Partie I - Écoulement d’un film mince sur un plan incliné

PHYSIQUE II Filière PC Le problème s’intéresse à divers aspects de l’écoulement et de l’étalement de liquides vis- queux sous forme de films minces. Il comporte des questions non calculatoires, pour les- quelles le candidat s’efforcera de répondre avec concision : quelques mots suffisent en général. Les parties I, II, III sont indépendantes.

Hypothèses : L’écoulement est supposé incompressible. Le liquide est décrit par sa masse volumique , sa viscosité et sa viscosité cinématique supposées cons- tantes. Le champ de pesanteur terrestre est supposé uniforme avec . On note le champ des vitesses et le champ des accélérations. L’équation du mouve- ment d’une particule de fluide s’écrit alors :

(1)

Partie I - Écoulement d’un film mince sur un plan incliné

Une goutte de fluide visqueux s’écoule sur un plan incliné d’angle (cf. figure 1 où sont défi- nies les directions unitaires , et ) en for- mant un film d’épaisseur localisé entre et . Le problème est invariant par translation selon et on a .

I.A - On note une vitesse caractéristique selon , une épaisseur carac- téristique du film, et une longueur caractéristique du film selon . L’hypo- thèse "film mince" se traduit a priori par la condition , qu’on suppose vérifiée dans la suite.

I.A.1) Exprimer l’ordre de grandeur de en fonction de et . Dans la suite, on supposera que dans l’équation (1).

I.A.2) Exprimer l’ordre de grandeur de , et des composan- tes selon de et en fonction de , , et .

I.A.3) À quelle condition sur , , , et le terme d’accélération convec- tive est-il négligeable devant le terme de viscosité dans l’équation (1) ? Cette condition est supposée vérifiée dans la suite.

I.B -

I.B.1) On se place dans l’approximation des états quasi-stationnaires, ce qui revient à négliger dans l’équation (1). Cette approximation sera justifiée a posteriori en I.C.2. Projeter l’équation (1) sur et .

I.B.2) En déduire l’expression de la pression en fonction de , , , , et de la pression imposée par l’atmosphère à l’interface liquide-air.

I.B.3) La condition aux limites imposées par l’interface liquide-air s’écrit

ρ η ν = η ρ⁄

g g = 9 8 m s, ⋅ ^–2

u a

a g 1 ρ---grad p

– +ν∆u

=

z

h x t( , ) goutte x_av( )t O α

g Figure 1 x

y + α

e_x e_y e_z h x t( , ) x = 0 x = x_av( )t

e_y u_y = 0

U∗ e_x h∗

L∗ e_x

h∗«L∗

u_z⁄u_x L∗ h∗

u_z≈0

∂²u_x⁄∂z² ∂²u_x⁄∂x² e_x ν∆u (u grad⋅ )u ν U∗ L∗ h∗

h∗ L∗ U∗ ν

∂u⁄∂t

e_x e_z

p h x t( , ) ρ g z

α p₀

PHYSIQUE II Filière PC

(2) Préciser l’inégalité entre , et traduisant l’hypothèse " pas trop petit".

I.B.4) Exprimer le débit volumique à travers la section d’épaisseur et de largeur selon en fonction de , , , et .

I.B.5) Une expérience de la vie quotidienne : lorsqu’on incline rapidement un verre d’eau puis qu’on le repose en position verticale, un film d’eau apparaît, puis disparaît progresssivement en s’écoulant vers le fond (figure 2). En admettant que le film initial a une épaisseur uniforme et une hauteur et

qu’à la base du film, son épaisseur reste constamment égale à , déterminer la durée de vie du film en fonction de , , et calculer pour

et .

I.C - On revient au problème général I.C.1) Montrer que est solution de :

(3) I.C.2) Déduire de l’équation (3) un ordre de grandeur de la durée caracté- ristique de l’évolution temporelle de l’écoulement en fonction de , , , et . Vérifier alors que l’hypothèse " négligeable" dans l’équation (1) est valide.

I.D - Dans cette question, on suppose qu’à l’instant une goutte de petite taille selon , de largeur selon et invariante par translation selon est déposée au voisinage de . On note l’abscisse du front avant de l’écou- lement à l’instant (figure 1). On cherche une solution de l’équation (3) sous la forme :

et (4)

I.D.1) Déterminer les constantes positives , et , puis écrire pour .

I.D.2) Calculer l’aire de la section de la goutte dans le plan en fonction de , , , et . En déduire que est proportionnel à où est un exposant à déterminer.

u_x gsinα ---ν

 

 

= hz z²

---2

 – 

 

α

tan L∗ h∗ α

h x t( , )

L e_y L h x t( , ) g α ν

h₀ Figure 2

paroi verticale de verre

film d’eau

H g

h₀ H = 10 cm

h₀

T ν g h₀ T ν = 10^–6m²⋅s^–1

h₀ = 0 5 mm,

h x t( , )

∂h

---∂t gsinα 3ν --- ∂h³

---∂x

⋅

+ = 0

τ∗

g α ν h∗

L∗ ∂u⁄∂t

t = 0

ex L ey ey

x = 0 x_av( )t

t h x t( , )

h x( >x_av) = 0 h x( <x_av) = Cx^βt^–γ

β γ C h x t( , ) x<x_av

S xOz

x_av( )t g ν α t x_av( )t t^δ δ

PHYSIQUE II Filière PC I.D.3) Le modèle adopté prévoit une discontinuité de en

. En réalité, les phénomènes de tension superficielle limitent la raideur du front avant. On admet que ces phéno- mènes sont associés à une énergie potentielle où est le coefficient de tension superficielle et l’aire de l’inter- face air-liquide. En comparant les deux formes de surface libre de la figure 3, évaluer en fonction de et puis jus- tifier le rôle modérateur de la tension superficielle.

Partie II - Etude expérimentale

On dépose à la date une goutte d’huile, milieu transparent d’indice , dont on veut mesurer la viscosité , au sommet d’un miroir plan ver- tical (figure 4a). La goutte s’étale en restant "accrochée" en et engen- dre un film dont l’épaisseur du front arrière (figure 4b) s’écrit pour un modèle invariant par translation selon :

(5) Un laser incident est dirigé sous inci-

dence quasi-normale sur un point de l’interface huile-air. La lumière réfléchie par le dispositif est ensuite récupérée par une photodiode (figure 4c). Le signal électrique délivré par la photodiode est traité puis envoyé dans un dispo- sitif de comptage. Des lentilles non représentées sur la figure permettent de focaliser le laser en puis de faire l’image de sur la cellule.

II.A - Dispositif de translation du laser

Pour régler sans changer l’angle d’incidence du laser, on intercale sur son trajet une lame à faces parallèles d’épaisseur et d’indice . Lorsqu’elle est traversée par le faisceau laser sous incidence normale, le faisceau frappe l’huile au point d’abscisse . Lorsqu’on fait tourner la lame d’un petit angle , l’abscisse du nouveau point d’impact

est (figure 5). Exprimer en fonction de , et en limitant les Figure 3

b h

c h

h h

x_av( )t

AS A>0 S

c h b

Figure 4 goutte

a ( )P

z O

t=0 x

b ( )P O

x t

z h x( _A,t) = h_A( )t x_A

( )C e c laser

lame

( )P O

cheminement du (des) rayon(s) non détaillé

A

x A t = 0

n

ν O

( )P

O h x t( , )

e_y

h x t( , ) νx ---gt

=

A

( )C

A A

O A₀ A e x

θ

laser lame

Figure 5 x_A

e n₀

A₀ x₀

θ

A x_A x_A–x₀ θ e n₀

θ ,

II.B - Éclairement reçu par la photodiode II.B.1) On observe un phéno-

mène d’interférences pour lequel la différence de marche vaut où est l’indice de l’huile et l’épaisseur du film au point à l’instant . Quelles sont les deux ondes qui interfèrent ? Justifier briève- ment que le contraste n’est pas optimum.

II.B.2) On suppose pour sim- plifier que les deux ondes qui interfèrent ont le même éclaire- ment . Établir l’expression de l’éclairement au point en fonction de , , et . II.B.3) Le laser a un temps de

cohérence . Cela

entraîne-t-il en pratique une limitation sur l’épaisseur admissible ?

II.C - Traitement électronique

La caractéristique de la photodiode est donnée sur la figure 6 pour différentes valeurs de la puissance lumineuse reçue. On réalise le montage de la figure 7 où l’amplificateur opérationnel est idéal et de gain infini.

150 200

100

50

00

-50

-100

-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5

Figure 6

i en mA

V en Volt Φ = 0

Φ = Φ₀ Φ = 2Φ₀ Φ = 3Φ₀ Φ = 4Φ₀ Φ = 5Φ₀

δ = 2nh_A( )t n h_A( )t

A t

E

E

E

h

φ

PHYSIQUE II Filière PC II.C.1)Exprimer la tension aux bornes de la diode en fonction de , et du courant qui la traverse (figure 7).

Comment faut-il choisir le signe de pour que la tension soit proportionnelle à , ce qu’on suppose dans la suite.

II.C.2) La figure 8 donne l’allure du graphe de quand la goutte s’écoule, la photodiode captant une puissance lumineuse proportionnelle à l’éclaire- ment . Commenter le comportement temporel.

On veut compter automati- quement les passages de par un niveau de réfé- rence avec une pente négative.On envoie sur le montage de la figure 9 où est

une tension de référence qui peut être ajustée par l’expérimentateur. Les ampli- ficateurs opérationnels et sont supposés idéaux, de gain infini et de tensions de saturation .

II.C.3) Déterminer et tracer l’allure de son graphe pour la valeur indiquée sur la figure 8.

II.C.4) On tient compte dans la suite de la vitesse de balayage finie de l’ mais pas de celle de l’ . Comment modifie-t-elle le graphe de ? II.C.5) Montrer que est une suite d’impulsions rectangulaires, alterna- tivement positives et négatives. Déterminer leur largeur en proposant des valeurs réalistes de et .

+

–

∞

R₂ R₁

R

V_S V

U Figure 7

φ i

V

R U i

0

Figure 8

t V_réf

V_s

U

V_s φ

V_s( )t φ

E

R –

– +

V₁ V₂ V₃

V_s

V_ref

R

( )D

Figure 9

AO1 AO2

+ V_s

dV_s⁄dt V_s

V_ref

AO1 AO2

±V_sat

V₁( )t V_ref

σ

AO1 AO2 V₁( )t

V₂( )t

τ σ V_sat

II.C.7) Dans toute la suite, on choisit le niveau de référence pour que l’ordre d’interférence correspondant aux impulsions détectées soit égal à

avec . Justifier qualitativement l’intérêt de ce choix de préférence à

ou .

II.D - Exploitation des résultats

II.D.1) Quelle est la relation liant , , , , , et le carré de l’ordre d’interférence ?

II.D.2) L’ordinateur donne un tableau des instants associés à chaque valeur de mais il ne donne pas les valeurs de . À l’instant l’ordinateur compte une frange, et à l’instant la centième frange. Montrer que l’on peut en déduire la valeur de à l’instant .

II.D.3) Pour , on obtient en moyenne . On donne

; . En déduire la valeur numérique de . II.E - Variante

Une variante de l’expérience consiste à éclairer le film d’huile sous incidence quasi-normale avec un faisceau laser élargi, couvrant toute la surface du miroir, puis à faire l’image du plan sur une pellicule photographique.

La figure 10 montre deux interférogrammes et obtenus à deux dates différentes : l’axe des , orienté de la gauche vers la droite est la verticale des- cendante.

p_k = k+3 4⁄ Ensemb

p_k = k+1 2⁄ p_k = k

ν x g t n² λ² p²

p

t_k

p_k = k+3 4⁄ k t₁

t₂

k t₁

x = 10 mm p_k²t_k = 1 17, ×10⁶ s

λ = 638 nm n = 1 40, ν

( )P

( )A ( )B x

Figure 10 (B)

(A)

e_x e_y

e_x e_y

PHYSIQUE II Filière PC II.E.1) Comment réaliser un élargisseur augmentant l’aire de la section droite du faisceau d’un facteur ? On dispose de lentilles convergentes de focales

, et .

II.E.2) Comment faut-il choisir le temps de pose pour observer effectivement les franges d’interférences attendues ?

II.E.3) Vérifier que l’expression théorique (6) donnant est compatible qualitativement avec l’interférogramme au voisinage du plan (plan médiateur de la goutte) dans le domaine des abscisses où les franges sont qua- siment parallèles à . Indiquer quel interférogramme est antérieur à l’autre.

II.E.4) Soient deux franges brillantes successives dans le plan suffisam- ment proches. Montrer que l’écart entre leurs abcisses est inverse- ment proportionnel à la pente du profil au voisinage. Déduire de l’interférogramme l’allure du profil réel de la goutte. Même ques- tion pour le profil réel pour fixé.

Partie III - Éruption d’un volcan

On s’intéresse ici à un modèle de l’éruption du volcan de la Soufrière de Saint-

Vincent en 1979. Le 13 avril 1979 le volcan entre brutalement en éruption, jusqu’au 26 avril. À partir de ce moment, un dôme de lave ayant la symétrie de révolution autour de la verticale est lentement extrudé au niveau du fond du cratère (figure 11). Pendant les 5 mois d’existence de ce dôme de lave, une équipe de chercheurs a effectué des mesures précises de sa hauteur maximale et

100 f'₁ = 1 mm f'₂ = 1 cm f'₃ = 10 cm

h x t( , )

( )B y = 0

x e_y

y = 0 x_p+1–x_p

dh dx⁄

( )B h x y( , =0) h x y( , ) x

z P₀

h r( ) h₀

magmar g

R r Figure 11

h₀( )t

de son rayon . On a représenté sur les figures 12a et 12b les graphes de et en échelle , avec et en mètres et en secondes.

III.A - Justifier que l’on peut écrire à partir de ces graphes les deux lois suivantes :

et (6)

et donner les valeurs expérimentales de , , et .

III.B - Pour interpréter ce comportement, on suppose que les termes visqueux dominent les termes inertiels dans l’équation (1) et on utilise des arguments d’analyse dimensionnelle pour relier les paramètres du problème. L’écoulement est supposé quasi-radial et on note l’ordre de grandeur de la vitesse. Par exemple, on écrit le volume du dôme : pour exprimer en ordre de gran- deur le volume à un coefficient numérique près que l’on suppose voisin de . III.B.1) Montrer que la pression au sein du dôme est de la forme

. En déduire en ordre de grandeur l’expression de la composante horizontale de la résultante des forces de pression sur une particule de fluide de volume en fonction de , , , et .

III.B.2) Exprimer de la même façon en ordre de grandeur la force de viscosité sur une particule de fluide de volume en fonction de , , et .

III.B.3) En déduire que, en ordre de grandeur :

(7)

R t( ) R t( )

h₀( )t log log– R h₀ t

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

10⁶ 2.10⁶ 3.10⁶ 5.10⁶ 8.10⁶10⁷ R

t

50 60 70

10⁶ 2.10⁶ 3.10⁶ 5.10⁶ 8.10⁶10⁷ h0

t

Figure 12 a Figure 12 b

(échelles log-log)

R t( ) = at^p h₀( )t = bt^q

p q a b

U

V = h₀R²

1

p r z( , ) = p₀+ρg h r( ( )–z)

dτ ρ g h₀ R dτ

dτ U η h₀ dτ

R h₀³ ---dR

---dt g ---ν

=

PHYSIQUE II Filière PC III.B.4) Vérifier la cohérence avec la mesure des exposants et et calculer un ordre de grandeur de la viscosité cinématique de la lave. Comparer avec les ordres de grandeurs usuels et commenter.

III.C - Le dôme est alimenté par un puits cylin- drique de rayon (figure 13) et d’axe où est la verticale descendante.

Dans un modèle simple où la température est uniforme dans l’écoulement et où la masse volu- mique des roches qui entourent le puits est uni- forme et égale à , le débit volumique vaut en ordre de grandeur :

(8) III.C.1) Vérifier la pertinence de la relation (8)

par analyse dimensionnelle. Indiquer qualitativement ce qui fait monter la lave et interpréter le rôle de dans l’expression de .

III.C.2) Montrer que les expériences conduisent à un débit volumique

et déterminer . Interpréter le signe de à l’aide de la relation (8) en examinant intuitivement l’évolution dans le temps des paramètres , , et de l’écou- lement dans le puits.

••• FIN •••

p q

ν

roches

ρ_s roches

ρ_s

réservoir de magma ρ

h₀ z

dôme R

Figure 13

(échelle non respectée) r

r Oz Oz

T

ρ_s D_V (ρ_s–ρ)gr⁴

---η

=

ρ_s–ρ D_V

D_V = γt^s

s s

T ρ η r