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Sur le calcul des bases rayonnantes
Maurice Parodi, Georges Pircher
To cite this version:
SUR LE CALCUL DES BASES RAYONNANTES
Par MAURICE PARODI et GEORGES PIRCHER.
Sommaire. 2014 Dans cette étude, les auteurs
donnent, en s’appuyant sur les propriétés du produit de composition, d’usage courant en calcul symbolique, une méthode de calcul de bases rayonnantes ayant des maxima secondaires très faibles vis-à-vis du maximum principal.
De nombreux travaux ont été effectués en
Acoustique
et en Radioélectricité en vue de déter-miner des bases d’émission ou deréception
ayant,
dans une direction deplan.
déterminée,
un maximumprincipal
aussiaigu
quepossible
et des maxima secondairesnégligeables
devant cedernier,
parmi
lesquels
il faut citer ceux deMenges (1)
et deShel-kunofî
(2).
Nous nous proposons de montrer que le calcul
symbolique
permet.
enayant
recours à la notionde
produit
decomposition;
de donner une solutiondu
problème.
1. Introduction. -- Considéron.s
une base d’émis-sion linéaire résultant de la distribution continue
sur une
longueur
finie ou infinie de centres d’émissionvibrants en
phase
( ftg.
i).
L’amplitude
de la vibration résultante à l’infini dans une direction faisant unangle
[3
avec la normale à la direction dugroupement
(ou
directivité de labase)
a pourexpression
.f (x)
étantl’amplitude
de la vibration émise aupoint
d’abscisse x(fonction
derépartition),
cettedernière étant
comptée
àpartir
de l’une desextré-mités de la
base, 1.
lalongueur
d’ondeet j
lesymbole
desimaginaires.
Si l’on compare l’écriture
(1)
à cellequi
donnele
module
dela
transformée deLaplace 9
(p)
de lafonction
f
(x)
l , .
(1)
Akusiische Zeits-,g4 t
6. p. go.(i)
Syst,
tech.1943,
22. p. ~~·il
apparaît
que A estégale
au modulede o
(p)
quand
on y fait p= --- j
1 ~)
sin~3.
Les tables de
correspondances symboliques
per-mettent donc de déterminer la directivité d’une base linéaire
ayant
une fonction derépartition
donnée.Nous pouvons remarquer que la fonction de
répar-tition
f
(x) peut,
au lieu de caractériserl’amplitude
au
point
d’abscisse x d’une distributionlinéaire,
représenter
lalargeur
comptée perpendiculairement
à
Ox,
d’une baseplane
continue dont tous lespoints
vibrent en
phase
avec la mêmeamplitude;
dans cesconditions;
, l , ,
représente
la directivité de la base dans la directionde
plans
perpendiculaires
à sa surface et de tracesparallèles
à Ox.Soit,
parexemple,
une baseplane rectangulaire
de
largeur b
et delongueur
( fig. 2); f
(x)
est nullequand
est extérieur à l’intervalle(o, a)
etégale
à bquand x
est intérieur à cet intervalle.- ’
Flg. 2.
Proposons-nous
de déterminer la directivitéA(j3)
de cette base dans leplan
XOZ.La fonction
f (x)
a pour transformée deLaplace
et la directivité
s’écrit,
d’après
cequi précède,
201
et un calcul
simple
donne le résultatclassique
Considérons de même une base circulaire de
rayon .R
( fig.
3)
et cherchons sa directivité A(fi)
dans le
plan
XOZ.Fig.3.
La fonction de
répartition
estégale
àpour o x 2R et nulle
partout
ailleurs.L’image
devi 2Rx - x2
est(3)
I,
étant la fonction de Besselimaginaire
dupre-mier
ordre,
on a doncrésultat bien connu.
Il est à noter
que la
position
de la base lelong
del’axe des x n’intervient pas dans le
résultat;
unetranslation de valeur r le
long
de l’axe des x semanifeste,
eneffet,
dansl’image
de la fonction derépartition
par laprésence
d’unmultiplicateur
de la forme dont le module estégal
à l’unité avecla valeur
particulière
queprend
p dans lesproblèmes
que nous étudions.
Plus
généralement,
onpeut
remarquer,qu’étant
donnée une base de fonction de
répartition
f (x)
d’image c?
(p),
toute fonctionJ(~’) 8(.~)
est
l’image
de la fonction derépartition
.~(x)
d’unedistribution
ayant
même directivité que la baseprécédemment envisagée si ~ ~
(p) ~
1
= i pour(8) P. HUMBERT et Me LACHLAN, t Formulaire pour le calcul
symbolique, p. (Gauthier-Villars , Paris, 1941).
Soit,
parexemple,
unrectangle
de hauteur b etde
longueur
a,comptée
parallèlement
àOx;
l’image
de sa fonction derépartition
estX
Prenons 0
(p) =
eu /’(7. réel), qui
est bien telle, a x ,
que 0
(p)
1 ===
I pourp = - j
ç
sin
3.
La fonction de
répartition
F(x)
d’unedistri-bution
ayant
même directivité que lerectangle
dansle
plan
de tracé Ox a pourimage
On obtient une distribution semi-infinie.
2. Détermination de bases
planes ayant
despropriétés
directives données. -Supposons
quel’on se soit donné une base de fonction de
répar-tition
f (x)
et de directivité A(p)
connues et quel’on veuille déterminer la base
plane
ayant
pour directivité A(n
entierpositif),
cequi
aura poureffet d’affiner le maximum
principal (pris
égal
àl’unité)
et de diminuerl’importance
des maximasecondaires.
-Il suffira de chercher la
fonction y (p)
qui
corres-pond
à A(p)
etqui
n’est autre que la transformée deLaplace
def (x).
D’après
le théorème duproduit
decomposition,
la fonction derépartition
de la basequi
correspond
à la directivité A(p)"
sera* étant le
symbole
duproduit
decomposition.
Soit,
parexemple,
la baserectangulaire
de lon-gueur a et delargeur
b dont nous avons déterminéprécédemment
la directivité A(~3)
et cherchons la forme de la basepossédant
une directivité A(p)2.
Sa fonction de
répartition
aura pourimage
202
La base a la forme d’un
triangle
isocèle dehau-teur b2a et dont la
base,
parallèle
àOx,
a pourlongueur
2a.On aurait pu de même chercher la forme de la base
ayant
la directivité A(p)3.
L’image
de safonction de
répartition
estLa base est limitée par l’axe des x et un contour
formé d’arcs de
paraboles,
ce contour étantsymé-trique
parrapport
à ladroite x 3
a . 2On aurait pu
également
se donner n bases defonctions de
répartition //, (x)
et de directivités(P)
connues
(k
~ 1 , 2,... , n)
et chercher la fonction den
répartition
d’un
groupement
dedirectivité HA *
(B).
1
La
fonction
derépartition
de la base cherchée esttoujours
parapplication
du
théorème duproduit
decomposition.
Soient,
parexemple,
deux basesrectangulaires
delargeur b
et b’ et delongueur
a et a‘~a‘
>a).
Les fonctions derépartition
de ces bases ontrespectivement
pourimages
et
l’image
de la fonction derépartition
de la base cherchée s’écritCette fonction
/ (~)
s’écrit doncet la base
cherchée
a la formed’un
trapèze
de tracéfacile.
3. Généralisation. - Plus
généralement
consi-dérons u.ngroupement
constitué par n basesplanes
rectangulaires
identiques
A,
équidistantes
etdispo-sées comme
l’indique
lafigure
4,
tous leurspoints
vibrants enphase.
Fig. 4.
Les divers
rectangles
se déduisant chacun duprécédent
par une translationparallèle
à OX devaleur l,
l’image
de la fonction derépartition
de cegroupement
relative auplan
de trace OX estLa directivité A
(p)
dugroupement
dans leplan
de trace OX en résulteimmédiatement;
il vientToujours
dans le but d’obtenir une meilleuredirectivité,
supposons
que l’on veuilledéterminer
la structure dugroupement
qui
aura pour directivitéune
puissance
donnée,
m, de celle dugroupement
initial dans le
plan
de trace OX.L’image
de safonction de
répartition
seraLe
premier
terme duproduit
qui figure
dansl’expression
de Cf
(p)
n’est autre quel’image
de la fonction derépartition
d’une base A’ayant,
dans leplan
de traceOX,
une directivitéégale
à lapuis-sance m de celle de l’un des
rectangles qui
cons-tituent le
groupement
initial.Le second terme est de la f orme
203
On voit ainsi que la nouvelle base sera constitué
par i + m
(n
-i)
élémentsidentiques
à A’qui
sedéduisent’ chacun
duprécédent,
comme dans la baseinitiale,
par une translation de valeur 1parallèle
àOX,
leurspoids
devant êtrepris
égaux
auxcoeffi-cients
correspondants
C(k.A titre
d’exemple,
con.sidérons une base à deuxéléments A et cherchons la structure du
groupement
qui
aura dans leplan
de traceOX,
une directivitéégale
au carré de celle dugroupement
initial. La fonction derépartition
dugroupement
cherché aura pourimage
( 1 - e-P a )2
e--P 1
. b2v (1
+ 2 e-pl +
e-2pl)
et il
apparaît
que cegroupement
sera constitué partrois
triangles
isocèlesidentiques
A’,
de hauteur b2aet de base 2a, chacun d’eux se déduisant du
précédent
par une translation de valeur 1
parallèle
àOX,les
poids
respectifs
de ces basespartielles
étant 1,2 et ~. Onpeut,
pour tenircompte
de cespoids,
imaginer
une base à
quatre
triangles
ayant
la structurefigurée
en 5.Fig. 5.
De ce
résultat,
il ressort,qu’étant
donnée une ° base à deuxéléments,
identique
à ,celle que nous venons deconsidérer,
onpeut,
enprenant
unevaleur de m suffisamment
élevée,
déterminer ungroupement
linéairecomportant
unplus
grand
nombre d’éléments etayant
une directivité aussisatisfaisante que l’on veut.
Ce dernier résultat est à
rapprocher
de celui obtenu par Shelkun~off dans son articleprécité.
Manuscrit reçu le 26 mars 1948.
VARIATION
THERMIQUE DU
CHAMP COERCITIF DU COBALTDIVISÉ
Par L.WEIL,
S. MARFOURE et F. BERTAUT.Laboratoire
d’Électrostatique
et dePhysique
du Métal.Sommaire. 2014 On
a étudié entre la température de l’air liquide et 300° la variation du champ coercitif de cobalt divisé, obtenu par réduction d’oxalate, de formiate et d’hydroxyde et comprimé
en forme de bâtonnets. On a déterminé par un examen aux rayons X la structure et, en particulier,
la proportion de phase hexagonale et cubique de chaque échantillon.
Pour tous les échantillons à forte proportion de phase hexagonale, le champ coercitif passe par un
minimum au voisinage de 200° et a alors une valeur quatre fois plus petite que dans l’air liquide. Ce résultat est conforme à la théorie de M. Néel qui attribue le champ coercitif des poudres en partie
à l’anisotropie magnétique qui, pour le cobalt hexagonal, s’annule au voisinage de 200° et croît quand la température décroît.
Nous avons
montré,
dans unepublication
anté-rieure
[I]
que lechamp
coercitif du nickeldivisé,
obtenu par réduction
chimique
etaggloméré
vérifiait,
d’une manière tout au moins
qualitative,
la théorie duchamp
coercitif desferromagnétiques
àgrain
findéveloppée
par M. Néel[2, 3].
D’après
cettethéorie,
lechamp
coercitifrésulte,
d’une
part
del’anisotropie
deforme
desgrains,
d’autrepart
del’anisotropie magnétique
de la substance. Lesvaleurs
qu’on,
peut
s’attendre à trouver pour le cobalthexagonal
engrains
fins isolés sontrespecti-vement de l’ordre de
~If
= 0,26.~.~ =1170 gauss
et
H~2
= =2900 gauss
(D
àtempérature
ordinaire,
enprenant pour K
la valeur/~i.
106(£,6) .
Pour le cobalt
