de set packing bi-objectif
Xavier Delorme 1,2, Xavier Gandibleux2 et Fabien DEGOUTIN1,2
1. Laboratoire d’Automatique, de Mécanique et d’Informatique industrielles et Humaines
Équipe : Recherche Opérationnelle et Informatique
INRETS
2. Institut National de Recherche sur les Transports et leur Sécurité Unité de Recherche : Évaluation des Systèmes de Transports Automatisés et de leur Sécurité
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Plan de la présentation ª
Set Packing bi-objectif Résolution
Expérimentations
Conclusion et perspectives
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Set Packing Problem bi-objectif ª
max
n
X
i=1
c
1ix
imax
n
X
i=1
c
2ix
is/c
n
X
i=1
t
lix
i≤ 1 l = 1, . . . , k x
i∈ {0, 1}
avec t
li∈ {0, 1}.
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Solutions efficaces ª
Z2
solution supportée (SE)solution non supportée (NE) solution dominée
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Problème ferroviaire ª
Exploitation des infrastructures ferroviaires :
– conflits entre trains empruntant le même parcours :
→ contraintes d’incompatibilités entre trains – multi-objectif :
– maximiser le nombre total de trains
– maximiser le nombre de trains de chaque type
– maximiser les préférences du décideur
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Plan de la présentation ª
Set Packing bi-objectif Résolution
Expérimentations
Conclusion et perspectives
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Résolution du bi-SPP ª
Problème NP-difficile
Atteinte des limites d’une résolution exacte
⇒ Utilisation des métaheuristiques
Pas d’existant, utilisation de 2 approches :
– métaheuristique multi-objectif générique
– métaheuristique mono-objectif spécialisée SPP
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Strength Pareto Evolutionary Algorithm ª
SPEA présente de bons résultats sur le problème de sac à dos multi-objectif
→ opérateurs génétiques :
- croisement :
0 0 1 0 1 0 0 10 0 1 0 1 0 0 1
0 1 0 0 1 0 0 0
0 0 1 1 0 0 1 1
parents enfants
- mutation :
0 1 0 1 0 0 1
0 0 1 1 0 1 0 0 0
→ opérations de sélection et d’évaluation des individus : concept de do-
minance Pareto
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SPEA pour le bi-SPP ª
Paramètres :
– population initiale de 50 individus obtenue par un glouton – taux de croisement : 80 %
– taux de mutation : 4 %
Adaptation au niveau des individus :
– conserver des solutions réalisables : réparation – améliorer les solutions : saturation
Améliorations :
– 3 directions de recherche pour la saturation
– garder toutes les solutions potentiellement efficaces
– phase de recherche locale (1-1 échanges)
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Métaheuristique mono-objectif spécialisée SPP ª Greedy Randomized Adaptative Search Procedure (GRASP)
Algorithme
glouton aléatoire + Recherche locale
{ x x
n}
X =
1,...,
Liste de candidats Fixation d une
variable
Évaluation et classement
Sélection aléatoire
Solution admissible
Méthode de descente
) (
max
* i I Valuationi Valuation≥ α ∈
0− 1 échanges 1− 1 échanges 2− 1 échanges
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Améliorations en mono-objectif ª
Reactive GRASP :
– choix dynamique du paramètre α
Path relinking :
– calcul de chemins entre les meilleures solutions
Processus d’apprentissage :
– éviter les contraintes bloquantes
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Modifications pour le cas bi-objectif ª
Application de l’algorithme suivant 20 directions sur l’espace des objectifs :
→ λc
1∗ (1 − λ)c
2, λ ∈ {0,
191, . . . ,
1819, 1}
Plusieurs solutions par directions :
→ conserver toutes les solutions potentiellement efficaces
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Plan de la présentation ª
Set Packing bi-objectif Résolution
Expérimentations
Conclusion et perspectives
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Instances 1/2 ª
6 familles de fonctions objectifs ont été utilisées :
– A : aléatoires
– B : aléatoires et symétriques
– C : aléatoires avec motifs
– D : symétriques avec motifs
– E : un unitaire et un aléatoire
– F : un unitaire et un avec motifs
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Instances 2/2 ª
Caractéristiques :
– 100 ou 200 variables
– de 300 à 1 000 contraintes
– une densité de la matrice T de 1% à 3%
⇒ 120 instances
Disponibles sur le site de la MCDM :
– http ://www.terry.uga.edu/mcdm/
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Résolution exacte ª
Méthode dichotomique
Relativement peu de solutions efficaces
A B C D E F Moyenne
100 variables 18,2 18,4 19,8 16,6 4,2 4,1 13,6
200 variables 39 35,1 44,2 32,9 5 5,5 27
Forme particulière de la frontière efficace, existence de “trous”
Mauvaise qualité des bornes
Frontière efficace et bornes ª
1800 2000 2200 2400 2600 2800
2000 2100 2200 2300 2400 2500 2600 2700 2800 2900
z2
RL 01 glouton
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Temps de résolution exacte ª
Temps moyens très importants
A B C D E F Moyenne
100 96 120 109 66 33 29 76 s
200 62188 51007 53142 57478 46695 63613 55687 s
⇒ jusque 360 000 secondes !
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Résolution approchée ª
Temps alloué à chaque métaheuristique :
– 20 s pour les instances à 100 variables – 80 s pour les instances à 200 variables
Indicateurs utilisées pour comparer les 2 métaheuristiques :
– pourcentage de solutions efficaces trouvées (M1) – distance euclidienne moyenne à la frontière efficace
– l’hypervolume (S-metric) : surface (pour le bi-SPP) définie dans l’es-
pace des objectifs par l’ensemble des solutions efficaces
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SPEA Â GRASP ª
Pourcentages moyens de solutions efficaces trouvées
A B C D E F Moyenne
SPEA 75% 76% 75% 82% 82% 83% 79%
GRASP 72% 70% 73% 79% 68% 73% 72%
Distances moyennes à la frontière efficace
A B C D E F Moyenne
SPEA 4,62 4,49 4,70 2,24 1,96 1,25 3,21
GRASP 5,12 5,24 3,65 3,73 9,19 13,76 6,78
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GRASP Â SPEA ª
Hypervolume : Pourcentages moyens de la frontière efficace
A B C D E F Moyenne
SPEA 98,9 98,8 99,0 99,3 99,1 99,0 99,0 %
GRASP 99,9 99,8 99,9 99,9 99,2 99,4 99,7 %
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Exemples 1/2 ª
3700 3800 3900 4000 4100 4200 4300 4400 4500 4600 4700
z2
GRASP SPEA
Exemples 2/2 ª
2000 2100 2200 2300 2400 2500 2600 2700 2800
2100 2200 2300 2400 2500 2600 2700 2800 2900
z2
GRASP SPEA
