SOLITONS DE SURFACE GUIDÉS PAR UN FILM MINCE SUR UN SUBSTRAT ÉLASTIQUE NON LINEAIRE

(1)

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Submitted on 1 Jan 1990

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MINCE SUR UN SUBSTRAT ÉLASTIQUE NON LINEAIRE

H. Hadouaj, G. Maugin

To cite this version:

H. Hadouaj, G. Maugin. SOLITONS DE SURFACE GUIDÉS PAR UN FILM MINCE SUR UN

SUBSTRAT ÉLASTIQUE NON LINEAIRE. Journal de Physique Colloques, 1990, 51 (C3), pp.C3-

91-C3-100. �10.1051/jphyscol:1990310�. �jpa-00230738�

(2)

COLLOQUE D E PHYSIQUE

Colloque C3, supplément a u n 0 1 7 , Tome 51, ler septembre 1990

SOLITONS DE SURFACE

GUIDES

PAR UN FILM MINCE SUR UN SUBSTRAT ÉLASTIQUE NON LINÉAIRE

H. HADOUAJ e t G.A. MAUGIN

Laboratoire de Modélisation en Mécanique associé au CNRS, URA-0229, Université Pierre et Marie Curie, Tour 66, 4, place Jussieu, F-75252 Paris Cedex 05, France

Résumé

-

On démontre l'existence d'ondes solitaires acoustiques stables de surface se propageant sous la forme de solitons enveloppes "obscurs" sur une structure composée d'un substrat non linéaire superposé d'une interface thermodynamique (un film très mince) élastique linéaire supposée mathématiquement d'épaisseur nulle. Un film mince d'or à la surface d'un substrat de niobate de lithium est une possibilité. L'analyse mathématique commençant avec la théorie des interfaces matérielles est développée par l'utilisation de la technique de Whitham-Newell du traitement des ondes non linéai- res, dispersives, de petites amplitudes et presque monochromatiques. Dans ce pro- cessus, des équations de conservation de "l'action d'onde" et des relations de dispersion non linéaires sont établies pour ce type d'onde de surface qui peuvent aussi être approchées par l'utilisation de la technique du Lagrangien moyenné de Whitham modifiée par Hayes en tenant compte du comportement transverse modal. On montre que tout le problème est gouverné par une seule équation de SchrGdinger non linéaire à l'interface, fournissant donc des solutions qui sont les analogues mécaniques des solitons optiques obscurs connus pour se propager dans les fibres optiques non linéaires.

Abstract

-

The proof is given of the existence of stable guided solitary surface acoustic waves propagating in the form of envelope "dark" solitons on a structure made of a nonlinear substrate and a superimposed linear elastic thermodynamical interface (a very thin film) of mathematically vanishing thickness. A thin gold film on top of a lithium-niobate substrate is a possibility. The mathematical analysis starting with the theory of material interfaces is carried by using the Whitham- Newell technique of treatment of nonlinear, dispersive, small amplitude, almost monochromatic waves. In the process "wave action" conservation equations and

"dispersive" nonlinear dispersion relations are established for this type of surface waves that could also be approached by using Whitham's averaged Lagrangian technique as modified by Hayes to account for the transverse modal behavior. It is shown that the whole problem is reduced to studying a single nonlinear Schrodinger equation at the interface, providing thus solutions which are the mechanical analogs of dark optical solitons known to propagate in nonlinear optical fibers.

1

-

INTRODUCTION

L'existence d'ondes solitaires nécessite une stricte compensation entre non linéarité et dispersion [ l ] . Dans notre étude nous combinons les notions d'ondes de surface [2] et d'ondes solitaires sur un film élastique mince superposé sur un substrat élastique non linéaire.

Notre choix porte sur les ondes de cisaillement SH. On opte pour un dépôt de particules solides afin de constituer cette couche qui est supposée sans épaisseur. Le type d'onde choisi est l'onde de Love [3]. On se trouve donc en présence d'un système dispersif, et d'autre part, on possède la non linéarité par la nature du substrat; on peut donc envisager la possibilité de faire propager des ondes solitaires ou même des solitons.

En premier lieu, nous établissons les équations de mouvement du substrat et de la membrane surfacique par le biais de la Mécanique des Milieux Continus, suivi d'une étude linéaire (paragraphes 2 et 3). On retrouve les résultats de Murdoch [ 4 ] qui a particulièrement étudié le cas d'une interface superposée sur un substrat élastique linéaire.

L'analyse nonlinéaire est effectuée en trois étapes dans le paragraphe 4. On évalue les contributions nonlinéaires en termes de production d'harmonique à la première étape, suivi d'un développement asymptotique qui nous fournit les termes de perturbation manquant dans les relations de dispersion nonlinéaires ou, plus précisément, les équations déterminant l'amplitude de l'onde, sont obtenues simultanément avec les équations de "conservation de l'action d'onde" ( à la manière de Whitham et Hayes [53. [6], [7]) à la fois dans le substrat

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1990310

(3)

et à l'interface. Finalement, dans l'approximation presque monochromatique [8], en petites amplitudes, il est montré que tout le problème est gouverné par une seule équation de Schrodinger (NLS) non linéaire à l'interface.

Nous optons pour un demi-espace ( X,

>

O ) élastique nonlinéaire et isotrope sur lequel est superposé en contact parfait une membrane surfacique ( X, = O ) élastique et isotrope (Figure 1). La nature du matériau de la membrane surfacique ne peut pas être initialement donnée ; elle ne sera déterminée qu'à la fin de l'étude. En effet, elle doit répondre à certains critères de validité physique correspondant à l'existence de l'onde recherchée.

On choisit de faire propager des ondes SH de polarisation horizontale, et l'amplitude de l'onde décroit selon la profondeur en e- Y , avec x

>

O

.

subs non

interface thermodynamique

.

Xj = Z

(b) Figure 1

-

Ondes de surface SH (ondes de Love (a) et de Murdoch (b)) 2

-

MISE EN EQUATION DU PROBLEMF,

A) EQUATIONS D'ONDES

Nous allons établir l'équation du mouvement, dans un premier temps dans le milieu volumique, et ensuite sur la membrane surfacique. Pour celà, nous avons besoin de quelques notions de mécanique non linéaire des milieux continus, Cg].

Dans le but de déterminer l'équation du mouvement, nous allons nous placer dans la configuration Lagrangienne. En effet, la forme et l'emplacement de la frontière du corps non déformé sont connus dans la configuration de référence. tandis que dans la configuration actuelle, les conditions aux frontières ne peuvent être établies qu'après avoir résolu les équations différentielles du champ.

La première loi du mouvement de Cauchy est donnée par ( k,i = 1,2,3 ) (2.1) t k i , k + P (fi

- üi)

= 0

Après calcul, on trouve l'équation de Cauchy dans la configuration de référence, en l'absence de forces de volume ( K,M = 1,2,3 )

où I: est le potentiel élastique.

Maintenant. il faut postuler l'expression de la,densité d'énergie de déformation L, pour la suite des calculs. L'équation précédente est celle définie pour le substrat, et comme on y impose la nonlinéarité, la formulation de L en termes quadratiques n'est pas suffisante ici. Pour celà, un développement en série de Taylor généralisé de la densité d'énergie de déformation X. corrigé au quatrième ordre en gradient de déplacement, peut être écrit en termes d'invariants de déformations 1, , 1,

.

^et^I3dans le cas d'un solide isotrope [IO] :

où X et p sont les constantes élastiques du second ordre (constantes-usuelles de Lamé), a.

i

et sont les constantes élastiques du troisième ordre, tandis que E, q, v et S sont celles du quatrième ordre. Les invariants de déformation peuvent être exprimés en termes de E..

(composantes du tenseur de déformation de Green) comme : 1, = Eii ; 1, = E. . E .'?

1 J J i '

(4)

I3 = Ei EjkEki ; avec

A présent, le choix de la polarisation du déplacement s'impose. Dans notre cas. on s'intéresse aux ondes de cisaillement, donc on ne prend en considération que la composante de g suivant la direction de X3. On note cette composante U ; elle est fonction du temps t et des coordonnées XI et X2. Soit U3 = U3 ( Xi , ^X?, ^t , ^Ul= U2 = O

.

^d*où^l'on

obtient finalement l'équation de mouvement des particles dans le substrat sous la forme suivante (A = 1,2 ; X2

>

O ) :

On l'appelera désormais équation d'onde de volume ( X2

>

O ) . On remarque que le terme non linéaire est cubique, et il n'y a pas de termes quadratiques qui apparaissent. C'est pour cette raison qu'il fallait développer î jusqu'à l'ordre 4 !

Maintenant, on établit l'équation de mouvement de la membrane surfacique. Pour celà nous nous plaçons dans la configuration Lagrangienne. En utilisant l'équation de mouvement surfacique dans la configuration actuelle qui a été établie dans [ll] par le biais du principe des puissances virtuelles, on arrive à l'équation suivante :

-

où

6

^:densité de masse surfacique dans la configuration actuelle, ji : vitesse des particules appartenant B la surface, uij A : contrainte surfacique dans la configuration actuelle, et

(2.7)

9

⁼^Pij^Vi ^;^{P i j}⁼^{6 . .}¹^J

^-

^ninj^; ^uij=^{J-1 xj}^{, K}^TKi

Maintenant, on écrit l'équation de mouvement dans la configuration de référence. Pour celà, il faut transporter toutes les quantités intervenant dans l'équation de l'état actuel à l'état de référence. On se sert donc des notions de changements surfaciques 1121. Et après

alc culs

pour un milieu surfacique élastique isotrope linéaire de coefficient de cisaillement , on obtient finalement l'équation (A = 1, 2) :

où Ûi est le déplacement des particules appartenant à l'interface.

B) NONDIMENSIONALISATION DES EQUATIONS

La condition de non glissement entre la membrane surfacique et le substrat est donnée par : (2.9) U3 = U 3 (Xi, t) = U 3 (XI, X2 = O , t) avec U3 = U3 (Xi. X2 , t) On écrit les équations obtenues précédemment avec les n~uveiles variables sans dimensions en posant :

off=

^Seff/ p ; c: = p / pO ;

CS

⁼ p / pO =

4

/ ka ; c = C, / cS ;

T = W a t ; x = k a X 1 ; y = k a X 2 ; U = k a U 3 et p / b = k a = 2 m / X a , où

a

et ka sont, respectivement, une fréquence et un nombre d'onde caractéristiques, ce dernier étant défini par le rapport des élasticités du 2ème ordre de volume et de surface.

Finalement, nos deux équations sans dimensions se présentent sous la forme :

8'

, , u - ^(u,.

⁺

^uYy)

⁼^p2^A{[u,

(u:

⁺

u:)],

+

[ uY (u:

⁺U:)]~

)

^{Pour Y}

^>

^O

(2.10)

û ,

, - ûxx - ^uy

^{( 1}⁺^pz^A^(UX⁺ ^U^:

⁾ ⁾

e n y = O avec p = 1 / c = c, / c, et A = c2 A e f f étant une grandeur sans dimensions.

Les équations non linéaires utilisées par Mozhaev [13], correspondent aux équations (2.10) sans contribution dynamique et élastique de surface. Elles ne contiennent donc pas de phéno- mène de dispersion.

3) PROBLEME LINEAIRE

Dans cette partie, nous prenons seulement en compte les termes linéaires des deux équations

(5)

de mouvement (2.10). Les équations à considérer sont alors de la forme : pour y

>

O e n y = O

Nous allons déterminer la relation de dispersion linéaire du système mécanique correspondant. On choisit une solution de la forme : U = A e-X Y eik ( X - ^{t ,} avec

x >

O Les paramètres qui y figurent sont bien sQr sans dimension. En effet, on a : k' = k / ka et c' = cl / ^c,^:cl étant la vitesse de phase effective. La condition de non glissement de la membrane surfacique sur le substrat impose que : Û = A ei ^{( X}^-

En remplaçant les solutions U et U dans les équations ci-dessus (3.1). et en éliminant la variable

x .

on trouve la relation de dispersion linéaire suivante :

(3.2) tO(k',c9)

-

^k"

^-

(1 - p 2 c V 2 ) / (1

-

c")~ = O

A présent, faisons réapparaît~e les variables avec leurs dimensions, ce qui consiste a rem- placer k' par ( k / ka ) , c par ( cl / c, ) et p par ( c, / c, )

.

Cette transformation permet la nouvelle écriture de la relation de dispersion :

où Z = c / p , ; s = c l / c , et s, = c , / c ,

C'est la relation obtenue de manière différente par Murdoch [14]. Exprimons, à présent, la relation de dispersion en fonction des quantités sans dimension w et k

.

Nous essayons des solutions harmoniques du type :

(3.4) U (X, Y, T) = A, exp ( - x Y ) exp i(kX

-

UT) , x

>

O

.

Pour A, r O on est conduit aux conditions linéaires de "surface" et de "volume" suivantes (3.5)

10,

( k , w ; ~ ) ~ ~ ~ d - k ~, + 2XIs =( k , a ; ~ ) = d - k 2 - % = O 0

.

Après élimination du paramètre de pénétration x , on obtient la relation de dispersion linéaire en fonction du nombre d'onde et de la fréquence :

(3.6)

9

( ~ . k ) = & ( ~ , k ) - p ~ d - k ~ + ( d - k ~ ) ~ = ~

Soit K = 2 k , un nombre d'onde sans dimension. Etudions alors la courbe de dispersion (3.3) sous la forme S = S ( K )

.

Cette forme impose que s,

<

^s< ^{1 d'où c,}

<

^c< ^c,

.

On retrouve la condition que la vitesse de propagation de la couche supérieure est plus faible que celle du substrat, c'est-à-dire que le constituant de la membrane est plus "mou!' que celui du milieu volumique pour une même densité. On trace-la courbe s = s ( K ) pour différentes valeurs de s, comprises entre zéro et un (voir figure 2). Les limites sont définies par :

K = O

*

^{s = l}

s =0.9 K = + m =, s + s o

0 ' 8 0.7 0.6 0 . 5 O. 4

0 . 3

o.

² o. 1

O 1

P

;

.O à . i n ^{, O} O ,;.O O].; I;.O ;.O] I;.. 3.0

LONRhUl rnRCrnlSTIUE

Figure 2 : courbe de dispersion linéaire pour différentes valeurs _s,

(6)

4) PROBLEME NONLINEAIRE

A) EVALUATION DES CONTRIBUTIONS NON LINEAIRES

Au milieu des années 60, une théorie ingénieuse ("Kinematic Wave Theory"). traitant de la propagation de trains d'ondes non linéaires et presque périodiques, fût développée.

Elle est principalement liée a m noms de Lighthill et Whitham avec des améliorations par Ablowitz, Benney et Newell [14], [15], [5]. On peut développer ainsi une large classe de solutions qui décrit une modulation lente de ce train d'onde.

Du fait que w et k dérivent d'un potentiel. la phase 0, on a la loi de conservation du nombre d'onde et une seconde condition exprimant l'évolution du paramètre de pénétration % :

On substitue la solution f(6, A) dans les équations différentielles sachant qu'elles admet- tent des solutions d'ondes périodiques qui se propagent 183. On se place dans le cadre d'une théorie de petites amplitudes, donc A = O(&)

.

Se limitant nécessairement aux solutions réelles, on prend alors la fonction développée f(0) sous la forme :

(4.2) f(0) = A e- XY cos0 + C A p z A3 e- 3XY cos30 +

...

La constante C est à déterminer à l'aide de l'équation différentielle du problème considéré.

Cette procédure nous permet en effet de trouver l'expression des termes nonlinéaires dans le cas de petites amplitudes. Dans notre cas on se limite au premier harmonique en cos0

.

^afin

de déterminer la nonlinéarité dominante sans prendre en considération les harmoniques d'ordres plus élevés. On choisit alors : u = A e- cos0 +

. . .

^{avec 8}⁼^kX

-

^UT

Prenons d'abord en compte la première équation différentielle de volume (2.10), , on pose : (4.3) T N L v = 3 u; uXX + uYY u$ + uXX ut + 3 uy uyy + 4 ^{ux uy uXY}

On calcule l'expression de T N L V

,

et on aboutit à :

La nonlinéarité conséquente est l'expression se trouvant en facteur du premier harmonique en cos0 , et elle a pour valeur la quantité : ( 9 2 - 3k4+ 2k22)

- ₄

1 ^e-^3XY

Lorsqu'on remplace la fonction f(8) dans l'équation différentielle de mouvement dans le milieu volumique on obtient :

(4.5) (-p2& + k2

- 2

)Ae-xycosB = &2 {(5j#

-

3 k 4 + 2 k 2 ~

)y

^~3e-lxy)⁺¹³

Dans l'expression B , on trouve tous les termes d'harmoniques d'ordres plus élevés en cos30, cos90 ,

...

etc. Et tous ces termes seront considérés comme facteur de perturbation, ce qui nous permet d'écrire :

(4.6) q L ( k , w, X, A) = E t(l) + t 2 t2(') +

...

On procéde de la même manière pour l'équation (2.10), de la membrane surfacique en Y = O pour laquelle le terme non linéaire s'exprime ainsi :

COS^ cos30

( 4 . 7 ) TNL,(,=,)= ( - x ^k2-3

x3) -

^A3⁺^{( X}^k2-x 3 )

-q--

^A3

ce qui donne par conséquent :

4

B) DEVELOPPEMENT ASYMPTOTIQUE

Nous allons montrer comment le problème peut être gouverné par une seule équation de Schrodinger non linéaire (NLS).

(7)

On cherche des solutions sous la forme : u(X, Y, T) = f(8, Y, A) + E ul + E2 u2 +

. . ..

La fonction f(0, Y, A) sera prise égale à A ei8 avec 0, = k , 0, =

-

w et O Y = i x . On fait le changement d'échelle suivant : x = E X ; y = E Y ; t = E T

.

Ce qui nous amène à poser :

L'équation de volume (2.10), devient alors :

Il est inutile d'expliciter (Term.1) et (Term.2) sachant qu'ils n'interviendront pas dans les calculs.

A l'ordre 1, on trouve la solution u, = A eie avec 8 = kX

-

^wT⁺ixY , et l'ordre suivant nous conduit à la relation :

(4.10)

- -

^A

"

(9x4- 3k4+ 2 k 2 2 ) A2 e- 2Xy u,

-

p2A (Term. 1) uo = 4

i eiO

= -

A [(pz w

a21t

+ (k ir2lX + (i XA')~

]

⁺ ^L'')A ^eie

à partir de laquelle nous obtenons u, = O

.

^z(') ⁼^O ^et

(4.11)

- a

^(6' ^{o A 2 )}⁺V . 5 = O où K = (k~', i % A 2 )

Cette relation est appelée "équation de conservation de l'action d'onde", et celle-ci est at obtenue pour y

>

O

.

L'ordre e 2 nous fournit :

Toute solution u2 de la forme eiO annule le premier terme du membre de gauche, comme on l'a vu dans le cas précédent. Afin de ne pas prendre en considération les termes séculaires, on choisit

z(')

de manière à annuler le second membre de l'égalité, ce qui donne :

Maintenant, intéressons nous à l'équation de la membrane surfacique (2.10),

.

On fait le même travail que pour le cas volumique, et en tenant compte des trois premiers ordres en & dans l'équation ci-dessus, nous obtenons alors les deux équations, équation de conservation de l'action d'onde, et relation de dispersion non linéaire sous la forme :

q,

^(w,k, X. A) =-ps.A E 9 o s . A = A t , - A x x

a

i

-

(o A2)

+.v. ^(k

^'⁾^A ⁼^O

at

. k =

(k.

- 2 )

B) Approximation quasi-monochromatique. petites amplitudes

Nous faisons à présent l'approximation presque monochromatique, en petites amplitudes.

Pour cela, on choisit A 4 E A et w =: 0, , k =: k, , pt

CI$ -

^kg⁺

<

⁼O en ayant 6 = k,X

-

^w,T + i xOY + @(x, y, t)

La quantité cP exprime la phase d'amplitude et dépend du temps t et des variables d'espace x,

(8)

y. On effectue une perturbation sur k ,

w

et x autour d'une solution (linéaire) harmonique caractérisée par [k,

,

a,( k, ) , x ,( k, ) ] , i.e, satisfaisant la relation de dispersion linéaire d'où : k = k, + & Qx ; w =

wo -

&

cP,

^; x =

x,, -

& i iY

.

Dans ce cas (4.13) devient :

On fait le changement de var:ables suivant :

E = x - W , t + i ~ , y , r = & t et A + & A

Le prime ( ' ) désigne ici la dérivée par rapport à la variable k,

.

^{On a donc}:

{

p 2 c l $ - k : + g = o (4.17) wo w;, fi2

-

^ko⁺

xo

xi ⁼^O

a;,' pz + Wo cl( pz

-

¹⁺

%h2+

^XO

i;

= O Compte tenue de ces équations. on obtient alors l'équation suivante :

A E

A

' e- 2x0y

(9d -

^3k;+ 2k:

2)

= (B'~~2- 1 + + E~~(;,C$ + e Z

-

4

Signalons que seul les termes d'ordre inférieur ou égal à 8' ont été retenus. En premier lieu, on s'intéresse aux termes d'ordre E , ce qui nous donne la relation (4.17)'

.

Il ne reste que les termes d'ordre g 2 , d'où :

On en déduit donc l'expression de QT qui s'écrit comme suit :

Nous effectuons le même travail à propos de la relation (4.11). Nous avons alors :

fi2(@,- &@t)2AAt

-

&$,A'+ 2AAx(ko+ B + ~ ) + i(xo- &iQy) A'+ 2AAyi

(x0-

6 i qy) = 0

Y

A 1' ordre 8' , on trouve 1' expression suivante :

2p2woA, + 2 q A E

(-

^p2wA2-

xi2+

¹⁾⁺

(-

@ 2 ~ ~ 2 + 1

-

^X;~)⁼^O

d'où

Maintenant on pose : a = A ei'

.

d'où l'on obtient l'équation de Schrodinger non linéaire (NLS) pour y

>

^O:

i

[

⁺^G

^a)

ⁱ^A ^-^{2 x O y}

(4.22)

% = 2 -

^e ( 9 % : - 3 k ; + 2 k g ~ 2 , ) a ~ a * Wo p2 8 Wo

On procéde de façon identique pour l'équation de la conservation de l'action d'onde, et pour la relation de dispersion non linéaire dans le cas de la membrane surfacique. Les termes d'ordres 6' nous conduisent, après calculs. aux deux expressions suivantes :

(9)

En posant a = A e- ^i@ , on o b t i e n t l ' é q u a t i o n d e Schrodinger s u i v a n t e e n Y = O :

D ) EQUATION GOWERNANT NON LINEAIRE DE SCHRODINGER (NLS)

Nous a l l o n s maintenant déterminer l ' é q u a t i o n de Schrodinger à l a s u r f a c e , en Y = O

.

^L'am-

p l i t u d e maximale s e trouve en s u r f a c e , e t pour l ' é v a l u e r il f a u t t e n i r compte des deux équa- t i o n s , l ' u n e de volume e t l ' a u t r e de l a membrane s u r f a c i q u e . En é l i m i n a n t l a q u a n t i t é

xi

,

on trouve l ' é q u a t i o n s u i v a n t e :

Sachant que

x,

=

4 ^-

^k^: e t que pz

02, -

kg +

(4 -

kg)' = O , on o b t i e n t finalement :

avec E = x

-

w i t e t T = & t

.

E) SOLUTIONS A UN SOLITON

Nous devons à p r é s e n t déterminer l e s s o l u t i o n s de l ' é q u a t i o n de Schrodinger q u i r é g i t l e mouvement en Y = O .L'équation s ' é c r i t sous forme g é n é r a l e :

(4.27) ⁱa, ⁺p aLE ⁺q la12a = 0

e t l e s s o l u t i o n s s o n t d i f f é r e n t e s s u i v a n t l e s i g n e du produit pq

.

I c i . a désigne l ' a m p l i - tude de l ' o n d e à l a s u r f a c e Y = O

.

Zakharov e t Shabat [16]. [173, o n t montré que l ' é q u a t i o n d e Schrodinger se résoud exactement en l a r é d u i s a n t p a r l a méthode de d i f f u s i o n i n v e r s e ( " i n v e r s e s c a t t e r i n g " ) à un c e r t a i n o p é r a t e u r l i n é a i r e d i f f é r e n t i e l . Dans c e c a s , l e s s o l u t i o n s e x a c t e s q u i d é c r i v e n t l ' i n t e r a c - t i o n des paquets d'ondes s o l i t a i r e s ou s o l i t o n s , peuvent être obtenues. S i pq

>

O a l o r s l a s o l u t i o n est i n s t a b l e e t s i pq

<

O on o b t i e n t dans c e c a s l a s o l u t i o n s t a b l e . I c i . on consi- d é r e A p o s i t i f . Dans n o t r e problème, on a :

1 1

Nous avons l a s o l u t i o n s t a b l e l o r s q u e p2 < ;- e t l a s o l u t i o n i n s t a b l e l o r s q u e pz

>

y

.

Dans l e c a s de s o l u t i o n s i n s t a b l e s . on s e trouve a l o r s en présence d'ondes d e type s o f i t o n s enveloppes dont l ' a m p l i t u d e s ' é v a n o u î t l o r s q u e Ixl + T

.

C e t t e s i t u a t i o n impose pq

>

O , on o b t i e n t l a s o l u t i o n d é f i n i t i v e s u i v a n t e

-

:

sachant que sech exprime l a q u a n t i t é ( l / c o s h ) , e t E = E (X

-

^T) ^, ^r⁼^{e 2 T}

.

Ce s o l i t o n e s t c a r a c t é r i s é e p a r q u a t r e c o n s t a n t e s q. or, X, e t <p

.

Maintenant on s ' i n t é r e s s e au cas des s o l u t i o n s s t a b l e s q u i s o n t de type s o l i t o n s "obscurs".

L'équation de Schrodinger correspondant à c e phénomène de propagation s t a b l e impose l e signe n é g a t i f au p r o d u i t ( p q ) . D'après [17], on peut déterminer l a s o l u t i o n de l ' é q u a t i o n de Schrodinger dans l e c a s s t a b l e comme s u i t :

(10)

Figure 3

-

Propagation d'un soliton brillant. Valeur du module du signal U dans l'espace- temps.

10.0

Figure 4

-

Propagation d'un soliton brillant. Décroissance du signal selon la profondeur.

(11)

F) CHOIX DE MATERIAUX

En choisissant pour le corps volumique nonlinéaire et isotrope du Niobate de Lithium (LiNbO, ) , on détermine la nature de la membrane élastique. Ainsi dans le cas des solutions stables, c'est-à-dire pour P~ compris entre Les valeurs O et 1/2 , ^etA

>

O, l'or, l'argent, le cadmium, le cuivre, le platine

...

conviennent. L'aluminium, le nickel ou le tungstène

...

conduisent à une solution du type "soliton brillant", instable, développant un train de solitons, en ayant cette fois un p2 compris entre 1/2 et 1.

CONCLUSION

L'analogue en acoustique des solides, sous forme d'onde de surface, des solitons obscurs dans les fibres optiques [18], a été mis théoriquement en évidence par la méthode de Whitham-Newell. Le caractère vraiment "soliton" (interaction de deux telles solutions) des solutions obtenues sera étudié numériquement ultérieurement. La propagation d'un soliton brillant a été simulée numériquement par la méthode des différences finies en considérant le système d'équations d'ondes non linéaires (2.10). On peut ainsi noter le caractère évanescent de l'amplitude (décroissance exponentielle selon la profondeur) ainsi que la bonne conservation du profil en dépit de l'instabilité annoncée (Figures 3 et 4 ) .

REFERENCES

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