Mathématiques Seconde : Calcul algébrique Thèmes
Exercices de base
Ex.B1 : Équations du premier degré Ex.B2 : Développements
Ex.B3 : Factorisations et équations du second degré qui en découlent Ex.B4 : Calculs littéraux avec des fractions
Exercices d’approfondissement Ex.A1 : Résolutions d’équations
Ex.A2 : Développements et factorisations Ex.A3 : Calculs littéraux avec des fractions Ex.A4 : Démonstrations d’inégalités
Dans tous les exercices de base, on demande de choisir trois entiers .
On pourra les choisir parmi les 44 triplets suivants (6,8,9 est celui utilisé pour les corrigés) :
Énoncés Exercices de base
Ex.B1
1. Choisir trois entiers tels que et .
Résoudre les équations suivantes après avoir remplacé par les valeurs choisies puis en gardant les lettres :
a) c) e) g) i) b) d) f) h) j) Soit quatre entiers. On considère l’équation : .
La fonction b11 dont le code suit renvoie "R" si tous les nombres réels sont solution de , renvoie
"vide" si l’équation n’a pas de solution et renvoie deux entiers et tels que soit la solution de si cette solution existe.
def b11(a,b,c,d):
if a==c and b==d:
return "R"
if a==c and b!=d:
return "vide"
else:
return d-b,a-c
Vérifier les réponses aux dix questions précédentes à l’aide de la fonction b11.
2. Choisir trois entiers tels que et .
Résoudre les équations suivantes après avoir remplacé par les valeurs choisies puis en gardant les lettres :
a) b) c) d) e) Soit huit entiers avec non nuls.
On considère l’équation : .
La fonction b12 dont le code suit renvoie "R" si tous les nombres réels sont solution de , renvoie
"vide" si l’équation n’a pas de solution et renvoie deux entiers et tels que soit la solution de
si cette solution existe.
def b12(a,b,c,d,e,f,g,h):
if b*d*f*h==0:
return "dénominateur = 0"
if a*f==b*e and d*g==c*h:
return "R"
if a*f==b*e and d*g!=c*h:
return "vide"
else:
return b*f*(d*g-c*h),d*h*(a*f-b*e) Vérifier les réponses aux cinq questions précédentes à l’aide de la fonction b12.
3. Cet exercice utilise les développements (voir exercice B2 1.)
Choisir trois entiers tels que et .
Résoudre les équations suivantes après avoir remplacé par les valeurs choisies puis en gardant les lettres :
a)
b)
c)
d) e)
Soit huit entiers. On considère l’équation
.
La fonction b13 dont le code suit (et qui utilise la fonction b11) renvoie "R" si tous les nombres réels sont solution de , renvoie "vide" si l’équation n’a pas de solution et renvoie deux entiers et tels que
soit la solution de si cette solution existe uniquement si , ce qui est le cas pour toutes les équations proposées.
def b13(a,b,c,d,e,f,g,h):
if a*g!=e*c:
return "second degré"
if (c==0 and d==0) or (g==0 and h==0):
return "dénominateur = 0"
return b11(a*h+b*g,b*h,c*f+d*e,d*f) Vérifier les réponses aux cinq questions précédentes à l’aide de la fonction b13.
Ex.B2
1. Choisir trois entiers tels que et .
Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes pour tout réel après avoir remplacé par les valeurs choisies puis en gardant les lettres :
a) b) c) 2. Choisir trois entiers tels que et .
Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes pour tout réel après avoir remplacé par les valeurs choisies puis en gardant les lettres :
a) b) c) 3. Choisir trois entiers tels que et .
Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes pour tout réel après avoir remplacé par les valeurs choisies puis en gardant les lettres :
a) b) c) 4. Choisir trois entiers tels que et .
Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes pour tout réel après avoir remplacé par les valeurs choisies puis en gardant les lettres :
a) b) c)
Ex.B3
1. Choisir trois entiers tels que et .
Dans chacun des cas suivants, factoriser et résoudre l’équation après avoir remplacé par les valeurs choisies puis en gardant les lettres :
a) b) c) d) 2. Choisir trois entiers tels que et .
Dans chacun des cas suivants, factoriser et résoudre l’équation après avoir remplacé par les valeurs choisies puis en gardant les lettres :
a) b)
c) d)
3. Choisir trois entiers tels que et .
Dans chacun des cas suivants, factoriser et résoudre l’équation après avoir remplacé par les valeurs choisies puis en gardant les lettres :
a) b)
c) d)
Ex.B4
1. Choisir trois entiers tels que et .
Écrire les expressions suivantes sous la forme après avoir remplacé par les valeurs choisies puis en gardant les lettres :
a)
b) c)
d) e)
2. Choisir trois entiers tels que et .
Écrire les expressions suivantes sous la forme après avoir remplacé par les valeurs choisies puis en gardant les lettres :
a) b) c) d) e) 3. Choisir trois entiers tels que et .
Écrire les expressions suivantes sous la forme après avoir remplacé par les valeurs choisies puis en gardant les lettres :
a) b)
c) d)
e) Exercices d’approfondissement
Ex.A1
1. Résoudre les équations suivantes :
a) b) c) d)
e) Ex.A2
1. Développer les expressions suivantes :
a) b) c)
2. Factoriser les expressions suivantes :
a) b) c) Ex.A3
1. Donner l’ensemble de définition des expressions suivantes et les écrire sous forme d’une seule fraction : a)
b) c)
d)
Ex.A4
1. Démontrer les propriétés suivantes : a) Pour tout , .
b) Pour tous réels et , .
c) Pour tous réels et , si et seulement si et sont de même signe.
Méthodes et indications Exercices de base
Ex.B1
1.
si
2.
3.
dans le cas où
Lorsqu’il y a une solution , il faut s’assurer que et que pour que les fractions de départ existent.
Ex.B2
On peut toujours vérifier l’égalité de deux expressions avec la calculatrice en tapant la première expression dans Y1 et la deuxième dans Y2 puis en constatant dans le tableur que les valeurs de Y1 et Y2 sont
identiques pour différentes valeurs de X.
1.
2.
3.
En remplaçant par – , on obtient 4.
Ex.B3
On peut toujours vérifier l’égalité de deux expressions avec la calculatrice en tapant la première expression dans Y1 et la deuxième dans Y2 puis en constatant dans le tableur que les valeurs de Y1 et Y2 sont
identiques pour différentes valeurs de X.
1.
et
2.
3. et, en remplaçant par – , Ex.B4
On peut toujours vérifier l’égalité de deux expressions avec la calculatrice en tapant la première expression dans Y1 et la deuxième dans Y2 puis en constatant dans le tableur que les valeurs de Y1 et Y2 sont
identiques pour différentes valeurs de X.
Exercices d’approfondissement Ex.A1
1. La méthode générale consiste à se ramener à une équation du type et à factoriser . Ex.A3
1. Un quotient existe si et seulement si son dénominateur est non nul.
a) existe et
b) existe et et Ex.A4
1. On montre que en montrant que . Pour cela, on factorise .
Corrigés Tous les corrigés sont donnés avec et Exercices de base
Ex.B1 1.
a)
print(b11(-6,0,0,9))affiche (9,-6) et on a
b)
print(b11(0,6,8,0))affiche (-6,-8)et on a
c) print(b11(1,8,0,6))affiche (-2,1) et on a
d) print(b11(0,9,1,6))affiche (-3,-1) et on a
e)
print(b11(6,-8,0,9))affiche (17,6)
f)
print(b11(-8,9,0,8))affiche (-1,-8) et on a
g)
print(b11(6,0,8,-9))affiche (-9,-2) et on a
h)
print(b11(8,1,9,2))affiche (1,-1) et on a
i) ; cette égalité n’est
jamais vraie donc il n’y a pas de solution.
ce qui faux
print(b11(6,8,6,9))affiche vide j) ; cette égalité est toujours vraie donc tous les nombres sont solutions.
ce qui est vrai
print(b11(12,8,12,8))affiche R 2.
a) print(b12(6,8,0,1,0,1,9,1)) affiche (72,6) et on a
b)
print(b12(9,8,8,6,0,1,0,1)) affiche (-64,54) et on a
c)
print(b12(8,9,-1,1,0,1,6,8)) affiche (126,64) et on a
d)
print(b12(-1,6,9,1,0,1,6,8)) affiche (-396,-8) et on a
e)
print(b12(6,8,1,8,9,8,8,9)) affiche (3520,-1728) et on a
3.
a)
print(b13(1,6,1,8,0,8,0,9)) affiche (10,1) et on a
b)
print(b13(0,9,1,-6,0,8,0,1)) affiche (-57,-8) et on a
c)
print(b13(1,0,1,9,0,-8,0,1)) affiche (-72,9) et on a
d)
print(b13(1,-8,1,0,0,-6,0,9)) affiche (72,15) et on a
e)
print(b13(1,6,1,-8,9,-6,9,8)) affiche (0,140) et on a
Ex.B2
1.
a)
b)
c)
2.
a)
b)
c)
3.
a)
b)
c)
4.
a)
b)
c)
Ex.B3
1.
a) Ainsi
ou ou
Ainsi
ou ou
b)
Ainsi
ou ou
Ainsi
ou ou
c) Ainsi
ou ou
Ainsi
ou ou d)
Ainsi
ou ou
Ainsi
ou ou
2.
a)
Ainsi
ou
Ainsi
ou b)
Ainsi
ou ou
Ainsi
ou
ou
c)
Ainsi
ou
Ainsi
ou
d)
Ainsi
ou
ou
Ainsi
ou
ou
3.
a) Ainsi
Ainsi
b)
Ainsi
Ainsi
c)
Ainsi
Ainsi
d) Ainsi
Ainsi
Ex.B4 1.
a)
b)
c)
d)
e)
2.
a)
b)
c)
d)
e)
3.
a)
b)
c)
d)
e)
Exercices d’approfondissement Ex.A1
1. a) ou
b) Pour , c)
ou
d) Pour et ,
.
Remarque : on peut aussi écrire .
e) La deuxième équation n’a pas de solution car .
Finalement, ou . Ex.A2
1. a) b)
c) 2. a)
b)
c) Remarque. On ne peut pas factoriser par des polynômes.
Ex.A3
1. a) existe ssi et . Pour donc .
Pour et , on a
b) existe ssi et . Pour et ,
c) existe ssi et .
Pour et ,
d) existe ssi et .
Pour et ,
Ex.A4
1. a) On a .
Pour tout , et donc ou encore .
b) Pour tous réels et , donc . c) Pour tous réels et , . Ainsi et sont de même signe.
