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Sur un article de M. E. Whittaker, intitulé “ les relations
entre le calcul tensoriel et le calcul des spineurs ”
Al. Proca
To cite this version:
SUR UN ARTICLE DE M. E.
WHITTAKER,
INTITULÉ
« LES RELATIONS ENTRE LE CALCUL TENSORIEL ET LE CALCUL DESSPINEURS
» (1)
Par AL. PROCA.
Institut
Henri-Poincaré,
Paris.Sommaire. 2014 L’auteur analyse les résultats obtenus dans l’article cité en se plaçant
systématique-ment au point de vue de la théorie des spineurs. Cela permet de clarifier certains points obscurs et certains résultats inattendus, et précise le sens profond des méthodes proposées par M. Whittaker.
1. Introduction. - Les
règles classiques
du calcultensoriel
permettent
de former des tenseurs nouveauxà
partir
d’un ouplusieurs
tenseurs donnés.Cependant,
en relativité restreinte parexemple,
cesrègles
ne suffisent pas pour former tous les tenseursqui dépendent
du ou des tenseursdonnés;
desexemples
seront fournis
plus
loin. Pour former ces tenseursexclus,
il faut ou bien introduire desrègles
nouvellesde
formation,
- cequi
n’est pas sans inconvénient àcause de l’introduction
d’irrationnelles,
- ou bienprendre
comme donrcées non pas destenseurs,
mais dessptneurs.
Dans l’article
cité,
M. E. T. Whittaker montrequelles
sont les
règles
de formationqu’il
fautadopter
dans certains casparticuliers.
Il seplace systématiquement
au
point
de vue tensoriel et de ce fait onn’aperçoit
pastoujours
très bien la raisonprofonde
de certains résul-tatsqu’il
obtient(comme
parexemple
celle del’appa-rition du
phénomène
de «catalyse
», cf.plus
loin §
4),
ni leur
degré
degénéralité.
Enparticulier,
l’obtention,
àpartir
deséquations
de Dirac d’unsystème
d’équa-tionsvectorielles,
semble tout à fait artificielle et nepermet
pas uneanalyse approfondie
du processusutilisé.
Or,
il est facile de voirqu’en
seplaçant
systémati-quement
aupoint
de vue de la théorie desspineurs,
lesfaits
apparaissent
extrêmementsimples
et clairs. Rienn’empêche
ensuite de les traduire à nouveau enlangage
tensoriel. Nous
reprendrons
donc les résultats de Whittaker en nousplaçant
à cepoint
de vue ; nousutiliserons pour cela les notations et les résultats de
l’excellent article sur la théorie des
spineurs publié
par Uhlenbeck etLaporte
dans laPhysical
llevieto,
1931,37,
p. 1380.* * *
2. Premier résultat. - M. Whittaker montre
qu’il
PSI
possible
de mettre encor-respondance
uc deprentier
î-aiiq, donné ccvec une teneurajilisyîizéti-iqtie
derang
~,
d’invariantsHuis;
il donne les for-mulesqui permettent
de passer descomposantes
duspineur
à celle du tenseurparticulier
considéré.Ce résultat fondamental est démontré clairement (1) I’roc.
R,)y.
Soc., 1937, 158 A, p. 38.dans l’article cité et
n’appelle
que peu de commentaires.Voyons
comment il seprésente
lorsqu’on prend
commepoint
dedépart
la théorie desspineurs.
D’après
Uhlenbeck etLaporte
(/oc C2t.),
onpeut
en9énéral
fairecorrespondre à
un tenseurantisymétriques
self dual derang 2
unspineur
syrnétriqlle
=dit
second
Soitk1,
k2,
k3
les trois valeurs(complexes)
distinctes descomposantes
du tenseur self dual.Posons,
avec une notation évidente :Le lien entre les
composantes
duspineur symétrique
et celles du tenseurantisymétrique
est donné par lesformules :
On obtient le cas de Whittaker
(correspondance
entreun
spineur
du et untenseur)
enparticu-larisant ;
onpeut
en effet poser :spineur
évidemmentsymétrique,
maisqui
ausurplus
satisfait à :
soit : o
Les
iormales j2)
donnent alors la relation entre un seulspineur
depremier
rang,’?,
et un tenseuraii[1-+ -)0
symétrique,
réelIl),
soumiscependant
auxcondi-tions
(4)
qui
s’écrivent :soit encore vectorielleinent :
364
Si l’on veut à tout
prix
donner uneimage
intuitive,
onpeut
dire que Whittaker faitcorrespondre
à unspi-neur
~~~,
uncouple
de deux vecteurs(dans
un espace euclidien à 3 dimensionsqui
n’a rien à voir avec leproblème) égaii.r
etpeJ’))endiculaires
entre eux, commeles vecteurs d’une onde lumineuse
plane.
A tout
spineur
donnécorrespond
un telcouple,
maisinversement à un
couple (E, H)
donné necorrespond
pas un seul
spineur,
leséquations
de définition(2)
étant du seconddegré.
Cela tient à la nature même dela
représentation adoptée.
3. Second M. Whittaker considère 2
spineurs ~,.
auxquels correspondent
suivant larègle
ci-dessus les tenseursantisymétriques/? et SPI,.
Les
règles
habituelles du calcul tensoriel nepermettent
pas de former de vecteur avec néanmoins le
calcul des
spineurs
nousapprend
qu’on
peut
former,
avec’f,.
et-1)5’
un vecteur D. Leproblème
est alors le suivant : calculer D au moyen de R et S.La
réponse
est immédiate si l’onadopte
lepoint
devue du calcul des
spineurs.
Danscelui-ci,
à tout vecteuron
peut
fairecorrespondre
unspineur
du second rangde la forme
au moyen des iormules :
Au lieu de
parler
decomposantes
vectorielles onpeut
parler simplement
de certaines combinaisonslinéaires de ces
composantes
d718.
On donne ~,,5 =
’~ ~
ethrs
-~~,.
On en déduit :où
donc
Avec les tenseurs
antisymétriques
yrsh"s
onpeut
former,
par (6)
ou(7),
le vecteurdrs ;
on vérifie aisément quedrs
correspond précisément
auD,
de Whittaker.4. Troisième résultat. -
L’expression :
où
~,.
est unspineur
est évidemment un vecteurqui
nedépend
que de~;
parconséquent
on devraitpouvoir.
les calculer en fonction du tenseur
antisymétrique
!~~sseul. M. Whittaker donne une
expression qui
fournitH
en fonction de ce tenseur etd’un vecteurDr
arbitraire(voir
le §
précédent)
qui
disparaît
dans le résultatfinal,
mais dont la
présence
estindispensable,
selonl’auteur,
pour la
possibilité
du calcul. Le rôle quejoue
ce vecteur est donc celui d’uncatalyseur.
Il est facile de voir ce
qu’il
en est et de calculerH
enfonction de g rs.
Multiplions par "¥s
contractons et tenonscompte
de’~~=~0;
on aura : -.M. Whittaker
multiplie
haut et bas par unspineur
arbitraireposant
= on aura :H p
se calcule donc en fonction de et d’un vecteurcatalyseur
d,
lequel
est arbitrairejusqu’à
un certainpoint, puisque
IB;t
est absolumentquelconque.
Ce résultat n’estcependant
nullement nécessaire. Onpeut
multiplier (8)
part-
== 1 et l’on aura : .Tft
n’est
plus
fonction que dedrs
comme cela doitêtre.
5.
Quatrième
résultat. - Lequatrième problème
de Whittaker consiste à
chercher,
au moyen des résultats mentionnésplus
haut,
à trouver unsystème
d’équation
d’ondes,
équivalent
à celui de Dirac(pour
l’électronlibre),
mais écrit sous formevectorielle,
V=O.
Le but de ces 7a’est pas de COlnnlenter ce
résultat;
nous nous bornerons donc àanalyser
leséquations
obtenues en nousplaçant
commeplus
haut strictementau
point
de vue de la théorie desspineurs.
Les
équations
de Dirac en l’absence dechamp
sous365
...
d’ 1, 21t rac
sont les deux « fonctions d’onde
n,
=),x h Mc
et
d;.s
lespineur
du second rangsuiant,
formé avec lescomposantes
du vecteurgradient :
Ceci posé,
Whittaker forme à l’aide deséquations (il)
le vec teu ra
et écrit les nouvelles
équations
sous la formeV,
= 0.Or,
on voit facilement que(13)
peut
s’exprimer
au moyen de tenseursantisymétriques
convenablementchoisis. En
effet,
explicitement, (~3~
s’écrit :soit
On vérifie aisément
qu’en
vertu des relations fonda-mentales(11)
on a :donc
{1a)
s’écrira :Soient alors 9rs,
hrs
les tenseursantisymétriques qui
correspondant,
dans le sens desparagraphes
précé-dents,
auxspineurs
’f,’
et en d’autres termes posons :On aura en
général (§
4) :
et
d’où:
Les
équations
(1-i)
fiiialeiîïeiït soiis
laforme
suivanteqiii
ne contient que les h,.s et grs :avec les conditions :
On
peut
faireplusieurs
remarques sur ceséquations.
(21)
représente quatre équations
(complexes).
En faisant une combinaison linéaire de leurspremiers
membres on
peut
arriver à transformer lepremier
teroce de
(21)
en uneexpression identique
aupremier
membre d’une des
équations
de Maxwell ouplutôt
enla somme de deux
pareils premiers
membres. Eneffet,
en
général
si l’onremplace
grs par~~,
H suivantle ~
2,
les
systèmes d’éqaations :
ô fs
g°
= 0, 1,
se transforme
après
combinaison linéaire en unsystème
identique
auxéquations
de Maxwell ainsiqu’il
est facile de vérifier. La forme deséquations
de Whittaker seradonc la suivante :
Premiers menlbres des
équations
deplus
termes de la
(or1Jle
A .DB - B.DA(D
étant unedéri-vation) ; plus
termesirrationnels,
lesquels peuvent
dis-paraître
dans certaineséquations
mais pas dans toutes. Leséquations
de Whittaker ne sont pas les seulesqu’on puisse
obtenir par ceprocédé.
Elles découlent t toutes des formulesqui expi iment
les vecteurs formésavec les
~ ,
en fonction des dérivés de cesgran-deurs.
Or,
enparticulier,
onpeut
exprimer
de cettefaçon
le vecteur d’univers « courantélectrique »
La
décomposition qu’on
trouve est celle donnée parGordon
qui sépare
le courant total en un courant deconduction et un courant de
polarisation.
La formulecorrespondante
peut
remplacer (!5)
et l’on en déduit unsystème d’équations
finalesqui n"est plus
(27);
il estinutite d’insister. Cette manière de
procéder
permet
de mieux voir la structure dessystèmes
obtenus que ne lefait la méthode de l’article
cité,
etprécise
dansquel
sens on
peut
orienter les recherches si l’on désireépui-ser le
