Mathématiques Seconde : Nombres
Thèmes
Exercices de base
Ex.B1 : Valeur arrondie et valeurs approchées (distance entre deux nombres) Ex.B2 : Intervalles
Ex.B3 : Racines carrées Ex.B4 : Puissances
Exercices d’approfondissement
Ex.A1 : Reconnaître un nombre décimal
Ex.A2 : Écriture décimale d’un nombre rationnel
Ex.A3 : Moyennes arithmétique, harmonique et géométrique
Dans tous les exercices de base, on demande de choisir trois entiers .
On pourra les choisir parmi les 44 triplets suivants (6,8,9 est celui utilisé pour les corrigés) :
Énoncés
Exercices de base Ex.B1
1. Choisir trois entiers tels que et .
On pose . Préciser l’écriture décimale de . Donner la valeur arrondie de : a) à l’entier b) au dixième c) au centième.
2. Choisir trois entiers tels que et .
On pose . Préciser l’écriture décimale de .
On note le plus petit entier pair parmi les trois entiers s’il existe et sinon. Préciser . On note et on appelle valeur absolue du réel le nombre égal à si est positif et à – si est négatif (c’est la valeur de sans tenir compte du signe). Ainsi
.
a) Démontrer que, pour tout réel , et que, pour tous réels et , . b) Démontrer que, pour tout .
c) On note la distance entre deux réels et .
Préciser et puis démontrer que, pour tous réels et , . On dit que est une valeur approchée de à près lorsque la distance entre et est inférieure ou égale à ;
d) Vérifier que est une valeur approchée de à près lorsque . e) Déterminer la plus petite et la plus grande valeur approchée de à près.
f) Déterminer la plus petite et la plus grande valeur approchée de à près.
Ex.B2
1. Choisir trois entiers tels que et . On pose . Préciser l’écriture décimale de .
Déterminer l’intervalle dans les cas suivants : a)
b)
c) d)
2. Choisir trois entiers tels que et . Compléter les équivalences suivantes en utilisant des inégalités :
a) b)
c) d)
Ex.B3
1. Choisir trois entiers tels que et .
Faire les démonstrations suivantes, d’abord avec les nombres choisis puis avec les lettres.
a) Démontrer que
b) Démontrer que
c) Démontrer que
d) Démontrer que Ex.B4
1. Choisir trois entiers tels que et .
Donner, sans calcul, le signe des nombres suivants, puis les calculer (sous forme de fraction irréductible si ce ne sont pas des entiers) :
; ; ; ; ; ; ; ;
2. Choisir trois entiers tels que et .
Soit . Écrire les nombres suivants sous la forme avec et (exprimer et en fonction de ) :
; ;
Exercices d’approfondissement Ex.A1
1. On note avec et entiers naturels ( ) l’écriture fractionnaire irréductible d’un rationnel positif . Cela signifie que et que et n’ont pas de diviseur commun autre que (autrement dit la fraction ne peux pas être simplifiée).
Un nombre est décimal lorsqu’il a une écriture décimale est finie (constituée d’un nombre fini de chiffres non nuls). On note l’ensemble des nombres décimaux.
a) Démontrer que si alors avec et dans .
On admet que cela signifie que n’a pas d’autres diviseurs premiers que et . b) En déduire que
.
c) Démontrer que si avec et dans alors (la condition de a) est donc nécessaire et suffisante).
d) En déduire que
.
Ex.A2
1. On dit que l’écriture décimale d’un nombre est périodique à partir d’un certain rang lorsqu’à partir d’un des chiffres qui la composent, les suivants se répètent indéfiniment dans le même ordre. C’est la cas, par exemple, de . On notera
a) Déterminer l’écriture décimale de
.
b) Démontrer plus généralement que l’écriture décimale d’un nombre rationnel quelconque est périodique à partir d’un certain rang .
c) Soit . Démontrer que est un entier et en déduire que . d) Expliquer comment la méthode précédente permet de démontrer que tout nombre dont l’écriture décimale est périodique à partir d’un certain rang est un rationnel.
e) Soit . Démontrer que .
Ex.A3
1. Exemples de moyennes
a) Un véhicule effectue un trajet à la vitesse pendant la moitié du temps et à la vitesse pendant l’autre moitié. Montrer que sa vitesse moyenne sur le trajet est .
Pour tous réels et , le réel est appelé moyenne arithmétique de et . b) Un véhicule effectue la moitié d’un trajet à la vitesse et l’autre moitié à la vitesse . Montrer que sa vitesse moyenne sur l’ensemble du trajet est
et vérifier que est la moyenne arithmétique de et .
Pour tous réels positifs et , le réel
est appelé moyenne harmonique de et . c) En un an un effectif est multiplié par . L’année suivante, il est multiplié par .
Montrer que le coefficient annuel moyen de multiplication sur les deux années est . Pour tous réels positifs et , le réel est appelé moyenne géométrique de et . d) Soit et deux réels positifs et les moyennes définies ci-dessus.
Vérifier que et que si alors .
e) Dans cette question, on utilisera le résultat suivant (voir 4. Géométrie élémentaire Ex. A1) : Si est un triangle rectangle en et si est le projeté orthogonal de sur alors
et .
Soit et deux réels tels que . On note les trois moyennes définies ci-dessus.
On considère trois points alignés tels que , et . On note le milieu de et un des deux demi-cercles de diamètre .
La perpendiculaire à en coupe en un point et on note le projeté orthogonal de sur .
Démontrer que et . En déduire que .
Méthodes et indications
Exercices de base Ex.B1
1. Soit .
Pour arrondir au centième, on commence par considérer la troncature de avec décimales : .
Ensuite, on regarde le chiffre des millièmes de ; ici .
Lorsque ce chiffre est supérieur ou égal à (c’est le cas ici) on ajoute un centième à pour obtenir l’arrondi. Sinon, on garde .
Ici la valeur arrondie de au centième est .
La calculatrice permet de vérifier : math NBRE arrondir(3.595,2)
2. a) et b) Distinguer les cas et . c) Distinguer les cas et d) Utiliser la question b)
e) et f)
Ex.B2
En dehors de et de l’ensemble vide, les intervalles de sont de l’une des huit formes suivantes : Intervalles bornés ( )
Intervalles non bornés
Ex.B3
1. a) et b) Démontrer que revient à démontrer que
c) On peut calculer et réduisant les deux fractions au même dénominateur ou calculer
en séparant la fraction en deux.
d) Si alors donc ou .
Pour démontrer que , il suffit donc de démontrer que et que et sont de même signe.
Ex.B4
1. Si alors pour tout entier .
Si alors si est pair ( positif ou négatif) et si est impair.
2. Utiliser les formules suivantes : ; ; valables pour tous réels et et touts entiers et (les réels et étant non nuls si ou sont négatifs).
Sous forme fractionnaire, ces égalités s’écrivent aussi et . Exercices d’approfondissement
Ex.A1
1. Remarquer que est un nombre décimal si et seulement si il existe un entier naturel tel que soit un entier.
Ex.A2
1. a) Poser la division de par et observer les restes à chaque étape.
e) Il s’agit de multiplier par deux puissances de différentes pour isoler à chaque fois la partie périodique dans la partie décimale du nombre obtenu.
Ex.A3
1. a) Noter la longueur du trajet effectué à la vitesse et la longueur du trajet effectué à la vitesse .
b) Noter le temps mis pour effectuer le trajet à la vitesse et le temps mis pour effectuer le trajet à la vitesse .
c) Noter l’effectif au début de la première année, l’effectif à la fin de la première année et l’effectif à la fin de la deuxième année.
e) Utiliser le fait qu’un point est sur le cercle de diamètre si et seulement si le triangle est rectangle en .
Corrigés
Exercices de base Ex.B1
1. .
Remarque. Tout nombre décimal non nul a deux écritures décimales dont l’une est finie et l’autre infinie. Par exemple avec une infinité de (voir Ex.A2e)).
Quand on parle de l’écriture décimale, on sous-entend que c’est l’écriture finie.
Les valeurs arrondies de sont :
a) à l’entier (au lieu de car le chiffre des dixièmes est , supérieur ou égal à )
b) au dixième (au lieu de car le chiffre des centièmes est , supérieur ou égal à ) c) au centième (au lieu de car le chiffre des millièmes est , supérieur ou égal à )
2. et .
a) Si alors et donc Si alors et donc
Dans tous les cas, on a bien .
Alors, comme , on a . b) Si alors car –
Si alors car . Dans tous les cas .
c)
Plus généralement,
.
d) D’après c), est une valeur approchée de à près lorsque et, d’après b), . D’où le résultat demandé.
e) (pour la première équivalence, multiplier par et pour la deuxième, ajouter ).
Ainsi est une valeur approchée de à près équivaut à . La plus petite valeur approchée de à près est donc et la plus grande est . b) De même, est une valeur approchée de à près équivaut à . La plus petite valeur approchée de à près est donc et la plus grande est . Remarque. La valeur arrondie d’un réel à près est une valeur approchée de à près.
En effet, on a donc . Ex.B2
1. .
a) b) c)
d)
2. a) b)
c) d)
Ex.B3 1. a)
car .
Plus généralement, si , on a donc
b)
car .
Plus généralement, si , on a donc
c)
et
donc
.
Plus généralement, si et , on a
d) Montrons que ou encore que . Soit et .
On a et donc et , comme et sont positifs, on a .
Plus généralement, si et , montrons que Soit et .
On a et donc et, comme et sont positifs, on a bien .
Ex.B4
1. Choisir trois entiers tels que et . Donner le signe des nombres suivants, sans les calculer :
car est pair ; car est pair ; car est impair ; ; ; ; car est pair ;
car est pair ; car est impair.
On a ; ; ;
;
;
;
. 2. ;
;
Exercices d’approfondissement Ex.A1
1. a) Si alors
avec et entiers ( positif ou nul) donc et, après simplifications éventuelles, avec ( et dans ).
b) D’après a), si on avait
, n’aurait pas d’autres diviseurs premiers que et . Or est un diviseur premier de donc
(raisonnement par l’absurde).
c) Il suffit d’écrire
pour voir que . d)
donc
( avec et ).
Ex.A2
1. a) On a ; ; ; ; ; et donc
.
b) Si , on peut poser la division de par pour trouver l’écriture décimale de . Une fois que la partie entière est trouvée, la division continue avec restes possibles (entre et inclus) auxquels on ajoute des 0 à chaque fois donc on est sûr de retomber sur le même reste et donc sur la même division après au plus divisions. Alors la partie décimale est périodique à partir de ce moment-là .
c) Soit .
On a donc ou encore
.
d) Notons une période de et le nombre de chiffres qui la constituent.
On peut toujours trouver un entier naturel tel que la partie décimale de soit égale . Alors la partie décimale de est aussi égale à donc est un entier . Alors donc .
e) Soit .
On a et donc ou encore
. Ex.A3
2. a) Notons la moitié du temps mis pour effectuer le trajet, la longueur du trajet effectué à la vitesse et la longueur du trajet effectué à la vitesse .
On a et . De plus, la longueur totale du trajet est donc
. Alors
.
b) Notons la moitié de la longueur du trajet, le temps mis pour effectuer le trajet à la vitesse et le temps mis pour effectuer le trajet à la vitesse .
On a , et
.
On a et donc
. Alors
donc est la moyenne arithmétique de et . c) Soit l’effectif au début de la première année, l’effectif à la fin de la première année et l’effectif à la fin de la deuxième année.
On a et donc . Or, si est le coefficient annuel moyen de multiplication sur les deux années, on a donc ou encore . d) et
donc . De plus si alors e) est le centre du cercle donc .
Comme le triangle est rectangle en , on a donc . Enfin, comme le triangle est rectangle en , on a
donc .
Comme est l’hypoténuse de , on a et, comme est l’hypoténuse de , on a . Ainsi ou encore .
