Le problème de Poisson : approximation du problème

Analyse, séance 4 : cours

E XEMPLE CANONIQUE DE PROBLÈME ELLIPTIQUE

Le problème de Poisson : approximation du problème

Programme

Suite de la séance 3. Nous allons utiliser la formulations faible et le principe du minimum pour construire des approximations du problème par la méthode des éléments finis. Il suffit de choisir un espace d’approximation de dimension finie et une base de cet espace, la méthode de Ritz-galerkin conduit de façon mécanique à la construction d’un système linéaire qui détermine la solution approchée ; il reste à développer les calculs. Voir le chapitre 7 du polycopié.

f(x) u(x)

Γ₀

Γ₀ u = 0

u = 0 - k ∆ u = f

FIG. 1 – Une membrane tendue

Rappelons le problème : la fonctionu(x)qui définit une position d’équilibre de la membrane est solution duproblème aux limites:

u(x) = 0 six∈∂Ω

−Div(kGradu)(x) =−k∆u(x) =f(x) six∈Ω (1)

Modèle numérique

Introduction

La solution du problème (1) n’admet pas en général d’expression à l’aide des fonctions usuelles, tout ce que l’on peut espérer c’est calculer une valeur approchée de la solution en certains points,

valeurs que l’on peut ensuite interpoler. La méthode des différences finies, est une méthode d’ap- proximation applicable à des domaines de forme régulière. Nous allons introduire un principe plus général d’approximation de la solution en utilisant les formulations faibles.

La méthode de Ritz-Galerkin

Pour calculer une solution du problème, on cherche une approximation uh de u dans un sous- espaceV_h de dimension finieN de l’espace V0 de toutes les positions possibles. (Une fonctionC¹ peut être approchée par exemple par des polynômes, des fonctions trigonométriques, des fonctions polynômes “par morceaux”). Quand un bon sous-espace a été choisi (ce qui sera étudié plus loin), les principes énergétiques permettent de formuler une méthode générale et naturelle d’approximation, la méthode de Ritz-Galerkin:

On définit la solution approchéeu_hdans un sous-espaceV_hen restreignant le principe du minimum de l’énergie ou le principe des travaux virtuels aux positions de la membrane représentées par une fonction deV_h.

Ce qui se traduit mathématiquement par les deux problèmes équivalents :

∀v∈V_h J(u_h)≤ J(v) (2)

∀v∈V_h a(u_h, v) =L(v) (3)

Ces deux problèmes équivalents admettent une solution et une seule.

On en déduit :

∀v ∈ V_h a(u−u_h, v) = 0

Cela donne une nouvelle interprétation de l’approximation, à savoir queu−u_hest orthogonal àV_h au sens du produit scalaire défini para(u, v)et donc queu_hest la projection deusur le sous-espace Vhau sens de ce produit scalaire.

Mise en équation

Il faut calculer la solution des deux problèmes équivalents (2) et (3) ce que l’on va faire en utilisant (3) et en représentant tout dans une base. Soitw_iune base deV_h. On noteu_iles composantes d’une fonctionu_h ∈V_hdans cette base et on pose

U= (u₁, . . ., u_j, . . ., u_N)^t ∈ R^N

La solution approchéeu_hest solution de (3) si et seulement si

∀i∈(1, ..., N)a(uh, wi) =L(wi) (4) Remplaçonsu_h ∈V_hparPN

j=1u_jw_j, on en déduit queUest solution d’un système linéaire :

K U=F (5)

oùKest une matrice symétrique définie positive¹etF∈ R^N un vecteur, avec :

K_i,j = a(w_i, w_j) (6)

F_i = L(w_i) (7)

4 8

1 2 5

3

9 6 7 1 4

1 0 1 3

1 5

1 7 1 8 1 9 2 0 1 2

1 6 2 3

2 1 2 2

1 1

FIG. 2 – Un maillage

Choix d’un espace d’approximation

On suppose pour la suite que le bord deΩest polygonal. On choisit des points, que nous appel- leronsnœuds, bien répartis dansΩet sur son bord ; on découpeΩen petits triangles ayant ces points pour sommets (fig. 2). On obtient ce que l’on appelleun maillage en trianglesdeΩ. On suppose qu’il y aN nœuds intérieursx_i(i.e. non situés sur le bord, les points du bord ont des numéros supérieurs à N). SoitV_hle sous espace deV0, formé des fonctionscontinuesaffines par morceaux sur ce maillage (i.e. de la formea+bx+cysur chaque triangle).

On admettra, ce qui est intuitivement clair, qu’il est possible d’approcher une fonction “régulière”

quelconqueu∈V₀ par une fonction deVh.

Soitw_i(x)l’unique fonction deV_hqui vaut1au nœudiet0aux autres nœuds.

La donnée de valeurs arbitraires aux nœuds détermine une fonction deV_het une seule.

On en déduit que sivest une fonction quelconque deVhde valeurs aux nœudsvi =vh(xi)on a v_h(x) =X

j

vj wj(x) (8)

ce qui signifie que les fonctionswj(x)forment une base deVh. la dimension deVhest doncN. Le support dew_i(i.e.{x / w_i(x)6= 0}) est formé des triangles dontiest sommet.

1Rappel :

∀V∈ R^N V6= 0 =⇒V^tK V>0 .

Définition de la solution approchée

En utilisant les résultats de la question (1) on en déduit que le vecteurU= (u₁, . . ., u_j, . . ., u_N)^t ∈ R^N est solution du système :

K U=F avec :

K_i,j = Z

Ω

kGradw_i(x)Gradw_j(x)dΩ F_i =

Z

Ω

f(x)w_i(x)dΩ

Siietj n’appartiennent à un même triangle, les supports de deux fonctions de basewi etwj sont disjoints ety donc les produits des gradients de ces fonction nulles. Les seuls termesKi,j non nuls de la matriceKsont donc tels queietj sont reliés par un segment, en déduire le nombre maximal de termes non nuls sur une ligne deKest donc toujours faible. Une matrice dont beaucoup de termes sont nuls est ditecreuse

Pour trouver la position de la membrane, il faut donc résoudre un système à matrice symétrique définie positive et creuse, ce qui peut être fait avec des méthodes très efficaces (Cholesky avec numérotation optimale ou gradient conjugué) ; il reste à calculer de façon algorithmique les coefficients de ce système.

Calcul des coefficients du système linéaire

SoitΩ_eun triangle du maillage de sommets(i, j, k)², on noteKˆ_ela matrice qui est définie comme Kmais en remplaçantΩparΩ_e. Cette matrice a pour seuls coefficients non nuls les coefficients situés

1

2 3

FIG. 3 – Un triangle élémentaire à l’intersection des lignes et colonnes(i, j, k).

Comme les coefficientsK_i,j = R

Ω kGradw_i(x) Gradw_j(x) dΩsont des intégrales qui sont la somme d’intégrales sur les élémentsΩe

Z

Ω

kGradw_i(x)Gradw_j(x)dΩ =X

e

Z

Ωe

kGradw_i(x)Gradw_j(x)dΩ

2Si un sommet est sur le bord rappelons que son numéro est supérieur àNpar convention

on en déduit que

K=X

e

Kˆe

On appellematrice de raideur élémentaire, notéeKe, la matrice(3,3)formée par les coefficients non nuls deKˆ_e.

Un triangle, muni de fonctions d’interpolation affines, des trois nœuds sommets et de la matrice de raideur élémentaire³Keconstitue ce que l’on appelleun élément finipour l’opérateur laplacien, dit ici de “type T3”.

Conclusion provisoire

Nous avons développé une méthode générale pour résoudre le problème de la membrane pour un domaine de forme quelconque, ou, autrement dit, une équation de Poisson avec des conditions aux bords de type “Dirichlet homogène” (i.e.u= 0).

La méthode de Ritz Galerkin appliquée à des approximation affines par morceaux conduit à des cal- culs systématiques : la matrice du système est une somme de petites matrices, les matrices de raideurs élémentaires, dont les coefficients sont des intégrales sur un triangles : le calcul est donc ramené à des calculs d’intégrales sur des triangles qu’il faut ensuite sommer pour obtenir la matrice. Nous allons mettre en oeuvre cette méthode en exercice.

Il faut adapter cette méthode à la prise en compte de conditions aux limites linéaires plus générales (conditions de flux ou de convection) et permettre l’utilisation d’approximations plus précises (élé- ments quadratiques, utilisation de quadrilatères. . .).

3Pour des triangles ayant des sommets sur le bord on calcule la matrice comme pour des nœuds intérieurs, bien que