Tabledesmatières MouvementdansunchampdeforcecentraleconservativeCasparticulierduchampnewtonien

Mouvement dans un champ de force centrale conservative Cas particulier du champ newtonien

Table des matières

I. Force centrale 1

1. Définition . . . 1

2. Exemples de forces centrales conservatives . . . 1

a) Interaction gravitationnelle. . . 1

b) Interaction électrostatique . . . 2

c) Force élastique . . . 2

II. Propriétés générales d’un mouvement à force centrale 3 1. Conservation du moment cinétique . . . 3

2. Conséquences . . . 3

a) La trajectoire est plane . . . 3

b) Le mouvement suit la loi des aires . . . 3

III.Conservation de l’énergie mécanique : énergie potentielle effective 4 1. Énergie potentielle effective . . . 4

2. Étude qualitative du mouvement radial . . . 5

IV.Cas particulier du champ de force newtonien 5 1. Champ de force newtonien . . . 5

2. Approche énergétique : étude de l’énergie potentielle effective . . . 7

3. Lois de Kepler . . . 9

4. Cas particulier du mouvement circulaire . . . 11

a) Vitesse circulaire . . . 11

b) Énergie du mouvement circulaire . . . 13

c) Calcul à partir de l’énergie potentielle effective . . . 13

5. Quelques notions sur les satellites terrestre . . . 14

a) Généralités . . . 14

b) Vitesses cosmiques . . . 14

c) Satellite géostationnaire . . . 15

d) Trajectoire elliptique . . . 17

e) Mise sur orbite . . . 19

I. Force centrale

1. Définition

Une force est centrale si son support passe par un point O fixe dans le référentiel d’étude R galiléen. O est appelé centre de force.

−−→OM∧F~ =~0

La force F~ peut être attractive ou répulsive.

La force F~ est donc colinéaire au vecteur ~u_r des coordonnées sphériques centrées en O.

La force F~ est conservative si son travail élémentaire peut s’écrire sous la forme δW =F .d~ −−→

OM =−dE_p

2. Exemples de forces centrales conservatives

a) Interaction gravitationnelle

On poseF~ =F~O→M =−F~M→O

F~ =−Gm₀m r² ~u_r

G constante de gravitation :G= 6,67.10⁻¹¹ m³.kg⁻¹.s⁻² Le déplacement élémentaire en coordonnées sphériques vautd−−→

OM = dr−→ur+rdθ−→uθ+rsinθdϕ−u→ϕ

F .d~ −−→

OM =−Gm₀m

r² ~u_r.(dr−→u_r +rdθ−→u_θ+rsinθdϕ−u→_ϕ) =−Gm₀m

r² dr=−dE_p dEp

dr = Gm0m r² E_p =−Gm₀m

r + Cte

L’énergie potentielle ne dépend que de r : E_p = E_p(r). Si on choisit E_p = 0 à l’infini alors Cte = 0

E_p(r) =−Gm₀m

r avec E_p(∞) = 0

b) Interaction électrostatique

On poseF~ =F~O→M =−F~M→O

F~ = 1 4πε₀

q₀q r² ~u_r

ε₀ permittivité du vide : ε₀ = 8,85.10⁻¹² F.m⁻¹

Remarque : dans un milieu (par exemple l’eau) ε₀ → ε_Rε₀ avec ε_R la permittivité relative du milieu (pour l’eau à 25^◦Cε_R= 78).

En procédant par analogie avec les calculs précédents

−G↔ 1 4πε0

m₀m↔q₀q

E_p(r) = 1 4πε₀

q₀q

r avec E_p(∞) = 0

c) Force élastique

On pose F~ =F~O→M =−F~M→O

F~ =−k(r−r₀)~u_r

k constante de raideur du ressort r₀ longueur à vide du ressort (r₀ =`₀) F .d~ −−→

OM =−k(r−r₀)~u_r.(dr−→u_r +rdθ−→u_θ+rsinθdϕ−u→_ϕ) =−k(r−r₀)dr=−dE_p dE_p

dr =k(r−r₀) E_p = 1

2k(r−r₀)²+ Cte^∗

E_p(r) = 1

2k(r−r₀)² avecE_p(r₀) = 0

∗ On retrouve bienE_p = ¹₂(`−`₀)²+Cte.

II. Propriétés générales d’un mouvement à force centrale

1. Conservation du moment cinétique

On considère un point matériel M de masse m en mouvement dans un référentiel R galiléen dans un champ de force centrale de centreO fixe dans R.

Le centre de force O étant fixe dans R, la loi du moment cinétique appliquée à M au pointO s’écrit

d~σ_O(M) dt

R

=M~O(F~) =−−→

OM ∧F~ =~0

~

σ_O(M) =−−→ Cte

Le moment cinétique par rapport à O est une constante vectorielle du mouvement.

Remarque : le cas particulier où ~σ_O(M) = ~0 correspond à un mouvement rectiligne :

∀t −−→

OM k~v

2. Conséquences

a) La trajectoire est plane

On note ~σ_O=~σ_O(M) = −−→

OM ∧m~v(M).

avec les propriétés du produit vectoriel : −−→

OM ⊥~σ_O

~v(M)⊥~σ_O

Le mouvement a lieu dans le plan perpendiculaire à ~σ_O passant par O

b) Le mouvement suit la loi des aires

En des temps égaux les aires balayées par le rayon vecteur −−→

OM sont égales.

Démonstration :

Le mouvement étant plan on choisit de repérer le pointM par ses coordonnées polaires(r, θ).

On choisit~u_z de manière à avoir ~σ_O =σ_O~u_z avec (~u_r, ~u_θ, ~u_z) base orthonormée directe.

( −−→

OM =r~u_r

~

v(M) = ˙r~u_r+rθ~˙u_θ

~σ_O=−−→

OM ∧m~v(M) =mr~u_r∧( ˙r~u_r+rθ~˙u_θ)

~σ_O=mr²θ~˙uz =σ_O~u_z On pose C = σ_O

m =r²θ˙ .

C est appelée la constante aréolaire du mouvement.

La constante aréolaire étant constante, son signe est constant et donc le signe de θ˙ aussi. On peut toujours choisir une orientation de manière à avoirθ >˙ 0et donc σ0 >0.

Soit dA l’aire balayée par le rayon vecteur −−→

OM pendant le tempsdt.

dA = ¹₂k−−→

OM∧d−−→

OMk= ¹₂k−−→

OM ∧~vdtk dA

dt =k−−→

OM ∧~vk= 1 2

k~σ0k m = 1

2 σ0

m = C 2 dA

dt = C 2

La vitesse aréolaire est constante et vaut ^C₂ .

III. Conservation de l’énergie mécanique : énergie poten- tielle effective

On suppose que le point matérielM n’est soumis à qu’à une force centraleF~ conservative. On note E_p(r) l’énergie potentielle dont dérive la force F~.

1. Énergie potentielle effective

Au cours du mouvement deM dans le référentielR galiléen d’étude, la seule force qui travaille est la force F~. Cette force est conservative, donc l’énergie mécanique du point M dans R est conservée.

E_m =E_c+E_p =Cte

Or E_c= ¹₂mv² avec~v = ˙r~u_r+rθ~˙u_θ d’où v² = ˙r²+r²θ˙². On en déduit E_m = 1

2m( ˙r² +r²θ˙²) +E_p(r)

On introduit alors la constante aréolaire du mouvement C = r²θ˙ qui permet de remplacer θ˙ par _r^C2

E_m = 1 2m

˙

r²+r²C² r⁴

+E_p(r)

E_m = 1

2mr˙²+ 1 2mC²

r² +E_p(r) On pose E_p,eff(r) = 1

2mC²

r² +E_p(r) énergie potentielle effectivedu mouvement.

La conservation de l’énergie mécanique s’exprime alors sous la forme :

E_m = 1

2mr˙²+E_p,eff(r) = Cte

2. Étude qualitative du mouvement radial

E_m = 1 2mr˙²

| {z }

>0

+E_p,eff(r)

Le mouvement n’est possible que dans les domaines oùE_m ≥E_p,eff.

LorsqueEm =Ep,eff,r˙= 0: ces positions correspondent à une valeur extrémale der. Attention, la vitesse en ces points n’est pas nulle car il reste la composante orthoradiale~v =rθ~˙u_θ.

Nous allons voir dans le paragraphe suivant comment exploiter la courbe deE_p,eff(r).

IV. Cas particulier du champ de force newtonien

1. Champ de force newtonien

Un point matériel M sera placé dans un champ de force newtonien s’il subit une force de la forme (en coordonnées sphériques) :

F~ =−k r²~u_r

– interaction gravitationnelle : k=Gm₀m – interaction électrostatique : k =−_4πε¹

0q₀q Lorsque k >0 la force est attractive (gravitation, charges opposées) Lorsque k <0 la force est répulsive (charges de même signe)

Comme on l’a montré précédemment les forces newtoniennes sont conservatives.

F .d~ −−→

OM =−k

r²~u_r.(dr−→u_r +rdθ−→u_θ+rsinθdϕ−u→_ϕ) =−k

r²dr=−dE_p dEp

dr = k r² E_p =−k

r + Cte Si choisitE_p = 0 à l’infini alors Cte = 0

E_p(r) =−k

r avec E_p(∞) = 0

2. Approche énergétique : étude de l’énergie potentielle effective

On peut définir l’énergie potentielle effective E_p,eff = 1

2mC² r² − k

r 1^er cas : force attractive (k >0)

Pour r→0 E_p,eff ' ¹₂m^C_r2²

Pour r→ ∞ E_p,eff ' −^k_r

La courbe donnantE_p,eff en fonction der a l’allure suivante :

Em = 1 2mr˙²

| {z }

≥0

+Ep,eff(r)

Le mouvement n’est possible que dans les domaines où la condition Em >Ep,eff(r)

est vérifiée. On doit donc avoirE_m >E_m0 avec E_m0 valeur minimale deE_p,eff(r).

Les valeurs de r pour lesquelles E_m = E_p,eff correspondent à r˙ = 0 et donc à des valeurs extrémales de r.

Suivant les valeurs de l’énergie mécanique, plusieurs type de trajectoires sont possibles :

Em =Em0

E_m0 correspond au minimum de E_p,eff

r =r0 =Cte le mouvement est circulaire C =r²θ˙=r²₀θ˙=Cte ⇒θ˙=cte

si le mouvement est circulaire, il est uniforme.

Le mouvement circulaire correspond à un état lié E_m =E_m1

avec E_m0 < E_m1 <0

r_min 6r6r_max

⇒ le mouvement est borné radialement : il correspond à un état lié. La trajectoire est alors une ellipse.

E_m =E_m2 avec E_m2 >0

r >r₂

r peut tendre vers l’infini : le mouvement correspond à un état de diffusion. La trajectoire est alors une parabole (E_m = 0) ou une hyperbole (E_m >0)

Dans le cas où E_p(∞) = 0 on retiendra que

E_m >0 état de diffusion E_m <0 état lié

2^eme cas : force répulsive k <0 Pour r→0 E_p,eff ' ¹₂m^C_r2²

Pour r→ ∞ Ep,eff ' −^k_r

La courbe donnantE_p,eff en fonction der a l’allure suivante :

On constate graphiquement que seuls des états de diffusions peuvent exister (trajectoires hy- perboliques).

3. Lois de Kepler

Ces lois décrivent le mouvement des planètes autour du Soleil. Kepler les a énoncées vers 1610. Il s’est appuyé pour cela sur les observations très précises de l’orbite de Mars effectuées par l’astronome Tycho Brahé dont il avait été l’assistant.

Tycho Brahe 1546-1610

Johannes Kepker 1571-1630 Le référentiel d’étude est le référentiel héliocentrique supposé galiléen.

Rappel : planètes du système solaire dans l’ordre de proximité par rapport au Soleil : Mercure<Vénus<Terre<Mars<Jupiter<Saturne<Uranus<Neptune

Loi 1 : Les orbites des planètes sont des ellipses dont le Soleil est l’un des foyers.

Loi 2 : La ligne qui relie le Soleil à une planète décrit pendant des temps égaux des aires égales.

Loi 3 : Le rapport du cube du demi-grand axe a de l’ellipse sur le carré de la période de révolution T est une constante indépendante de la planète.

a³

T² =Cte

Ces lois furent démontrées plus tard par Newton. Pour les établir on s’appuie sur les hypothèses suivantes :

. Le Soleil et les planètes sont des astres sphériques. Dans ce cas, on peut assimiler chaque astre à une masse ponctuelle égale à la masse totale de l’astre et placée en son centre.

. On suppose que l’on peut négliger l’interaction des autres astres que le Soleil sur une planète donnée.

Le fait que le mouvement soit plan et qu’il suive la loi des aires est une conséquence directe de la conservation du moment cinétique.

La nature elliptique de la trajectoire ne sera pas établie dans le cadre de ce cours.

Enfin, la troisième loi peut rapidement être retrouvée lors de l’étude du mouvement circulaire a correspondant alors au rayon de la trajectoire (le calcul a déjà été fait dans le cours de Terminale).

Ces lois peuvent être transposées à l’étude du mouvement de satellites terrestres : Pour les établir on doit se placer dans le référentiel géocentrique supposé galiléen.

. La Terre, sphérique, est assimilable à un point matériel placé en son centre et de masse égale à la masse de la Terre.

. On ne tient compte que de l’action gravitationnelle de la Terre sur le satellite en négligeant l’action de tous les autres astres.

Loi 1 : Les orbites des satellites sont des ellipses dont le centre de la Terre est l’un des foyers.

Loi 2 : La ligne qui relie le satellite au centre de la Terre décrit pendant des temps égaux des aires égales.

Loi 3 : Le rapport du cube du demi-grand axe a de l’ellipse sur le carré de la période de révolution T est une constante indépendante du satellite.

a³

T² =Cte

4. Cas particulier du mouvement circulaire

a) Vitesse circulaire

On considère un point matériel M de masse m en mouvement dans le champ gravitationnel créé par un astre sphérique de masse M_A de centreO.

Cet astre étant sphérique, il créée enM le même champ gravitationnel qu’une masse ponctuelle de masse M_A placée en O.

Cela peut correspondre à différentes situations :

– soit M correspond au centre d’une planète en orbite autour du Soleil : m correspond à la masse de la planète,M_A=M_S masse du Soleil et le référentiel d’étude galiléen est le référentiel héliocentrique.

– soitM correspond au centre de masse d’un satellite en orbite autour de la Terre. mest alors la masse du satellite et M_A = M_T masse de la Terre. Le référentiel d’étude est le référentiel géocentrique.

– soitM représente un satellite en orbite autour d’une planète (exemple : Io autour de Jupiter).

m représente la masse du satellite, M_A la masse de la planète autour de laquelle il gravite.

On se place dans le référentiel planétocentrique (ex : Jupiterocentrique) centré au centre de la planète et dont les axes sont parallèles à ceux du référentiel héliocentrique.

Si le mouvement est circulaire alors il est uniforme.

Démonstration 1 : par la constante des aires

On a montré que C = r²θ˙ = Cte était une constante du mouvement. Pour une trajectoire circulaire de rayon r=r₀ :

C =r₀²θ˙ =Cte d’où θ˙=cte

la vitesse angulaire du mouvement est constante et donc la vitesse linéaire l’est aussi v = r₀θ˙ =v₀

Démonstration 2 : par la conservation de l’énergie mécanique E_m = 1

2mv²−k

r =Cte

Dans le cas de l’interaction entre un astre de masseM_A et un point de masse m, k=GM_Am, et pour une trajectoire circulairer =r₀.

E_m = 1

2mv²− GM_Am

r₀ =Cte on en déduit

1

2mv² =Cte+GM_Am

r₀ =cte= 1 2mv²₀

L’énergie cinétique est constante, le mouvement est uniforme ( k~vk = v₀). La vitesse v₀ est appelée vitesse circulaire.

Démonstration 3 : Calcul de la vitesse circulaire

Nous allons calculer la vitesse circulaire et vérifier que la valeur trouvée est constante.

On considère le point M en orbite circulaire de rayon r₀

−−→OM =r0~ur

~v(M) =r₀θ~˙u_θ =v~u_θ avec v =r₀θ˙

~a(M) =r₀θ~¨u_θ−r₀θ˙²~u_r= ^dv_dt~u_θ− ^v_r²

0~u_r

D’après le principe fondamental de la dynamique : m~a(M) = m

dv

dt~u_θ− v² r₀~u_r

=−GM_Am r₀² ~u_r

Le principe fondamental de la dynamique projeté sur ~u_θ redonne bien ^dv_dt = 0 le mouvement est uniforme v =v₀

ce qu’on retrouve également en projetant le PFD sur~u_r

−mv² r0

=−GM_Am

r²₀ v² = GM_A

r₀ =v₀²

v₀ =

rGM_A r₀

On montre ainsi que la vitesse est constante et qu’elle dépend de la masse de l’astre central et du rayon de l’orbite.¹

On peut alors retrouver la troisième loi de Kepler dans le cas particulier d’un mouvement circulaire.

Le mouvement étant uniforme la période T de révolution est reliée à la vitesse circulaire v₀ par

v₀ = 2πr₀ T En élevant au carré

v²₀ = 4π²r₀²

T² = GMA

r₀

1. On peut calculer également la vitesse angulaireθ˙=^v_r⁰ =q_GM

a

r³ =^2π_T

ce qui permet d’aboutir à

r₀³

T² = GM_A 4π²

En admettant la généralisation du résultat aux orbites elliptiques on aura pour les planètes en orbite autour du Soleil _T^a32 = ^GM_4π2^S

2et pour les satellites en orbite autour de la Terre _T^a32 = ^GM_4π2^T. b) Énergie du mouvement circulaire

Em =Ec+Ep = 1

2mv²₀ − k r₀ = 1

2mGM_A

r₀ − GM_Am

r₀ =−GM_Am 2r₀ On remarque la relation importante suivante pour le mouvement circulaire

Ec= 1

2mGM_A

r₀ =−E_p 2 on peut alors écrire

E_m =−E_c= Ep

2

Discuter de l’effet des frottements sur la vitesse du satellite (cf TD).

c) Calcul à partir de l’énergie potentielle effective

On peut retrouver l’expression de la vitesse circulaire et de l’énergie mécanique associée en considérant l’énergie potentielle effective.

Pour que le mouvement soit circulaire de rayon r₀, r₀ doit correspondre à la position du minimum de la courbe de E_p,eff = 1

2mC²

r² − GM_Am r . On calcule la dérivée dEp,eff

dr =−mC²

r³ +GMAm

r² . Elle s’annule au minimum en r=r₀ .

mC²

r₀³ = GM_Am

r²₀

C² =GM_Ar₀ orC =r²₀θ˙=r₀v₀, d’où

r₀²v₀² =GM_Ar₀

v₀² = GM_A r0

On retrouve l’expression de la vitesse circulaire.

De plus, l’énergie mécanique correspond àE_m0 valeur minimale de E_p,eff. Ainsi :

2. Dans ce cas, il peut être intéressant de compter les longueurs en UA unité astronomique, égale au rayon de l’orbite de la Terre autour du Soleil (1 UA= 1,5.10¹¹ m), etT en année.

E_m =E_p,eff(r₀) = 1 2mC²

r₀² −GM_Am r₀ = 1

2mGM_Ar₀

r²₀ −GM_Am

r₀ =−GM_Am 2r₀ On retrouve l’expression de l’énergie pour une orbite circulaire.

5. Quelques notions sur les satellites terrestre

a) Généralités Première phase : propulsée

Seconde phase : balistique (celle que l’on étudie ici) b) Vitesses cosmiques

Vitesse circulaire :

Pour obtenir une orbite circulaire, il faut que l’injection sur orbite se fasse perpendiculairement au vecteur position et que la vitesse communiquée au satellite soit égale à la vitesse circulaire.

D’après le calcul fait précédemment v0 =

rGMT

r₀ =

r GMT

R_T +h avecR_T rayon de la Terre et h altitude du satellite.

Pour une orbite bassehR_T ( R_T '6400 km) on aura v₀ 'q

GMT

RT . Remarque :

Pour calculer cette vitesse on utilise parfois la valeur de l’accélération de la pesanteur au niveau du solg = 9,8m.s⁻². Si on ne conserve que deux chiffres significatifs³ , alors on peut considérer que~g est uniquement lié à l’attraction gravitationnelle terrestre

En identifiant les deux expressions équivalentes de la force gravitationnelle s’exerçant sur une masse m placée à la surface de la Terre

m~g =−GmM_T R²_T ~u_r on trouve

~g =−GM_T R²_T ~u_r et donc, en prenant la norme

g = GM_T R²_T

ainsi GM_T =gR²_T. Si on reporte dans l’expression de v₀ orbite basse :

v₀ = s

gR²_T R_T =p

gR_T

3. la valeur degà trois chiffres significatifs, tient compte des effets dûs à la rotation de la Terre et à la non sphéricité de la Terre. Pour ces raisonsgvarie de 9,78m.s⁻² sur l’équateur à9,83m.s⁻²aux pôles

en prenant R_T = 6,4.10³ km on trouvev₀ '8 km.s⁻¹.

La vitesse circulaire en orbite basse vaut 8 km.s⁻¹

Vitesse de libération

C’est la vitesse minimale à fournir au satellite pour qu’il échappe à l’attraction gravitationnelle terrestre. Notons v` cette vitesse. On suppose qu’initialement la distance entre M et le centre de la Terre est égale à r₀.

On souhaite que le satellite atteigne l’infini avec au moins une vitesse nulle. À la limiteE_m = 0 (si on a choisi Ep = 0à l’infini). On a vu que c’était l’énergie minimale pour avoir un état de diffusion.

E_m = 1

2mv²_` − GMTm r₀ = 0

v_`² = 2GM_T

r₀ = 2v²₀ v_` =√

2v₀

oùv₀ correspond à la vitesse circulaire pour une orbite de rayonr₀. Pour une orbite basse la vitesse de libération est de l’ordre de 11km.s⁻¹.

La vitesse de libération en orbite basse vaut 11 km.s⁻¹ Remarque : pour E_m = 0, la trajectoire est parabolique.

c) Satellite géostationnaire

Un satellite est dit géostationnaire lorsqu’il est immobile dans tout référentiel lié à la Terre (référentiel terrestre).

Cela concerne par exemple, les satellites de télécommunication, ou d’observation terrestre (comme météosat).

Ce satellite reste toujours à la verticale d’un même point de la Terre.

http://files.meteofrance.com/files/education/animations/satellite_geostationnaire/

lowres/popup.html

http://ressources.univ-lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/divers/satelstat.

html

Première contrainte : la période du satellite doit être égale à celle de rotation de la Terre sur elle même dans le référentiel géocentrique (jour sidéral T_sid, légèrement plus court que le jour solaireT_sol)⁴ . Cette contrainte impose l’altitude.

http://guydoyen.fr/2012/02/27/difference-entre-jour-sideral-et-jour-solaire/

Cependant le plan de l’orbite contient le centre de la Terre. Pour que le satellite reste à la verticale d’un même point il doit impérativement se situer dans le plan équatorial.

4. Par définitionT_sol= 24h, on aT_sid=^365,25_366,25T_sol=23 h 56 min 4 s

(Remarque : montrer la trajectoire relative du satellite dans le cas où sa période est correcte mais où il n’est pas situé dans le plan équatorial, voir deuxième site).

Calcul de l’altitude

On peut utiliser la troisième loi de Kepler (R_T +h)³

T² = GM_T 4π²

h=

GM_TT² 4π²

¹₃

−R_T = 35,8.10³ km

où on a pris les valeurs numériques :

• constante géocentrique : GM_T = 398,6.10³ km³.s⁻².

• durée d’un jour sidéral Tsid= 86164 s

• rayon de la TerreR_T = 6,38.10³ km

On retiendra l’ordre de grandeur de 36.10³ km (valeur à deux chiffres significatifs).

L’altitude d’un satellite géostationnaire est d’environ 36000 km

d) Trajectoire elliptique α) Description

2a=r_min+r_max : grand axe de l’ellipse

P périastre : point le plus proche de O (périgée pour un satellite terrestre, périhélie pour une planète ou une comète).

A apoastre : point le plus éloigné de O (apogée pour un satellite terrestre, aphélie pour une planète ou une comète).

Ces deux positions correspondent aux extrema der. On a doncr˙= 0pourr=r_min etr =r_max. EnAetP,~v =rθ~˙u_θ,AetP sont les deux points de la trajectoire où la vitesse est orthoradiale.

~vA⊥OA~ et~vP ⊥OP~

Conservation du moment cinétique : on exprime le moment cinétique en A etP :

~

σ₀ =−→

OP ∧m~v_p =−→

OA∧m~v_A

−→OP ∧~v_p =−→

OA∧~v_A

r_min~u_x∧v_P~u_y =r_max(−~u_x)∧v_A(−~u_y) rminvP~uz =rmaxvA~uz

r_minv_P =r_maxv_A

Le périgée correspond au point de vitesse maximale (v_P =v_max) et l’apogée au point de vitesse minimale (v_A=v_min).

β) Énergie d’une trajectoire elliptique Reprenons l’expression de l’énergie mécanique

E_m = 1

2mr˙²+ 1 2mC²

r² +E_p(r)

avecC la constante aréolaire du mouvement et, pour un satellite de massem en orbite autour de la Terre, E_p = −GM_Tm

r .

E_m = 1

2mr˙²+ 1 2mC²

r² − GM_Tm r

Pour chaque valeur extrémale der(r=r_minetr=r_max)

˙

r= 0. Ainsi r_min et r_max sont racines de l’équation E_m = 1

2mC²

r² − GM_Tm r

que l’on peut transformer pour faire apparaître un tri- nôme en multipliant chaque membre parr² :

E_mr² = 1

2mC² −GM_Tmr

r²+GM_Tm E_m r−1

2 mC²

E_m = 0

r² +GM_Tm Em

r− 1 2

mC² Em

= 0 = (r−r_max)(r−r_min)

=r²−(r_max+r_min) +r_maxr_min

On en déduit, par identification, r_min+r_max =−GMTm E_m

Or r_min +r_max = 2a représente la longueur du grand axe de l’ellipse (a correspondant au demi-grand axe). D’où

Em =−GM_Tm 2a

qui correspond à la généralisation de la valeur obtenue pour l’orbite circulaire : on remplace le diamètre de l’orbite circulaire par le grand axe de l’ellipse.

e) Mise sur orbite

La vitesse initiale de mise sur orbite est choisie perpendiculaire au rayon vecteurOM~ ₀. On fait varier sa normev.

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1

-1 1 2 3 4

O M ₀

v = v ₀ v <v ₀ v ₀ <v <v _`

v = v _{`</sub> v >v <sub>`}

r/r ₀

On note v₀ la vitesse circulaire associée à r₀ =OM₀, et v_` =√

2v₀ la vitesse de libération.

• pour0< v < v₀ la trajectoire est elliptique de foyer O.M₀ est l’apoastre.

• pourv =v0 la trajectoire est circulaire.

• pourv₀ < v < v_` la trajectoire est elliptique de foyer O. M₀ est le périastre.

• pourv =v_` la trajectoire n’est plus bornée : c’est une parabole de foyer O.

• pourv > v_` la trajectoire est une hyperbole de foyer O.

Annexe : Jour solaire - jour sidéral

Le jour solaire est la durée séparant deux passages successifs du soleil au même méridien.

Le jour sidéral représente la période de révolution de la Terre par rapport au référentiel de Copernic.

On note T_sol la durée d’un jour solaire et T_sid la durée d’un jour sidéral.

En un jour solaire, la Terre a effectué un peu plus d’un tour sur elle même. Elle a tourné d’un angle 2π+α où α correspond à l’angle parcouru en un jour solaire par la Terre sur son orbite autour du soleil. Or elle parcourt toute l’orbite en 1 année, soit 365,25 jours solaires (on tient compte des années bissextiles). Ainsi

α= 2π 365,25 On peut alors écrire

2π

T_sidTsol= 2π+α= 2π+ 2π

365,25 = 2π366,25 365,25 d’où

T_sid= 365,25 366,25T_sol

Par définition, T_sol= 24h = 86400 s. On a alors T_sid= 86164 s, soit 23h 56min 4s.

voir également le site :

http://guydoyen.fr/2012/02/27/difference-entre-jour-sideral-et-jour-solaire/