Rendement des machines thermiques

A NNALES SCIENTIFIQUES DE L ’É.N.S.

J. B

Rendement des machines thermiques

Annales scientifiques de l’É.N.S. 2^e série, tome 5 (1876), p. 111-122

<http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1876_2_5__111_0>

© Gauthier-Villars (Éditions scientifiques et médicales Elsevier), 1876, tous droits réservés.

L’accès aux archives de la revue « Annales scientifiques de l’É.N.S. » (http://www.

elsevier.com/locate/ansens) implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systé- matique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fi- chier doit contenir la présente mention de copyright.

Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques

http://www.numdam.org/

RENDEMENT

D E S M A C H I N E S T H E R M I Q U E S ,

PAR M., J. BOURGET,

DÎÏŒCTEUR DE L'ÉCOLE PnÉPAKATOIÏlE DE SAINTE-BARBE.

(Mémoire présenté à l'Institut le 6 mai 187^.)

D'après les idées nouvelles que la Théorie mécanique de la ctialeur a introduites dans l'élude des machines à feu, on doit considérer îe calorique comme le véritable moteur et le foyer comme le récepteur.

On pourrait donc mesurer leur rendements comparant le travail utile au poids de combustible brûlé. Toutefois, comme la puissance calori- fique est variable pour les divers combustibles, comme les foyers uti- lisent des quantités diverses de combustible pour le chauffage, comme le travail absorbé par les résistances passives varie pour les diverses machines et pour une même machine suivant son état, cette mesure du rendement manquerait de précision. Nous prendrons une autre dé- finition.

On sait aujourd'hui que le calorique et le travail mécanique sont des choses homogènes pouvant se remplacer l'une l'autre par équiva- lents à raison de 43o kilogrammètres environ par calorie (

quand on se sert de la chaleur pour produire du travail à Faide d'un corps intermédiaire, on ne transforme jamais qu'une portion de celle

(' ) Cette proposition a été démontrée par les nombreuses expériences de Joule, Hirn,, etc. ; elle a été démontrée aussi analytiquement par nous-même en 1857, dans nn Mémoire sur les machines à air chaud, présenté à rinstitut, et plus tard dans un Mémoire qui fait partie des Annales de Chimie et de Physique (1859). Cette démonstration a été insérée par M. Be"

gnault dans le tome XXXVII des Mémoires de l'Institut, pago 559.

î ï 2 • J. BOURGET.

qu'on emprunte au foyer, et nous pouvons appeler rendement théo- rique ( ' ) le rapport qui existe entre la chaleur transformée en travail et la chaleur empruntée à la source, au foyer. Nous distinguons le ren- dement théorique du rendement effectif: ce dernier serait 1e rapport qui existe entre le travail utile de la machine et le travail total que la machine devrait faire en vertu de son rendement théorique.

11 n'est pas évident, a priori, que Fon ne puisse pas transformer com- plètement en travail une quantité donnée de chaleur et qu'il y ait un rendement théorique maximum qu'on ne pourra jamais dépasser; ce- pendant ce principe paraît aujourd'hui certain.

Si l'on admet, avec Clausius, qu^ï est impossible défaire passer de la chaleur d'un corps plus froid dans un corps plus chaud sans une dépense de travail^ on peut démontrer rigoureusement que, si une machine thermique quelconque opère entre deux températures extrêmes, ^ et

^2, le rendement théorique ne peut dépasser la fraction

__ i + a ^ ,

0 """ ~~ i -+- a tî OU

T.-T, T,

en nommant T< et Ta les températures absolues, c'est-à-dire les tempé- ratures comptées à partir de -~ ^73°== — -ï--

Mais nous avouons que le principe de Clausius ne nous paraît pas avoir le degré d'évidence qui convient à un axiome. Nous avons donc cherché à démontrer le théorème da rendement théorique^ indépendam- ment de ce principe métaphysique. La démonstration suivante, rela- tive aux machines à gaz permanents, est complète et ne repose que sur les lois expérimentales connues. Si l'on joint cette démonstration à celle que nous avons donnée [Annales de Chimie et de Physique^

1859) du principe de l'équivalence, on a un premier chapitre de la Thermodynamique, aussi rationnel que l'Hydrostatique et l'Hydrody- namique,

(1) On appelle habituellement coefficient économique ce que nous nommons ici rendement

théorique.

RENDEMENT D E S ' M A C H I N E S TIIERMIQl'ES. i î 3

Notre analyse s'étend aussi aux machines dites à récurrence ou à re- générateurs, dans lesquelles une partie de la chaleur cédée aux réfrigé- rants est utilisée pour échauffer le gaz m o t e u r du cycle suivant. Ces machines sont soumises à la loi du rendement théorique maximum;

c'est une proposition qui n'est pas démontrée dans les Traités publiés jusqu'à présent sur les machines à feu.

Analyse.

1. Désignons parp e t ^ I a pression et le volume d'une masse gazeuse.

Considérons ces deux éléments, qui définissent l'état de cette masse, comme l'ordonnée et l'abscisse d'un point. Une courbe fermée quel- conque représentera un cycle d'états successifs, au bout desquels le gaz sera revenu à son état primitif. Nous avons démontré le théorème suivant (<) :

Si une masse gazeuse parcourt un cycle fermé quelconque d'états, dans le sens des aiguilles d'une montre, il y a anéantissement d'une quantité de chaleur proportionnelle à l'aire du circuit y qui représente le travail ex- térieur produit par le gaz, dans ses variations dépression et de volume.

En sens inverse, il y aurait anéantissement de travail extérieur et créa- tion proportionnelle de chaleur.

Une machine à gaz est un organe qui prend à un certain état {p^ t'o) unejnasse gazeuse de poids (Do), et qui la fait passer par u n e série d'é- tats formant un cycle fermé, variable suivant la machine.

Cela posé, nous pouvons démontrer les théorèmes relatifs au rende- ment théorique, qui font l'objet de ce Mémoire.

2, THEOREME I, — Si une machine à gaz fonctionne suivant le cycle de Carnot^ son rendement théorique sera

— '•+-g^, _ T, — T, P - -1- T^^^—T—5

(1) ^ries Annales de Chimie el /le Physique (1859)7 ou le Lomé XXX Vlî des Mémoires de V Institut y page 559.

Annales de l'École Normctîe. î** Série. Tome V. — AVRIL 1876. l5

S l 4 J. BOURGET.

r, <^ ^ ^^ ^ températures extrêmes entre lesquelles le gaz se meut, T( , TS désignant les températures absolues.

Nous appelons cycle de Carnot celui qui est formé par deux courbes isothermiques QpV== const.) et deux courbes adiabatiques {pV^= const., 7=== -^= T , 4 i ) . Nous désignerons par la lettre Q, affectée d'indices

c

divers, les quantités de chaleur empruntées au foyer et par la lettre R, affectée d'indices divers, les quantités de chaleur reçues par les réfrigé- rants.

Soient [fig. i)

ABCD le cycle de Carnot considéré;

AD et BC les courbes isothermiques ^ et t^

AB et CD les courbes adiabatiques.

Désignons par

i ^ ' i p i ) l'état d u gaz en A ; ((/^,) )) B;

(VJ\) )) C;

(Vil\) » 1).

Faisons parcourir à la masse Do le cycle ABCD.

Fig. î.

1° Suivant AB, courbe adiabatique, la dépense est nulle,

2° Suivant BC, courbe isothermique, la chaleur empruntée au foyer

06t

Q — — ( z + ^ ) <V.

ou .0= A H ' ( i 4" y:h}^—^V..

RENDEMENT DES MACHINES THERMIQUES. I I 5

(voir notre Mémoire Sur les machines à air chaud, formule (4o). Gau- thier-VilIars, 187 ï ; ou notre Mémoire des Annales de Chimie et de Phy- sique, 1859). Dans cette formule, E désigne l'équivalent mécanique de la chaleur, A son inverse, H le nombre io333 kilogrammètres, ^ u n logarithme népérien.

3° Suivant CD, courbe adiabatique, la dépense est nulle.

4° Suivant DA, courbe isothermiqae, la chaleur recueillie ou dépo- sée dans le réfrigérant est

R = = A l l ( î - t - ^ , ) ^^v-¹-

<•'!

La chaleur transformée est donc Q — R, tandis que la chaleur em- pruntée au foyer est Q; donc le rendement théorique de la machine est

^"li-- _ ^R — ^î^^ll'^^Tl Û '" ^J Q ^ ' "^ 7+aT; ~\^^:

- c^

mais, par hypothèse,

p,c/,=P,V,, p,^ =:î\V,,

„ //r -_, ., ,;.' p v'r _ p v'¹' "

p, (^ — pî^ît A. i ^ i — A -i V 2 ,

de là on conclut sans peine

V. V.

donc le rendement théorique de la machine, dans laquelle l'air suit le cycle de Carnot, est bien

ï + a / , T, T,-T,

2 -h ^ t'i """ Ts "w" Ta

C. Q. î<'. D.

Ce qu'il y a de remarquable dans le cycle de Carnet, c'est que le gaz n'est jamais mis en contact avec des corps d'une température diffé- rente. Il n'y a jamais chute brusque de température. La chaleur n'est jamais donnée on ôtée au gaz pour changer sa température; elle est tout entière employée à faire varier son volume, à effectuer un travail extérieur.

i5.

1 l 6 J. BOURGET.

3. THEOREME II. — Si une machine fonctionne suivant un cycle quel- conque autre que celui de Carnet, le rendement théorique est moindre que p.

En effet, soit un cycle quelconque {fig- ^) autre que celui de Carnet EGHK. Nous pouvons toujours l'enfermer complètement dans un cycle

F î g . 2 .

de Carnet par deux courbes isothermiques et deux courbes adiabati- ques tangentes. II pourrait arriver, sans que la démonstration fût un défaut, qu'une partie du cycle donné se confondît avec une part.ie du cycle de Carnot ABCD.

Nous désignerons par

CT-2,

les aires

EKD, EÀG, GBH, ECK, et nous appellerons

Ri la chaleur recucilHe suivant .DE.

IL n E^ ;

P' ^ K'E.

P2 )) EG;

Qi la chaleur dépensée s u i v a n t BU

Q

ne

X' ^ GH

^ » , HK.

D-après le théorème de réquivalentdéjà rappelé (i), nous avons les

RENDEMENT DES MACHINES THERMIQUES, î I n

relations suivantes :

pi ~'Ri=:Ao"i, d'où pi == Ri 4- Ao-,, p, — II/ == Ao-.,, pa == R.^ 4- A o-, ; Q i — Z . = A o - 3 , ^i =:Q< —- AO-.};

Q,—^,=A<7^ • % , = : Q 2 — A c r 4 ; par suite, le rendement théorique sera

„ _ 71^-4-^2— p> — p-j _ _ pi 4- pî _ Ri -+- ÎL -4- A G-, •+• A T.,

~~ x-

- /^ """

~~ i^T^ ~"

""" yT^

^"

^"^^

d'où l'oû voit que ce rendement sera moindre que

c ^ '

lii-î-â². — Tir"^Tt

Q> + Qa "" """Y'"

C. Q. F. î).

Notre démonstration a l'avantage de montrer que la différence entre R e t p est liée à la différence qui existe entre l'aire du cycle de Carnot et l'aire du cycle qui y est contenu* Elle fait voir que plus c^, c'a, ^3, c^

s'approchent de zéro, plus le rendement théorique de la machine se rapproche de p , tout en lui restant inférieur.

Dans notre Mémoire Sur les machines à air chaud, nous avons donné, du même théorème, une démonstration moins complète et moins claire en enfermant le circuit donné dans un cycle autre que ceiui de Carnot.

Machines à récurrence.

4. On appelle régénérateurs de chaleur des organes destinés à rece- voir momentanément dans le parcours d/un. cycle une certaine quantité de la chaleur possédée par le gaz au moment où il va sortir de la ma- chine. Cette chaleur est mise en réserve pour réchauffer le gaz nouveau qui doit parcourir le cycle suivant. Les machines munies de régé- nérateurs sont dites à récurrence. On peut imaginer, par exemple, dans la machine d'Ericsson, que l'air sortant traverse une série de tubes mé- talliques, tandis que l'air entrant pénètre en sens contraire et en cir- culant autour des surfaces extérieures de ces tubes. Ces dispositions

î î g J. BOURGET.

ingénieuses et d'autres qui ont été imaginées par Ericsson, Bur^

clin, etc., donnent à une machine un rendement supérieur à celui qu'elle aurait si Fon perdait inutilement tout le calorique que l'air em- porte en s'échappant dans l'atmosphère-

Une condition indispensable que le régénérateur doit remplir, c'est que la température de la portion qui est en contact avec l'air rentrant soit supérieure à celle de cet air, car un corps ne s'échauffe qu'au con- tact d'un corps plus chaud. Il ne suffit donc pas de mettre en réserve une certaine quantité de chaleur pour qu'elle soit utilisable, il faut en- core qu'elle soit a une température suffisante. C'est pourquoi la cha- leur déposée dans le réfrigérant par l'air qui suit un cycle de Carnot est complètement perdue pour le travail de la machine dans le cycle suivant.

Sans nous préoccuper des moyens pratiques les meilleurs pour dis- poser les régénérateurs dans les machines à gaz, nous allons chercher à étendre a u x machines à récurrence les théorèmes relatifs au rende- ment [héorique. Nous supposerons ces machines en mouvement depuis un temps indéfini, afin de négliger la perte qui résulte du calorique abandonné au régénérateur dans le premier cycle.

5. Courbes conjuguées. — Pour comprendre parfaitement ce qui va suivre, il faut avoir présent à l'esprit le principe que nous allons déve- lopper. Entre deux courbes isothermiques quelconques, ^ et t^ {fig. 3),

HS. 3.

imaginons une courbe quelconque AB, assujettie à cette seule condi- tion, qu'une courbe isothermique intermédiaire mm' ne puisse la cou-

RENDEMENT DES MACHINES THERMÏQIÎES. 3 Ï Ç)

per qu'en un point m. Traçons maintenant une seconde courbe pa- reille CD et nommons points correspondants ceux qui sont, comme m, m\ sur une même courbe isothermique. Désignons parj», v les coor- données de m et par p', ^ les coordonnées de m\ Si l'on a

^^ P'-^

pour deux points correspondants quelconques, la courbe CD est appe- lée la conjuguée de AB. D'après cela, si

F ( ^ p ) = = o

est l'équation de ÂB ou d'une portion de AB, l'équation de CD ou. de la portion correspondante de CD sera

F (^, <,,.)=«.

La ligne AB peut être formée de plusieurs branches de courbes succes- sives n'ayant pas la même équation; la conjuguée sera formée d'autant de branches successives correspondantes, mais/c sera toujours la même constante.

Deux courbes conjuguées noni aucun point commun; car au p o i n t commun on devrait avoir

</ == hv := v, par suite le === ï •

Deux courbes conjuguées jouissent de cette propriété que la chaleur dépensée pour parcourir deux éléments correspondants compris entre deux courbes iso thermiques infiniment voisines t et t "+- dt est la même. En ef- fet, pour passer de m en n, la dépense de chaleur est

a' dt 4- Apch et, pour passer de m' en 72', elle est

•' c ' d t + h p ' d v ' ^ : c ' d i 4- K p d v .

De là. résulte que, si ces deux éléments mn, w^sont parcourus, pen- dant deux cycles successifs, en sens inverse Tun de l'autre, la chaleur recueillie dans le parcours de n'm' pourra être mise en réserve et servir

123 J. BOURGET.

au passage du gaz de m en n, car ces deux chaleurs sont égales en quantité et eo température.

6. Considérons maintenant un cycle quelconque EGHK {jfîg\ 4); i"~

sérons-Ie dans un cycle de Carnet ABCD. Par les points G et K menons

Fig, ^.

des courbes isothermiques GI, KL. Nous avons vu que la source calorr ûque doit fournir de la chaleur le long de la branche GHK et que les réfrigérants recueillent de la chaleur le long de la branche KEG. Mais, si les por lions du cycle GL et Kl sont des portions conjuguées, la cha- leur recueillie le long de Kl pourra servir, élément par élément, à faire passer le gaz par les états successifs de GL. Donc, dans le cours d'un cycle, lorsque le régime de la machine sera établi, le foyer ne fournira de la chaleur que le long de LHK, et la seule chaleur réelle- ment perdue sera celle qu'on recueille le long de IEG.

Il est clair que la machine a un rendement théorique supérieur à ce- lui de la même machine sans récurrence; mais il n'est pas évident qu'il soit encore inférieur à celui d'une machine de Carnot. Nous al- lons démontrer qu^il en est ainsi dans tous les cas.

7. THEOREME III. — Dans une machine quelconque à récurrences le rendement théorique est inférieur à celai d9 une machine suivant le cycle de

Carnot.

Par îes deux points L et 1 imaginons des portions de courbes àdiaba- tiques LM, IJ. Nous remarquerons que les lignes complexes AGLM,

RENDEMENT DES MACHINES THERMIQUES. • i ^ t

CKIJ sont conjuguées; cela résulte de ce que deux courbes adiabatiques sont toujours conjuguées, puisque ce sont des courbes à dépense nulle de chaleur et que, par hypothèse, GL, 1K sont deux branches conju- guées. Cela posé, nommons

0/!? <3"3, Π, , 0-4

les aires et

IJE, EAG, LHM, HCK,

«R', la chaleur recueillie le long de JE, 1^ » EA, P\ » IE, p2 )> EG, Q\ la chaleur dépensée le long de Mil,

Q. » HC, X, » LIÏ, X2 » HK,

et conservons d'ailleurs toutes les notations du théorème II. Nous au- rons

p\ — IV. = A CT, , donc p, == R\ 4- A a,,

PS — B s ==Acr2, pî == Ra •+ACT-,,

Q\-.l\ =A^, x^-^Q^-A^,

Q 2 — — ^ = = A ^ , ^ = = Q 3 — — A ( 7 4 .

Le rendement de la machine à récurrence sera donc

a = ïljl.lL^^'^l£2 ^ _ P''-±LP2. ^ _ B',-4- R^ 4" A.7,-+ A<Ta X't 4- x'^ "" X t + X » " "1 Q'i + Q^ -- A o-Ç^Tï, '

par suite

ou bien

en désignant par

IV,-+-R.

^<^^^^

^ ^ i ^ l ^ ^ ^ €^,

^x 14^^ 'V;5

(P^i), (PiV,), (p^), (P^)

Annales ds l'École Normale, s," Série. Tome V, — A.VBIL 1876. i6

122 J. BOURGET. — RENDEMENT DES MACHINES THERMIQUES.

les états aux points

A, J, M, C;

mais, en vertu des lignes conjuguées MLGA, CKIJ, on a ïi-ï²

Vi "" Vî ^

donc enfin

^<p."

.C. Q. F. D.

Ainsi, qu'une machine à gaz fonctionne avec ou sans régénérateurs, le rendement théorique ne peut jamais dépasser celai du cycle de Car"

not. C'est là une proposition fort importante au point de vue des appli- cations industrielles.