x
y
£i £j
£k
G
O
z coordonnées cartésiennes
1. Mouvement de projectiles dans un champ de pesanteur uniforme
Un projectile est lancé, avec une vitesse initiale de direction quelconque.
Quel est le mouvement de ce projectile ? Quelle est l’équation de sa trajectoire et les équations horaires paramétriques de sa vitesse et de sa position ?
Définition du système :
Le système étudié est le {projectile} dans le référentiel terrestre supposé galiléen ; Bilan des forces extérieures :
Le {projectile} est soumis à son poids £P (chute libre).
Utilisation de la seconde loi de Newton :
£Fext = m.£a £P = m.£a m.£g = m.£a £a = £g.
Rem. : L’accélération est indépendante de la masse de l’objet (et de sa forme, si l’on néglige les frottements de l’air et la poussée d’Archimède) : elle ne dépend que du champ de pesanteur £g, uniforme pour un mouvement s’effectuant sur une distance faible devant le rayon de la Terre.
Conditions initiales :
Le projectile est lancé depuis le point O, choisi comme origine. Le plan d’étude choisi est le plan contenant le vecteur vitesse initial £v0 : (xOz)
_OG0
x y z
et £v0
vx v.cos vy vz v.sin
L’accélération a pour expression : £a = – g.£k, donc les coordonnées du vecteur accélération sont : £a ax 0 ay az – g
1.1. Équations horaires du vecteur vitesse
Or d£v
dt = £a, donc la vitesse £v étant la primitive de £a, il vient pour £v :
£a dvx
dt = 0 dvy
dt = 0 dvz
dt = – g
donc £v vx
vy
– g.t vz
soit £v v.cos 0
– g.t vsin
La coordonnée vx de la vitesse est vx = vx0 = v0.cos : vx est indépendant du temps.
La coordonnée vz de la vitesse est vz = – g.t + v0.sin : vz est une fonction affine du temps.
1.2. Équations horaires du vecteur position
De même _OG est la primitive de £v :
_OG
v.cos .t + x0
y0
– 12g.t2 vsin .t + z0
soit _OG
v.cos .t 0
– 12g.t2 vsin .t Ainsi l’équation horaire de l’abscisse x(t) du projectile est :
x(t) = v0.cos .t : fonction linéaire L’équation horaire de l’altitude z(t) du projectile est :
z(t) = – 1
2g.t2 + v0.sin .t : fonction parabolique
Chapitre 11 : Étude du cas des mouvements plans
vx0
0 z
x
£i
£k
£v0
vz0
0 x
t z
0 vx vz
t
Terminale S Physique – Partie D – Chapitre 11 : Mouvements plans
1.3. Équation de la trajectoire du projectile
L’équation de la trajectoire est une fonction de la forme z = f(x), puisque le mouvement a lieu dans le plan (xOz). Il est nécessaire d’éliminer le paramètre t, en utilisant l’équation horaire x(t) établie précédemment : t = x
v.cos . En injectant cette expression dans la seconde équation horaire, il vient :
z(x) = –
.g.
x v.cos
2
+ v0.sin . x
v.cos et finalement : z(x) = – g
.v
.cos .x2 + tan .x
1.4. Importances des conditions initiales : la flèche
La flèche correspond à l’altitude atteinte lorsque le projectile est au sommet S de sa trajectoire. Pour déterminer la valeur de la flèche zS, on peut remarquer :
– la composante verticale de la vitesse est nulle : vz = 0.
– la tangente à la courbe en S est horizontale, donc dz dx = 0 ; Première méthode :
vz(tS) = 0, or vz(tS) = – g.tS + v0.sin = 0 ainsi tS = v.sin g z(tS) = – 1
2g.tS2
+ v0.sin .tS = – 1 2g.
v.sin
g
2 + v0.sin .v.sin g = – v
.sin
.g + v
.sin
g , donc : zS = v
.sin
.g Cette méthode est plus rapide, elle est donc à privilégier !
Rem. : Plus v0 est grand plus la flèche sera importante, plus l’angle est proche de 90°, plus la flèche sera élevée !
1.5. Importances des conditions initiales : la portée
On appelle portée la distance maximale parcourue par le projectile, horizontalement.
Pour déterminer la portée xP, il suffit de remarquer que l’altitude z(xP) = 0.
Or z(x) = – g
.v
.cos .x2 + tan .x = (– g
.v
.cos .x + tan ).x : factorisation par x ! z(x) = 0 pour x = 0 (point d’origine) et pour xP tel que : – g
.v
.cos .xP + tan = 0 soit :
– g
.v
.cos .xP + sin
cos = 0 xP = .v.sin .cos
g or 2.sin .cos = sin 2 donc xP = v.sin
g Rem. : Plus v0 est grand plus la portée est important.
Si le lancer est effectué au niveau du sol, la portée est maximale pour sin 2. = 1, donc 2. = 90 = 45°
Seconde méthode : dz dx = d
dx(– g
.v.cos .x2 + tan .x) dz
dx = d
dx(– g
.v
.cos .x2) + d
dx(tan .x) Ainsi : dz
dx = – g
.v
.cos .dx
dx + tan .dx dx dz
dx = – g
.v
.cos .2x + tan
dz
dx xS = 0 – g
.v.cos .2xS + tan = 0 g
.v.cos .xS = sin
cos xS = v.sin .cos
g
L’abscisse du sommet S de la trajectoire est xS, ainsi la flèche de la trajectoire est zS = – g
.v
.cos .xS2 + tan .xS
zS = – g
.v
.cos .
v.sin .cos
g
2 + tan .v.sin .cos g
= – g
.v
.cos .v42
.sin2 .cos2
g2 + sin
cos .v.sin .cos g
= – v
.sin
.g + v
.sin
g donc : zS = v
.sin
.g
xP
O z
x
£i
£k
S
xS
zS
http://pagesperso-orange.fr/Gilbert.Gastebois/java/balistique/balistique.html
2. Mouvement des planètes et des satellites
2.1. Référentiels héliocentrique et géocentrique
Le référentiel héliocentrique est un référentiel, de centre le centre du Soleil, constitué de trois axes orthogonaux pointant vers trois étoiles infiniment éloignés et considérées comme fixes. C’est un référentiel galiléen.
Le référentiel géocentrique est un référentiel, de centre le centre de la Terre, constitué de trois axes orthogonaux et parallèles aux axes du référentiel héliocentrique. C’est un référentiel galiléen.
Rem. : on appelle mouvement de révolution le mouvement que possède un astre, tel la Terre, autour d’un corps central (comme le Soleil). La période de révolution de la Terre autour du soleil est de 365,25 jours.
La période de rotation propre est la durée nécessaire à un astre pour effectuer une rotation complète sur lui-même (la période de rotation propre de la Terre est de 23 h 56 min : c’est la valeur d’un jour sidéral).
2.2. Les lois de Kepler
2.2.1. Première loi : loi des orbites
Le point P décrit une trajectoire elliptique si FP + PF’ = Cte = 2a.
Le Soleil occupe l’un des foyers de l’ellipse.
On définit l’excentricité de l’ellipse par le rapport : e = c a.
Si l’excentricité est nulle (e = 0), c = 0 : la trajectoire est un cercle.
Dans le cas d’une ellipse 0 < e < 1.
http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Coniques/Dessiner/Ellipse_ficelle.html http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/Planetes/Nature.html
http://astro.unl.edu/classaction/animations/renaissance/ellipsedemo.swf http://astro.unl.edu/classaction/animations/renaissance/kepler.swf
2.2.2. Deuxième loi : loi des aires
http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/Planetes/Aires.html http://astro.unl.edu/classaction/animations/renaissance/kepler.swf cliquer sur Kepler’s 2nd Law
2.2.3. Troisième loi : loi des périodes
Rem. : La constante ne dépend que de l’astre attracteur.
http://astro.unl.edu/classaction/animations/renaissance/kepler.swf cliquer sur Kepler’s 3rd Law
Mercure Venus Terre Mars Jupiter
Période T (année) 0,241 0,615 1,00 1,88 11,9
demi-grand axe a (uA.) 0,387 0,723 1,00 1,52 5,20
Rapport T
a (an2.uA–3) 1,00 1,00 1,00 1,01 1,01
Rem. : u.A. représente l’unité astronomique. 1 u.A. = 149,6.109 m (distance moyenne Terre–Soleil)
http://fr.wikipedia.org/wiki/Lois_de_Kepler http://fr.wikipedia.org/wiki/Johannes_Kepler
Le rapport entre le carré de la période de révolution T et le cube de la moitié du grand axe a de l’ellipse est le même quelque soit la planète considérée :
T a = cte
Pendant des durées t égales, le segment de droite reliant les centres du Soleil et d’une planète balaye des aires égales.
Dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire du centre P des planètes est une ellipse dont l’un des foyers est le centre S du Soleil.
a b
O A’
A
B
B’
F = S F’
2a P
2c
2a = AA’ : grand axe 2b = BB’ : petit axe 2c = FF’ : distance focale
S
Les aires A1 et A2 balayées pendant des durées identiques
sont les mêmes
Johannes Kepler 1571 – 1630
Terminale S Physique – Partie D – Chapitre 11 : Mouvements plans
2.3. Étude d’un mouvement circulaire uniforme
Le mouvement des planètes du système solaire est quasiment circulaire (à l’exception de mercure : e = 0,206).
planète Mercure Vénus Terre Mars Jupiter Saturne Uranus Neptune
excentricité 0,2056307 0,0067732 0,0167102 0,0934123 0,0483927 0,0541506 0,0471677 0,0085859 Lorsque l’on étudie un mouvement à force centrale on utilise fréquemment, pour simplifier les calculs, un repère appelé « repère de Frenet ». Ce repère est centré sur l’objet en mouvement. Ici, il est centré en P. Il possède un vecteur unitaire £T tangent à la trajectoire (en général son sens est celui du
mouvement), et un second vecteur unitaire £n (normal) perpendiculaire à £T (donc à la trajectoire en P), et s’appuyant sur le rayon de courbure de la trajectoire en ce point.
Dans ce repère on a donc : £v = v.£T (le vecteur vitesse est toujours tangent à la trajectoire) et £a = aT.£T + an.£n.
On peut montrer (hors programme) que la dérivée du vecteur vitesse £v, dans le repère de Frenet donne une accélération £a, dans le repère de Frenet, de la forme :
£a = d£v
dt = dv dt.£T + v
r.£n Si le mouvement circulaire est uniforme, dv
dt = 0 ( d£v
dt £0 !) : les vecteurs vitesse £v et accélération £a sont perpendiculaires. Le vecteur accélération £a est radial et dirigé vers le centre attracteur : £a = £an = v2
r.£n.
D’après la 2nde loi de Newton, résultante des forces et accélération ont même direction et même sens.
Ainsi un mouvement est circulaire et uniforme, si :
– la résultante des forces est radiale et orientée vers le centre de la trajectoire circulaire ;
– La vitesse initiale de l’objet est une constante non nulle, adaptée à la valeur de la force centrale.
2.4. Rappel de la loi de gravitation universelle
Isaac Newton a énoncé, en 1687 (Principes Mathématiques de la philosophie naturelle), la loi de gravitation universelle entre deux corps A et B de masse respective mA et mB.
Si les corps A et B ont des répartitions de masse à symétrie sphérique, et si la distance r qui les sépare est grande devant leur
taille, les corps A et B exercent l’un sur l’autre des forces d’attraction gravitationnelle :
£FA/B = – £FB/A = – G.mA.mB
r .£uAB
ou £FA/B = G.mA.mB
r .£uBA
FA/B : valeur de la force de gravitation exercée par A sur B (N) FB/A : valeur de la force de gravitation exercée par B sur A (N) mA et mB : masse respective des corps A et B (kg)
r : distance entre les centres d’inertie des corps A et de B (m) G : constante de gravitation universelle G = 6,67.10–11 m3.kg–1.s–2
2.5. Application de la seconde loi de Newton au mouvement des planètes
2.5.1. Expression de la vitesse d’une planète
On considère une planète P de masse m, en mouvement autour du Soleil de masse MS.
Définition du système : le système étudié est la {planète} dans le référentiel héliocentrique, galiléen ; Bilan des forces extérieures : la {planète} est soumise à la force de gravitation £FS/P = G.MS.m
r .£uPS. Utilisation de la seconde loi de Newton : £Fext = m.£a G.MS.m
r .£uPS = m.£a £a = G.MS
r .£uPS. Nous avons vu que dans le repère de Frenet, l’accélération est de la forme £a = dv
dt.£T + v r.£n.
Or pour un mouvement circulaire £n = £uPS. Par conséquent dv dt.£T + v
r.£n = G.MS
r .£n.
Nous retrouvons bien le fait que dv
dt = 0 : un mouvement circulaire à force centrale est nécessairement uniforme ! Ainsi : G.MS
r = v
r, donc v = G.MS
r . Plus une planète est éloignée du soleil plus, sa vitesse linéaire est faible.
Rem. : pour une trajectoire elliptique : dv
dt 0 : la vitesse est plus grande lorsque la planète est proche du Soleil ! S
£v
£n
£a
£T P
r
Repère de Frenet : (P, £T, £n)
A £FB/A £FA/B B
r
£uAB
2.5.2. Expression de la période de révolution
La période de révolution d’une planète en mouvement circulaire et uniforme est T = .r
v , donc T2 = .r v2 T2 = .r. r
G.MS
= .r G.MS
et par suite : T2 r3 =
G.MS
= cte (qui ne dépend que de MS !) 3ème loi de Kepler retrouvé ! Rem. : La connaissance de la période de révolution T et de la distance r (ou demi-grand axe a dans le cas d’une ellipse) à l’astre attracteur permet d’en déduire la masse de l’astre attracteur. Application au calcul de MS :
MS = ..r
G.T = ..(149,6.109)
6,67.10–11.(365,25243600) = 1,99.1030 kg !
2.6. Application de la seconde loi de Newton au mouvement des satellites
On considère un satellite de masse m, en mouvement autour de la Terre de masse MT.
Définition du système : le système étudié est le {satellite} dans le référentiel géocentrique, supposé galiléen ; Bilan des forces extérieures : le {satellite} est soumis à la force
de gravitation £FT/s = – G.MT.m
r .£uTs = G.MT.m
r .£usT (chute libre).
Utilisation de la seconde loi de Newton : £Fext = m.£a
G.MT.m
r .£usT = m.£a £a = – G.MT
r .£usT = dv dt.£T + v
r.£n.
On retrouve pour une trajectoire circulaire, avec r = RT + h (où h représente l’altitude), l’expression de la vitesse :
v = G.MS
RT + h et T2 = .RT h G.MT
Cherchons l’altitude h d’un satellite
géostationnaire, c’est-à-dire dont la période de révolution T est égale à la période de rotation propre de la terre T ≈ 24h.
h = T.G.MT
– RT. A.N. : h = (24×3600)×6,67.10–11×5,98.1024
– 6,38.106 36.000 km (36 milles km).
2.7. Interprétation de l’impesanteur
L’impesanteur est caractérisée par une absence apparente de pesanteur, contrairement à l’apesanteur (concept théorique) qui caractérise une absence totale de pesanteur.
Imaginons un ascenseur en chute libre. Une personne se trouvant dans l’ascenseur tombe alors à la même vitesse que l’ascenseur dans le référentiel terrestre. Cette personne tient une balle dans une main et lâche la balle. La balle tombe à la même vitesse que l’ascenseur et que son occupant dans le référentiel terrestre. En regardant la balle, l’observateur a l’impression qu’elle « flotte » : elle est en impesanteur dans le référentiel de l’ascenseur.
L’observateur est également en impesanteur dans le référentiel de
l’ascenseur : il « flotte » dans l’ascenseur : l’ascenseur n’exerce pas d’action mécanique sur lui.
C’est la sensation ressentie par les astronautes en orbite autour de la Terre ou dans un avion « zéro-g », en vol parabolique.
Application
Plan équatorial
http://science.nasa.gov/Realtime/jtrack/3d/JTrack3D.html
£FT/s
£usT
