1. Cours 8: Applications linéaires.

1. Cours 8: Applications linéaires.

1.1. Applications linéaires

Dé…nition:Soient E et F deux K-espaces vectoriels. Une applicationf :E !F est dite linéaire, si

8 ; 2K;8x; y 2E: f( x+ y) = f(x) + f(y)

*Une application linéaire bijective est appelée isomorphisme.

*Une application linéaire de E dans E est appelée endomorphisme de E:

*Un endomomorphisme bijectif est appelé automorphisme.

Exemples:

1) L’application f :R³ !R² dé…nie par f(x; y; z) = (2x+ 3y z; x+z) est une application linéaire. En e¤et:

Soit ; 2Ret soit (x₁; y₁; z₁);(x₂; y₂; z₂)2R³, on a:

f( (x₁; y₁; z₁) + (x₂; y₂; z₂)) =f( x₁+ x₂; y₁+ y₂; z₁+ z₂)

= (2 ( x₁ + x₂) + 3 ( y₁+ y₂) ( z₁+ z₂);( x₁+ x₂) + ( z₁ + z₂))

= ( (2x₁ + 3y₁ z₁) + (2x₂+ 3y₂ z₂); (x₁+z₁) + (x₂+z₂))

= (2x₁+ 3y₁ z₁; x₁+z₁) + (2x₂+ 3y₂ z₂; x₂+z₂)

= f(x₁; y₁; z₁) + f(x₂; y₂; z₂)

*f n’est pas un isomorphisme d’espaces vectoriels (f n’est pas injective)

2) L’applicationg : C! C telle que g(z) = z n’est pas une application linéaire, si on considère C commeC-espace vectoriel. En e¤et:

Soit z; z⁰ 2C et soit ; 2C on a: g( z+ z⁰) = z+ z⁰ = g(z) + g(z⁰) Prenonsz = 2; z⁰ =i et prenons = 1 +i; = 2i; on a:

g( z+ z⁰) =g((1 +i):2 + 2i(i)) = 2i:

g(z) + g(z⁰) = (1 +i):2 + 2i( i) = 4 + 2i6=g( z+ z⁰):

Mais si on considèreC comme R-espace vectoriel, les scalaires ; seront choisis deR; alors = et = , donc dans ce casg devient une application linéaire.

* g est un endomorphisme et puisque elle est bijective c’est un automorphisme.

3) La dérivation des polynômesD:K[X]!K[X]qui associe à chaque polynôme P son polynôme dérivé P⁰ (Voir cours 6) est une application linéaire. En e¤et:

Soit ; 2K et soitP; Q2K[X]; on a:

(D( P + Q) = ( P + Q)⁰ = P⁰ + Q⁰ = D(P) + D(Q)).

Remarque: Si f est une application linéaire alors 8 ¹; ₂; :::; _n2K;8a₁; a₂; :::; a_n 2K;

f( ₁a₁+ ₂a₂+:::+ _na_n) = ₁f(a₁) + ₂f(a₂) +:::+ _nf(a_n)

Théorème:Soient E et F deux K-espaces vectoriels et f :E !F une applica- tion linéaire. Alors:

1) f(0_E) = 0_F

2) 8 x2E : f( x) = f(x)

3) Imf =f(E) est un sous espace vectoriel de F:

4) kerf =f ¹f0_Fg est un sous espace vectoriel de E:

5) f est surjective , Imf =F 6) f est injective , kerf =f0_Eg

On rappelle queImf =f(E) =ff(x) = x2Egetkerf =f ¹f0_Fg=fx2E = f(x) = 0_Fg Preuve:

1) On a: f(0_E) = f(0_E) + 0_F =f(0_E) +f(0_E) f(0_E)

=f(0_E + 0_E) f(0_E) = f(0_E) f(0_E) = 0_F 2) Soitx2E; on a:

f( x) +f(x) =f( x+x) = f(0_E) = 0_F, alors f( x) = f(x): 3) D’après 1), on a f(0E) = 0F, alors 0F 2Imf:

Soit ; 2K et soity; y⁰ 2Imf , alors 9x; x⁰ 2E; y =f(x)et y⁰ =f(x⁰): On a y+ y⁰ = f(x) + f(x⁰) =f( x+ x⁰)2Imf;

Alors,Imf est un sous espace vectoriel de F:

4) D’après 1), on a f(0_E) = 0_F, alors 0_E 2kerf Soit ; 2K et soitx; x⁰ 2kerf.

On af( x+ x⁰) = f(x⁰) + f(x⁰) = 0F + 0F = 0F; d’où x+ x⁰ 2kerf;

alors,kerf est un sous espace vectoriel de E:

5) On a: f est surjective , 8y2F;9x2E :y =f(x) , 8y2F; y 2Imf

, F Imf

, F = Imf car il est clair que Imf F 6) Supposons quef est injectif, alors:

kerf =fx2E=f (x) = 0_Fg=fx2E = f(x) =f(0_E)g=f0_Eg: Inversement , supposonskerf =f0_Eg; et soitx; x⁰ 2E:

f(x) = f(x⁰) )f(x) f(x⁰) = 0F

)f(x x⁰) = 0_F )x x⁰ 2kerf )x x⁰ = 0E

)x=x⁰ Alors f est injetive.

Exemples:

1) Soit l’application linéairef :R³ !R²dé…nie parf(x; y; z) = (2x+ 3y z; x+z): kerf =f(x; y; z)2R³ = (2x+ 3y z; x+z) = 0_R²g:

On a 2x+ 3y z = 0

x+z = 0 ,

8<

:

y= x z= x x2R

kerf =f(x; y; z)2R³=z =y = xg, alors f n’est pas injective, car kerf 6=f0_R³g Imf =ff(x; y; z)=(x; y; z)2R³g=f(2x+ 3y z; x+z)=(x; y; z)2R³g

=fx(2;1) +y(3;0) +z( 1;1) = x; y; z2Rg

AlorsImfest le sous espace vectriel deR²engendré par la partieG=f(2;1);(3;0);( 1;1)g qui n’est pas libre (sinondim_R(Imf) = 3ce qui est impossible car dim_R(Imf) dim_RR² = 2).

La partieG contient une base et comme la partieG₁ =f(2;1);(3;0)gest libre, il existe une base A de Imf telle que G₁ A G ce qui implque que G₁ =A et dim_R(Imf) = 2 d’où Imf =R² et par conséquentf est surjective.

1.2. Applications linéaires et dimensions

Théorème: Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimensions …nies et f :E !F une application linéaire. Alors:

dim_KE = dim_K(kerf) + dim_K(Imf): Preuve: kerf est un sous espace de dimension …nie de E.

Posons k = dim_K(kerf) et soit fe₁; e₂; :::; e_kg une base de kerf qu’on complète en base deE: Soit fe₁; e₂; :::; e_k; e_k+1; :::; e_ng;où n= dim_KE:

Montrons queff(e_k+1); :::; f(e_n)gest une base de Imf:

Soit k+1; :::; _n 2K ,

k+1f(e_k+1) +:::+ _nf(e_n) = 0 )f( _k+1e_k+1+:::+ _ne_n) = 0 ) ^k+1e_k+1+:::+ _ne_n 2kerf

) 9 ¹; :::; _k 2K : _k+1e_k+1+:::+ _ne_n= ₁e₁+:::+ _ke_k ) ¹e₁ ::: _ke_k+ _k+1e_k+1+:::+ _ne_n= 0

) ¹ =:::= _k = _k+1 =:::= _n= 0

Par conséquentff(ek+1); :::; f(en)gest une partie libre de Imf:

Soit y2Imf; alors 9x2E :y=f(x); x2E.

Or9x₁; :::; x_k; x_k+1; :::; x_n2K :x=x₁e₁+:::+x_ke_k+x_k+1e_k+1+:::+x_ne_n, d’où y =f(x₁e₁+:::+x_ke_k+x_k+1e_k+1+:::+x_ne_n):

=x₁f(e₁) +:::+xkf(ek) +xk+1f(ek+1) +:::+xnf(en)

=x_k+1f(e_k+1) +:::+x_nf(e_n)car fe₁; e₂; :::; e_kg kerf Par conséquentff(e_k+1); :::; f(e_n)gest une partie génératrice de Imf:

En conclusionff(e_k+1); :::; f(e_n)g est une base deImf; etdim_K(Imf) =n k;

ainsi n= dim_KE = dim_K(Imf) +k = dim_K(Imf) + dim_K(kerf) Remarque: Le théorème est vrai même en dimension in…nie.

Exemples:

1) Soit l’application linéaireg :R³ !R⁴dé…nie parg(a; b; c) = (b; a b; b c; a+ 2c) kerg =f(a; b; c)2R³ = (b; a b; b c; a+ 2c) = (0;0;0;0)g;

On a 8>

><

>>

: b= 0 a b= 0 b c= 0 a+ 2c= 0

, 8>

><

>>

: b= 0 a= 0 c= 0 a= 0

Donckerg =f(0;0;0)g, alors g est injective.

On a3 = dim_RR³ = dim_R(Img) + dim_R(kerg) = dim_R(Img); alors Img 6= R⁴; cardimR⁴ = 4: Par conséquent g n’est pas surjective.

Corollaire: Si E et F sont deux K-espaces vectoriels de dimensions …nies et f :E !F une application linéaire. Alors:

1) dim_K(Imf) = dim_KE , f est injective:

2) dim_K(kerf) = dim_KE dim_KF , f est surjective:

Corollaire: Si E et F sont deux K-espaces vectoriels de dimensions …nies.

Alors:

1) dim_KE = dim_KF , E est isomorphe à F:

2) dim_KE =n , E est isomorphe à Kⁿ:

Rang d’une application linéaire: Le rang d’une application linéaire f noté rg f est la dimension de son image. C.à.d: rg f = dim_K(Imf).

Remarques: En dimension …nie, on a:

1)rg f = dim_K(E) dim_K(kerf), où E est l’espace de départ def:

2)f est surjective , rg f = dim_K(F);où F est l’espace d’arrivée de f:

Exemples:

1)Soit l’applicationh: R³[X]!R³[X] dé…nie par h(P) = (X²+X+ 4)P⁰⁰, où R³[X] est l’espace des polynômes à coe¢ cients dans R de degré au plus 3 et P⁰⁰ le polynôme dérivé du polynôme dérivé deP (voir cours 6 )

Montrons queh est un endomorphisme et calculons son rang.

1) Soient ; 2R; etP₁; P₂ 2R³[X]:

h( P₁ + P₂) = (X²+X+ 4) ( P₁+ P₂)⁰⁰

= (X²+X+ 4)P₁⁰⁰+ (X²+X+ 4)P₂⁰⁰ = h(P₁) + h(P₂) Alorsh est une application linéaire.

SiP 2R³[X]; alors P =a0+a1X+a2X²+a3X³ aveca0; a1; a2; a3 2R. h(P) = (X²+X+ 4) (2a₂+ 6a₃X)

= (6a₃)X³+ (2a₂+ 6a₃)X²+ (2a₂+ 24a₃)X+ 8a₂ h(P)2 R³[X];donc h est un endomorphisme.

kerh=fP 2R³[X] = h(P) = 0g et si P =a₀+a₁X+a₂X²+a₃X³ On ah(P) = 0 ,

8>

><

>>

:

6a₃ = 0 2a2+ 6a3 = 0 2a₂+ 24a₃ = 0 8a₂ = 0

, a3 = 0 a₂ = 0

kerh=fP =a₀+a₁X = a₀; a₁ 2Rgqui admetf1; Xgcomme base, donc dim_R(kerh) = 2 et commef1; X; X²; X³g est une base de R³[X];alors dim_R(R³[X]) = 4:

En …n rg h= dim_R(R³[X]) dim_R(kerf) = 4 2 = 2 , et par suite h n’est pas surjective.

Théorème:Soient f :E !F et g :F !G deux applications linéaires.

Alors: g f :E !G est une application linéaire.

Preuve: Soit ; 2K et soitx; x⁰ 2E; on a:

g f( x+ x⁰) =g( f(x) + f(x⁰)) = g(f(x)) + g(f(x⁰)) = g f(x) + g f(x⁰): Théorème:Soit f :E !F une application linéaire bijective.

Alors: f ¹ :F !E est une application linéaire.

Preuve: Soit ; 2K et soity; y⁰ 2F;

Commef est surjective, alors 9x; x⁰ 2E; y =f(x) et y⁰ =f(x⁰): On peut écrire doncx=f ¹(y) et x⁰ =f ¹(y⁰):

On a: f ¹( y+ y⁰) =f ¹( f(x) + f(x⁰))

=f ¹(f( x+ x⁰))

= x+ x⁰ carz =f(t),t=f ¹(z)

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