B.7. Soient C = ( C ∗ , d

^C

) et D = ( D ∗ , d

^D

) deux complexes. Leur somme directe C ⊕ D est le complexe dont le module Z-gradué est C ∗ ⊕ D ∗ = ( C

n

⊕ D

n

)

_n

_∈

_Z

_{et donc la} différentielle est d

^C_n

⊕ d

^D_n

: C

n

⊕ D

n

→ C

_n

−

1

⊕ D

_n

−

1

, ( x, y ) 7→ ( d

^C_n

( x ) , d

^D_n

( y ) pour tout n ∈ _Z.

On a alors H

n

( C ⊕ D ) ' H

n

( C ) ⊕ H

n

( D ) pour tout n.

Définition B.8. Soient C = ( C ∗ , d

^C

) et D = ( D ∗ , d

^D

) deux complexes. Un morphisme de complexes f : C → D est une application linéaire de degré 0 qui commute aux différentielles :

C

n

fn

//

d^C_n

D

n d_n^D

C

_n

−

1

fn−1

// D

_n

−

1

On obtient ainsi la catégorie des complexes de A-modules, notée Comp ( A ) . La preuve du résultat suivant est un exercice facile.

Proposition B.9. Soit f : C → D un morphisme de complexes. Alors pour tout n on a f

n

( Z

n

( C )) ⊂ Z

n

( D ) _et f

n

( B

n

( C )) ⊂ B

n

( D ) _{, et} f induit un morphisme de A-modules

H

n

( f ) : H

n

( C ) −→ H

n

( D ) [ c ] 7−→ [ f

n

( c )]

De plus H

n

: Comp ( A ) −→ Mod ( A ) est un foncteur.

On a aussi une version “montante” des complexes, où la différentielle est de degré + 1.

Définition B.10. Un complexe de cochaînes (ou simplement complexe) de A-modules est un couple C = ( C ∗ , d ∗ ) où C ∗ est un A-module Z-gradué et d ∗ : C ∗ → C ∗ est une application linéaire de degré + 1 telle que pour tout n ∈ _{Z, on a d}

_n

+

1

◦ d

n

= 0 (c’est-à-dire Im ( d

n

) ⊂ Ker ( d

n

+

1

) ).

C : · · · C

_n

−

1 dn−1

−−→ C

n d_n

− → C

_n

+

1 d_n+1

−−→ C

n

+

2

· · ·

Définition B.11. Soit C = ( C ∗ , d ∗ ) un complexe de cochaînes de A-modules. On pose, pour tout n ∈ _Z,

• Z

ⁿ

( C ) = Ker ( d

n

) ⊂ C

n

(n-cocycles),

• B

ⁿ

( C ) = Im ( d

n

−

1

) ⊂ C

n

(n-cobords)

• H

ⁿ

( C ) = Z

ⁿ

( C ) /B

ⁿ

( C ) . H

ⁿ

( C ) est appelé le n-ième A-module de cohomologie de C (le n-ième groupe de cohomologie quand A = _Z).

Remarque B.12. Soit C = ( C ∗ , d ∗ ) un complexe de cochaînes de A-modules. Pour n ∈ _Z, posons C ⁰

_n

= C −

n

et d

^C_n⁰

= d

^C

₋

_n

: C

_n

⁰ → C

_n

⁰ ₋

₁

. Alors C ⁰ = ( C _∗ ⁰ , d

^C0

) est un complexe de chaînes, et on a H

ⁿ

( C ) = H −

n

( C ⁰ ) .

C. L ONGUE SUITE EXACTE D ’ HOMOLOGIE

On introduit maintenant un outil clé pour faires decalculs d’homologie : la longue suite exacte d’homologie.

Définition C.1. Une suite de morphisme de complexes C − →

^f

D − →

^g

E

est dite exacte si pour tout n ∈ Z, la suite C

n

− →

f

D

n

− →

g

E

n

est exacte.

Proposition C.2. Soit

C − →

^f

D − →

^g

E → 0

une suite exacte de complexes. Alors pour tout n ∈ _Z la suite suivante est exacte H

n

( C ) −−−→

^Hn

⁽

^f

⁾ H

n

( D ) −−−→

^Hn

⁽

^g

⁾ H

n

( E )

Preuve. On a H

_n

( g ) ◦ H

_n

( f ) = H

_n

( g ◦ f ) = 0. Réciproquement, soit x ∈ Z

_n

( _D ) _{tel que} H

_n

( g )([ x ]) = 0 = [ g

n

( x )] . On a donc g

n

( x ) ∈ B

n

( E ) : il existe y ∈ E

_n+1

tel que g

n

( x ) = d

^E_n+1

( y ) . Par surjectivité de g

_n+1

il existe z ∈ D

_n+1

tel que y = g

_n+1

( z ) , et donc

g

n

( x ) = d

^E_n+1

( y ) = d

_n^E₊₁

( g

_n+1

( z )) = g

n

( d

^D_n+1

( z ))

et x − d

^D_n+1

( z ) ∈ Ker ( g

n

) = Im ( f

n

) . Il existe donc c ∈ C

n

tel que x − d

^D_n+1

( z ) = f

n

( c ) . On a

f

n−1

( d

^C_n

( c )) = d

^D_n

( f

n

( c )) = d

^D_n

( x − d

_n^D₊₁

( z )) = d

_n^D

( x ) − d

^D_n

( d

_n^D₊₁

( z )) = 0, donc par injectivité de

f

n−1

on a d

^C_n

( c ) = 0, et c ∈ Z

n

( C ) . Ainsi [ x ] = [ f

n

( c )] = H

n

( f )([ c ]) . X

Théorème C.3. (Longue suite exacte d’homologie) Soit 0 → C − →

^f

D − →

^g

E → 0

une suite exacte de complexes. Il existe pour tout n ∈ Z, un morphisme de A-modules

∇

_n

: H

n

( E ) → H

n

−

1

( C )

appelé morphisme de connection, telle que la suite suivante soit exacte :

· · · H

n

( C ) −−−→

^Hn

⁽

^f

⁾ H

n

( D ) −−−→

^Hn

⁽

^g

⁾ H

n

( E ) −→ ^∇

ⁿ

H

n

−

1

( C ) −−−−→

^Hn−1

⁽

^f

⁾ H

n

−

1

( D ) · · ·

Preuve. On a déjà établi l’exactitude en H

_n

( _D ) , et il faut construire ∇

_n

_{. Soit} z ∈ Z

_n

( _E ) . On commence par associer à z un élément x ∈ Z

_n−1

( C ) .

D

_n+1 g_n+1

//

d^D_n+1

E

_n+1 d^E_n+1

// 0

0 ^// C

_n ^fn

^//

d^C_n

D

_n ^gn

^//

d^D_n

E

_n

^//

d^E_n

0

0 ^// C

_n−1 fn−1

//

d^C_n−1

D

_n−1 gn−1

//

d^D_n−1

E

_n−1

// 0

0 ^// C

_n−2

fn−2

// D

_n−2

Soit y ∈ D

n

tel que g

n

( y ) = z. On a d

^E_n

( z ) = 0 = d

^E_n

( g

n

( y )) = g

n−1

( d

^D_n

( y )) . Il existe donc un unique x ∈ C

_n−1

tel que f

_n−1

( x ) = d

_n^D

( y ) . On a f

_n−2

( d

^C_n−1

( x )) = d

^D_n−1

( f

_n−1

( x )) = d

^D_n−1

( d

^D_n

( y )) = 0. Par injectivité de f

_n−2

on a d

^C_n−1

( x ) = 0 et donc x ∈ Z

_n−1

( C ) .

Montrons que [ x ] , la classe de cohomologie de x, est indépendante du choix de y. Soit y

⁰

∈ D

_n

tel que g

n

( y

⁰

) = z = g

n

( y ) . Alors y − y

⁰

∈ Ker ( g

n

) : il existe a ∈ C

n

tel que y − y

⁰

= f

n

( a ) . Soit x

⁰

∈ C

_n−1

tel que f

_n−1

( x

⁰

) = d

^D_n

( y

⁰

) . On a f

_n−1

( x − x

⁰

) = d

^D_n

( y − y

⁰

) = d

^D_n

( f

_n

( a )) = f

_n−1

( d

^C_n

( a )) , d’où x − x

⁰

= d

^C_n

( a ) et [ x ] = [ x

⁰

] . On a donc construit une application

α

n

: Z

n

( E ) −→ H

n−1

( C )

z 7−→ [ x ] , avec f

_n−1

( x ) = d

^D_n

( y ) et g

n

( y ) = z

qui est clairement A-linéaire. Soit z ∈ B

_n

( E ) , c’est-à-dire z = d

^E_n+1

( c ) pour c ∈ E

_n+1

. Soit b ∈ D

_n+1

tel que g

_n+1

( b ) = c. On a g

_n

( d

_n^D₊₁

( b )) = d

^E_n+1

( g

_n+1

( b )) = z. On a donc α

_n

( x ) = [ x ] , pour x tel que f

n−1

( x ) = d

^D_n

( d

^D_n+1

( b )) = 0, d’où α

n

([ x ]) = 0. Ainsi α

n

induit un morphisme de A-modules

∇

_n

: H

_n

( _E ) −→ H

_n−1

( _C )

[ z ] 7−→ [ x ] _{, avec} f

_n−1

( x ) = d

^D_n

( y ) _et g

_n

( y ) = z

Montrons l’exactitude en H

n

( E ) . Soit r ∈ Z

n

( D ) . On a ∇

_n

◦ H

n

( g )([ r ]) = ∇

_n

([ g

n

( r )]) = [ x ] pour x ∈ C

_n−1

tel que f

_n−1

( x ) = d

^D_n

( y ) et g

_n

( y ) = g

_n

( r ) , d’où f

_n−1

( x ) = d

^D_n

( r ) = 0, et ∇

_n

◦ H

_n

( g )([ r ]) = 0.

Réciproquement, soit z ∈ Z

_n

( _E ) tel que ∇

_n

([ z ]) = 0 = [ x ] , où x ∈ Z

_n−1

( C ) vérifie f

_n−1

( x ) = d

^D_n

( y ) et z = g

n

( y ) (y ∈ D

n

). Il existe donc c ∈ C

n

tel que x = d

^C_n

( c ) , et on a f

_n−1

( x ) = f

_n−1

( d

^C_n

( c )) = d

^D_n

( f

_n

( c )) = d

^D_n

( y ) , d’où y − f

_n

( c ) ∈ Z

_n

( D ) , avec z = g

_n

( y − f

_n

( c )) . Ainsi [ z ] = H

_n

( g )([ y − f

_n

( c )]) pour y − f

_n

( c ) ∈ Z

_n

( _D ) , et [ z ] ∈ Im (∇

_n

) .

Il reste à montrer l’exactitude en H

_n−1

( C ) . Soit z ∈ Z

n

( E ) . On a H

_n−1

( f )(∇

_n

([ z ])) = [ f

_n−1

( x )]

pour x ∈ C

_n−1

vérifiant f

_n−1

( x ) = d

^D_n

( y ) , z = g

_n

( y ) , y ∈ D

_n

. Ainsi H

_n−1

( f )(∇

_n

([ z ])) = [ d

^D_n

( y )] = 0.

Réciproquement, soit c ∈ Z

_n−1

( C ) tel que H

_n−1

( f )([ c ]) = 0 = [ f

_n−1

( c )] . Il existe donc r ∈ D

n

tel que d

^D_n

( r ) = f

_n−1

( c ) . Soit z = g

_n

( r ) ∈ E

_n

. On a d

^E_n

( z ) = d

^E_n

( g

_n

( r )) = g

_n−1

( d

^D_n

( r )) = g

_n−1

( f

_n−1

( c )) = 0, d’où z ∈ Z

_n

( E ) , et par construction on a [ c ] = ∇

_n

([ z ]) . X

Théorème C.4. (Fonctorialité de la longue suite exacte d’homologie) Soit 0 ^// C

^f

^//

φ

D

^g

^//

ψ

E ^//

η

0 0 ^// C ⁰

^f

0

// D ⁰

^g

0

// E ^{0 //} 0

un diagramme commutatif de morphismes de complexes, à lignes exactes. Alors pour tout n ∈ Z, le diagramme suivant est commutatif

H

n

( E )

Hn

(

η

)

∇

_n

// H

n

−

1

( C )

Hn−1

(

φ

)

H

n

( E ⁰ ) ^∇

ⁿ

^// H

n

−

1

( C ⁰ )

Preuve. Soit z ∈ Z

_n

( E ) . On a ∇

_n

([ z ]) = [ x ] pour x ∈ Z

_n−1

( C ) tel que f

_n−1

( x ) = d

^D_n

( y ) , y ∈ D

_n

satisfaisant g

_n

( y ) = z. On a H

_n−1

( φ )(∇

_n

([ z ])) = [ φ

_n−1

( x )] .

Par ailleurs ∇

_n

( H

n

( η )([ z ])) = ∇

_n

([ η

_n

( z )]) = [ x

⁰

] où x

⁰

∈ Z

n−1

( C

⁰

) vérifie f

_n⁰₋₁

( x

⁰

) = d

_n^D0

( y

⁰

) pour tout y

⁰

∈ D

⁰_n

vérifiant g

⁰_n

( y

⁰

) = η

_n

( z ) . On a η

_n

( z ) = η

_n

( g

_n

( y )) = g

⁰_n

( ψ

_n

( y )) , ainsi

f

_n⁰₋₁

( x

⁰

) = d

^D_n⁰

( ψ

n

( y )) = ψ

_n−1

( d

^D_n

( y )) = ψ

_n−1

( f

_n−1

( x )) = f

_n⁰₋₁

( φ

_n−1

( x ))

donc x

⁰

= φ

_n−1

( x ) _{, et} H

_n−1

( φ )(∇

_n

([ z ])) = [ φ

_n−1

( x )] = [ x

⁰

] = ∇

_n

( H

_n

( η )([ z ]) _. X D. H ^OMOTOPIES

Définition D.1. Soient C = ( C ∗ , d

^C

) et D = ( D ∗ , d

^D

) deux complexes et soient f , g : C → D des morphismes de complexes. Une homotopie de f à g est une application linéaire de degré + ₁ h : C ∗ → D ∗ telle que ∀ n ∈ _{Z, on a d}

^D_n

₊

₁

◦ h

n

+ h

_n

−

1

◦ d

^C_n

= g

n

− f

n

.

C

n

+

1 d^C_n+1

// C

n

d^C_n

//

fn

^gn

hn

||

C

n

−

1 hn−1

|| D

n

+

1

d^D_n+1

// D

n

d^D_n

// D

n

−

1

On dit que f et g sont homotopes s’il existe une homotopie de f à g.

La notion et la terminologie sont bien sûr inspirées de la notion correspondante pour les

applications continues en topologie. Le résultat suivant est souvent utile.

Théorème D.2. Soient C = ( C ∗ , d

^C

) et D = ( D ∗ , d

^D

) deux complexes et soient f , g : C → D des morphismes de complexes. Si f et g sont homotopes, alors pour tout n ∈ _Z on a H

n

( f ) = H

n

( g ) .

Preuve. Soit h une homotopie de f à g. Soit x ∈ Z

n

( C ) . On a f

n

( x ) − g

n

( x ) = d

^D_n+1

( h

n

( x )) + h

n−1

( d

^C_n

( x )) = d

^D_n+1

( h

n

( x )) , donc H

n

( f )([ x ]) = [ f

n

( x )] = [ g

n

( x )] = H

n

( g )([ x ]) . X

Corollaire D.3. Soit C = ( C ∗ , d

^C

) tel que id

_C

soit homotope à zéro. Alors ∀ n on a H

n

( C ) = { 0 } .

La preuve du résultat suivant est laissée en exercice.

Proposition D.4. Soient C = ( C ∗ , d

^C

) , D = ( D ∗ , d

^D

) , E = ( E ∗ , d

^E

) des complexes.

1. La relation ”être homotope“ est une relation d’équivalence sur l’ensemble des mor- phismes de complexes de C dans D.

2. Si f , g : C → D sont des morphismes de complexes homotopes et si u, v : D → E sont des morphismes de complexes homotopes, alors u ◦ f et v ◦ g sont homotopes.

E. C OMPLEXES PRÉ - SIMPLICIAUX

On termine le chapitre par une méthode très utile pour construire des complexes. Là en- core c’est une construction inspirée de la topologie.

Définition E.1. Soit C une catégorie. Un objet pré-cosimplicial dans C est une famille ( X

n

)

_n

∈

_N

d’objets de C munis de morphismes, appelés cofaces,

δ

_iⁿ

: X

n

−

1

−→ X

n

, n ≥ 1, 0 ≤ i ≤ n satisfaisant δ

ⁿ_j

⁺

¹

◦ _δ

_iⁿ

= _δ

_iⁿ

⁺

¹

◦ _δ

ⁿ_j

₋

₁

, ∀ 0 ≤ i < j ≤ n + 1.

Un objet pré-simplicial dans C est un objet pré-cosimplicial dans C

^op

, c’est-à-dire une famille ( X

n

)

_n

_∈

_N

d’objets de C munis de morphismes, appelés faces,

d

_iⁿ

: X

n

−→ X

n

−

1

, n ≥ 1, 0 ≤ i ≤ n satisfaisant d

ⁿ_i

◦ d

ⁿ_j

⁺

¹

= d

ⁿ_j

₋

₁

◦ d

ⁿ_i

⁺

¹

, ∀ ₀ ≤ i < j ≤ n + 1.

Remarque E.2. Soit ( X

n

)

_n

∈

_N

un objet pré-cosimplicial dans C , dont les faces sont notées

δ

_iⁿ

: X

_n

−

1

−→ X

n

. Soit F : C → D un foncteur contravariant. Alors ( F ( X

n

))

_n

_∈

_N

est un objet

pré-simplicial dans D , avec cofaces F ( δ

_iⁿ

) : F ( X

n

) −→ F ( X

_n

−

1

) .

Définition E.3. Soit n ∈ N. Le n-simplexe standard est l’ensemble

∆

ⁿ

= {( t

₀

, . . . , t

n

) ∈ _R

ⁿ

⁺

¹

|

∑

n i

=

0

t

_i

= _{1, 0} ≤ t

_i

≤ ₁ } ⊂ _R

ⁿ

⁺

¹

que l’on munit de la topologie induite de celle de R

ⁿ

⁺

¹

Le résultat suivant motive la terminologie “simplicial“. La preuve est une vérification immédiate.

Définition-Proposition E.4. Pour n ∈ _N et 0 ≤ i ≤ n, soit δ

_iⁿ

: ∆

ⁿ

⁻

¹

−→ _∆

ⁿ

( t

₀

, . . . , t

_n

−

1

) 7−→ ( t

₀

, . . . , t

_i

−

1

, 0, t

_i

, . . . , t

_n

−

1

)

Alors muni de ces applications cofaces, ( _∆

ⁿ

)

_n

∈

_N

est un objet pré-cosimplicial dans Top.

La construction suivante, fondamentale, est la source de beaucoup de complexes rencon- trés en pratique.

Définition-Proposition E.5. Soit ( M

n

)

_n

_∈

_N

un A-module pré-simplicial dont les faces sont no- tées d

ⁿ_i

: M

n

→ M

_n

−

1

(n ≥ 1, 0 ≤ i ≤ n). Posons, pour n ≥ 1,

∂

n

=

∑

n i

=

0

(− ₁ )

ⁱ

d

ⁿ_i

: M

n

→ M

_n

−

1

On a, pour tout n ≥ 2, ∂

n

−

1

◦ _∂

_n

= 0. Donc si on pose M

n

= 0 si n < 0 et ∂

n

= 0 si n ≥ 0, on obtient un complexe

· · · M

n ∂n

− → M

_n

−

1

∂n−1

−−→ M

_n

−

2

∂n−2

−−→ · · · −

^∂

→

³

M

₂

−

^∂

→

²

M

₁

−

^∂

→

¹

M

₀

→ 0 appelé le complexe pré-simplicial associé au A-module pré-simplicial ( M

n

)

_n

∈

_N

.

Preuve. Soit n ≥ 2. On a

∂

_n−1

◦ ∂

n

=

n−1 i

∑

=₀

∑

n j=₀

(− 1 )

^i+j

d

ⁿ_i⁻¹

◦ d

ⁿ_j

=

n−1 i

∑

=₀

∑

n j=₀

u

_ij

où on a posé, pour ( i, j ) ∈ [ 0, n − 1 ] × [ 0, n ] , u

_ij

= (− 1 )

^i+j

d

ⁿ_i⁻¹

◦ d

ⁿ_j

. Il s’agit de vérifier que pour ( i, j ) ∈ [ 0, n − 1 ] × [ 0, n ] , il existe ( i

⁰

, j

⁰

) ∈ [ 0, n − 1 ] × [ 0, n ] tel que u

_ij

= − u

_i⁰_j⁰

.

Soit donc ( i, j ) ∈ [ 0, n − 1 ] × [ 0, n ] . Supposons i < j (alors ( i, j ) ∈ [ 0, n ] × [ 1, n ]) . On a u

_ij

= (− 1 )

^i+j

d

ⁿ_i⁻¹

◦ d

ⁿ_j

= (− 1 )

^i+j

d

ⁿ_j−⁻₁¹

◦ d

ⁿ_i

= −(− 1 )

^i+j−1

d

ⁿ_j−⁻₁¹

◦ d

ⁿ_i

= − u

_j−1,i

et donc on peut prendre ( i

⁰

, j

⁰

) = ( j − 1, i ) ∈ [ 0, n − 1 ] × [ 0, n − 1 ] .

Supposons i ≥ j (alors ( i, j ) ∈ [ _0, n − ₁ ] × [ _0, n − ₁ ] ). Le calcul précédent donne u

_j,i+₁

= − u

_ij

, et

donc on peut prendre ( i

⁰

, j

⁰

) = ( j, i + 1 ) . X

III. Homologie singulière

On introduit dans ce chapitre l’homologie singulière des espaces topologiques. Elle est basée sur une idée assez simple (comment plonger ou pas des simplexes dans un espaces topologique), mais la machinerie algébrique pour formaliser l’idée est en fait très astucieuse.

L’application que nous avons en vue est une preuve du théorème d’invariance du domaine.

A. D ÉFINITION DE L ’ HOMOLOGIE SINGULIÈRE

Rappelons que pour n ∈ _{N, le} n-simplexe standard est l’espace topologique

∆

ⁿ

= {( t

₀

, . . . , t

n

) ∈ _R

ⁿ

⁺

¹

|

∑

n i

=

0

t

_i

= 1, 0 ≤ t

_i

≤ 1 } ⊂ _R

ⁿ

⁺

¹

Il est muni d’application cofaces

δ

_iⁿ

: ∆

ⁿ

⁻

¹

−→ _∆

ⁿ

( n ≥ 1, 0 ≤ i ≤ n ) ( t

0

, . . . , t

n

−

1

) 7−→ ( t

0

, . . . , t

i

−

1

, 0, t

i

, . . . , t

n

−

1

) qui en font un objet pré-cosimplicial ( _∆

ⁿ

)

_n

_∈

_N

_dans Top .

Définition A.1. Soit X est un espace topologique. Un n-simplexe singulier dans X est une application continue σ : ∆

ⁿ

→ X, c’est-à-dire un élément de C ( _∆

ⁿ

, X )

Pour un espace topologique X, notons C (− , X ) le foncteur contravariant Top → Ens, Y 7→

C ( Y, X ) .

En appliquant ce foncteur C (− , X ) à l’espace topologique pré-cosimplicial ( _∆

_n

)

ⁿ

^∈

^N

, on obtient un ensemble pré-simplicial

( C ( _∆

ⁿ

, X ))

_n

∈

_N

dont les cofaces sont données par

d

ⁿ_i

: C ( _∆

ⁿ

, X ) −→ C ( _∆

ⁿ

⁻

¹

, X ) , n ≥ 1, 0 ≤ i ≤ n

σ 7−→ σ ◦ δ

_iⁿ

, ( t

0

, . . . , t

_n

−

1

) 7→ σ ( t

0

, . . . , t

_i

−

1

, 0, t

_i

, . . . , t

_n

−

1

) En appliquant maintenant le foncteur

Ens −→ Ab

E 7−→ _ZE = _Z ⁽

^E

⁾ on obtient un groupe abélien pré-simplicial,

( _ZC ( _∆

ⁿ

_, X ))

_n

_∈

_N

Notons, pour tout n ∈ _Z, S

n

( X ) = _ZC ( _∆

ⁿ

, X ) . On notera S • ( X ) le complexe associé par la proposition E.5 au groupe abélien pré-simplicial ( S

n

( X ))

_n

∈

_N

. Pour n ≥ 1, la différentielle est donnée par

∂

n

: S

n

( X ) −→ S

_n

−

1

( X ) C ( _∆

ⁿ

_, X ) 3 _σ 7−→

∑

n i

=

0

(− ₁ )

ⁱ

_σ ◦ _δ

_iⁿ

Si f : X → _Y est une application continue, elle induit pour tout n un morphisme de groupes S

n

( f ) : S

n

( X ) −→ S

n

( Y )

C ( _∆

ⁿ

, X ) 3 σ 7−→ f ◦ σ

On vérifie sans difficulté que cette construction définit un foncteur S • : Top −→ Comp ( _Z )

Définition A.2. Soit X un espace topologique et n ∈ N. Le n-ème groupe d’homologie singu- lière de X, noté H

n

( X ) , est le n-ème groupe d’homologie du complexe S • ( X ) :

H

n

( X ) = H

n

( S • ( X ))

Proposition A.3. Pour tout n ∈ N, l’homologie singulière définit un foncteur H

n

: Top −→ Ab

qui est la composée des foncteurs

Top −

^S

→

^•

Comp ( _Z ) −→

^Hn

Ab

Preuve. Si f : X → Y est une application continue, on pose H

_n

( f ) = H

_n

( S

•

( f )) . Il est clair que cela

définit un foncteur, composé des deux foncteurs indiqués. X

Corollaire A.4. Si X et Y sont des espaces topologiques homéomorphes, alors pour tout n ∈ N, les groupe H

n

( X ) et H

n

( Y ) sont isomorphes.

B. P REMIERS CALCULS

On présente quelques calculs immédiats dans ce paragraphe.

B.1. H ₀ ( X )

Proposition B.1. Pour tout espace topologique X, on a H

₀

( X ) ' _Zπ

₀

( X ) .

Preuve. On a, par définition

H

₀

( X ) = S

₀

( X ) / ( ∂

₁

( S

₁

( X )) On a une bijection

C ( _∆

⁰

, X ) → X

σ 7→ σ ( 1 )

qui s’étend en un isomorphisme de groupes

ε : S

₀

( X ) ' _Z X

Soit q : X → π

₀

( X ) la surjection canonique qui associe à x ∈ X sa composante connexe par arcs C ( x ) . On prolonge q en une application linéaire q : ZX → _Z π

₀

( _X ) , et on considère l’application linéaire

q ◦ ε : S

₀

( X ) → _Z π

₀

( X )

Pour σ ∈ C ( _∆

¹

, X ) , on a ∂

₁

( σ ) = σ ◦ δ

₀¹

− σ ◦ δ

¹₁

∈ S

₀

( X ) , d’où ε ( ∂

₁

( σ )) = σ ( 0, 1 ) − σ ( 1, 0 ) et q ◦ ε ( ∂

₁

( σ )) = C ( σ ( 0, 1 )) − C ( σ ( 1, 0 ))

L’application γ : [ 0, 1 ] → X, t 7→ σ ( t, 1 − t ) est une chemin continu de σ ( 0, 1 ) à σ ( 1, 0 ) , d’où C ( σ ( 0, 1 )) = C ( σ ( 1, 0 )) et q ◦ ε s’annule sur ∂

₁

( S

₁

( X )) , induisant ainsi un morphisme de groupes

Φ : H

0

( X ) −→ _Zπ

₀

( X ) [ σ ] 7−→ C ( σ ( ₁ ))

Pour un composante connexe par arcs C, choisissons x

_C

∈ C et soit σ

_C

∈ C ( _∆

⁰

, X ) défini par σ

_C

( 1 ) = x

_C

. Ceci définit une application π

₀

( X ) → S

0

( X ) , C 7→ x

_C

, que l’on prolonge en un morphisme de groupes Zπ

0

( X ) → S

₀

( X ) , qui composé avec la surjection canonique, produit un morphisme de groupes

Ψ : Zπ

0

( X ) −→ H

₀

( X ) C 7−→ [ σ

_C

]

Vérifions que Φ et Ψ sont des isomorphismes réciproques. Pour C ∈ π

₀

( _X ) _{, on a Φ} ◦ _Ψ ( _C ) = C ( σ

_C

( 1 )) = C ( x

_C

) = C, d’où Φ ◦ _Ψ = id. Pour σ ∈ C ( _∆

⁰

, X ) , soit y = x

_C(σ(1))

. Soit γ un chemin continu de σ ( ₁ ) _à y, et τ ∈ C ( _∆

¹

_, X ) _{défini par} τ ( t, 1 − t ) = γ ( t ) _{. On a}

0 = [ ∂

₁

( τ )] = [ τ ◦ δ

₀¹

] − [ τ ◦ δ

¹₁

] = [ σ ] − [ σ

_C(σ(1))

] = [ σ ] − _Ψ ◦ _Φ ([ σ ])

On en déduit que Ψ ◦ _Φ = id. X

B.2. Homologie d’un point

Proposition B.2. Soit ∗ l’espace topologique à un point. On a H

n

(∗) '

( Z si n = 0 0 si n > 0

Preuve. Pour tout n, C ( _∆

ⁿ

, ∗) est réduit à un élément, noté σ

_n

, et donc S

_n

( X ) = _Zσ

_n

. On voit facile- ment que ∂

_n

( σ

_n

) = 0 si n impair et ∂

_n

( σ

_n

) = σ

_n−1

si n est pair. Le complexe S

•

(∗) est donc

· · · → _Zσ

₃

− →

⁰

_Zσ

₂

− →

^'

_Zσ

₁

− →

⁰

_Zσ

₀

→ 0

et le calcul de son homologie est immédiat. X

B.3. Composantes connexes

On montre maintenant que l’homologie d’un espace topologique est déterminée par l’ho- mologie de ses composantes connexes par arcs.

Proposition B.3. Soit X un espace topologique et soient { _X

_α

}

_α

_∈

_A

ses composantes connexes par arcs. Pour tout n ∈ N, on a un isomorphisme de groupes

M

α

∈

A

H

n

( X

α

) ' H

n

( X )

Preuve. Pour chaque n, on a une bijection

ä

α∈A

C ( _∆

ⁿ

, X

_α

) ' C ( _∆

ⁿ

, X )

car l’image par une application continue d’un connexe par arcs est contenu dans une composante connexe par arcs. On a donc pour tout n un isomorphisme de groupe

M

α∈A

S

n

( X

α

) = ^M

α∈A

ZC ( _∆

ⁿ

, X

α

) ' _Z ä

α∈A

C ( _∆

ⁿ

, X

α

)

!

' _ZC ( _∆

ⁿ

, X ) = S

n

( X ) et on obtient un isomorphisme de complexes

M

α∈A

S

•

( X

α

) ' S

•

( X )

induisant les isomorphismes annoncés entre groupes d’homologie. X C. H OMOLOGIE ET HOMOTOPIE

On étudie dans ce paragraphe le lien entre homologie et homotopie. On commence par quelques rappels sur l’homotopie.

C.1. Homotopie

Définition C.1. Soient X, Y des espaces topologiques et f , g : X → Y des applications continues.

Une homotopie de f à g est une application continue H : X × [ 0, 1 ] −→ Y

telle que H (− , 0 ) = f et H (− , 1 ) = g. On dit que f et g sont homotopes s’il existe une homotopie de f à g.

Exemple C.2. Soit f , g : X → D deux applications continues, où D est une partie convexe de R

ⁿ

. Alors f et g sont homotopes, via l’homotopie

H : X × [ 0, 1 ] −→ D

( x, t ) 7−→ ( 1 − t ) f ( x ) + tg ( x )