Magnétoavalanche dans le germanium dopé à l'arsenic à 4,2°K

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Submitted on 1 Jan 1967

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Magnétoavalanche dans le germanium dopé à l’arsenic à 4,2°K

Jean François Le Hir

To cite this version:

Jean François Le Hir. Magnétoavalanche dans le germanium dopé à l’arsenic à 4,2°K. Journal de

Physique, 1967, 28 (11-12), pp.907-918. �10.1051/jphys:019670028011-12090700�. �jpa-00206602�

MAGNÉTOAVALANCHE DANS

LE

GERMANIUM DOPÉ

^A

^L’ARSENIC

^A

4,2

^°K

Par

JEAN FRANÇOIS

^LE

HIR,

Centre National d’Étude des Télécommunications.

Résumé. 2014 Nous avons étudié, ^à 4,2 °K, l’influence d’un

champ magnétique

transversal et

longitudinal,

d’une intensité maximale de 6 160 G, ^{sur le}

champ électrique

d’avalanche dans le

germanium dopé

^à l’arsenic. Les échantillons étudiés

présentent

^une concentration des

impuretés,

^{ND - NA,} variable de 6 x 1013 cm-3 à 1,25 ^{x 1017} cm-3, leur

compensation

^est

comprise

^entre 0,01 ^et 0,4. ^Nous

interprétons

les résultats à l’aide d’un modèle à deux

porteurs :

conduction par

impuretés

^et conduction par électrons dans les

quatre

^vallées

[111] ;

^{à l’éta-}

blissement de l’avalanche nous supposons la

population électronique

caractérisée par ^une

température électronique.

Abstract. ²⁰¹⁴ We have studied the breakdown electrical field at 4.2 °K in

As-doped

germa- nium as a function of transversal and

longitudinal magnetic

^field

intensity,

^{of a maximum}

value of 6 160 G. The

samples

^{have an}

impurity

concentration from 6 x 1013 cm-3 to 1.25 1017 cm-3 and their

compensation

is between 0.01 and 0.4. We

explain

^the

expérimental

results

by assuming

that the carrier

transport

^{is the}

superimposition

^of

impurity

^conduction

and free electron conduction in the four

anisotropic [111] valleys ;

furthermore we

postulate

that at the onset of breakdown the free electron

population

is characterized

by

^{an electron}

temperature.

I.

Introduction.

^-

L’avalanche,

accroissement extremement

rapide

^{du courant} pour ^une valeur cri-

tique

^du

champ 6lectrique,

^{est un}

phénomène

^tres

connu dans le

germanium

^{aux basses}

temperatures;

on 1’attribue a la

multiplication

^des

porteurs

^de

charge

due a 1’ionisation par chocs des

impuretés

^neutres.

D’apr6s quelques expériences

ant6rieures aux n6- tres

[1]

^a

[6],

nous savons que la

presence

^d’un

champ magn6tique

transversal a pour effet d’accroitre le

champ 6lectrique d’avalanche,

^{mais il}

n’existe,

^{a notre}

connaissance,

^{aucune 6tude}

syst6matique

^{de cette}

influence sur une s6rie d’échantillons en

germanium

dont la concentration en

impuret6s

^{varie de}

quel-

que 1013 cm-3

jusqu’à

^une concentration correspon- dant a la

disparition

^de

1’energie

d’ionisation de

l’impureté,

^{donc du}

phénomène

d’avalanche. Nous

avons

entrepris

^une telle 6tude ^sur 17 6chantillons en

germanium dope

^a 1’arsenic situ6s dans la gamme de concentrations ci-dessus

indiqu6e.

^Au

pr6alable,

^nous

avons mesure le coefficient de Hall en fonction de la

température [7]

^{et étudié la} conductivité à

4,2

^{OK en}

fonction du

champ 6lectrique [8].

^{Les resultats de ces}

mesures nous ont

permis :

a)

de determiner

1’energie

d’ionisation de l’arsenic dans le

germanium,

la concentration des donneurs

ND,

celle des

accepteurs NA (nous appelons compensation

le

rapport

^{K =}

NA/ND)

^et la mobilite en fonction de la

temperature ;

b)

^{de montrer}

qu’a

^la

temperature 4,2

^{°K la}

conductivité _par

impuretés Oi

masque

compl6tement

^la

conductivite _ao due aux electrons libres et

qu’elle

^reste

dominante

jusque

peu ^avant l’établissement de 1’ava- lanche

[8].

Le tableau I donne les

param6tres

caract6risant les

echantillons ;

^{nous avons}

d6jA

decrit leur

preparation

et leur forme en «

pont » [7] ; rappelons qu’ils

^ont

tous la meme orientation

cristallographique :

^{ils sont}

d6coup6s

^{dans le}

plan (111)

^{et leur}

longueur

^est

parallèle à

^1’axe

[110].

Nous 6tudions la

magn6to-

avalanche pour deux orientations

particulières

^du

champ magn6tique :

^cas transversal :

champ magn6- tique parallèle

^a

[111],

^cas

longitudinal : champ magn6tique parallele

^a

[110] ;

dans les deux _cas, le

courant est

parallele

^a

[110].

Au

chapitre II,

^nous donnons les resultats

exp6ri-

mentaux,

puis

^au

chapitre

^{III une}

interpretation

^de

ces résultats bas6e sur un modèle à deux

types

^de

porteurs :

a)

electrons de la bande de conduction pour les-

quels

^nous supposons, ^a 1’etablissement de

1’avalanche,

une fonction de distribution en

6nergie qui

^{est maxwel-}

lienne et caract6ris6e par ^une

temperature

^6lectro-

nique ;

^de

plus,

^{nous admettons un}

temps

^{de relaxa-}

tion,

T,

isotrope

determine par collision des electrons

avec les

phonons acoustiques

^{et les}

impuretés ionisees;

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:019670028011-12090700

TABLEAU I

nous calculons la densite de courant pour le modele

anisotrope

^du

germanium;

b)

conduction par ^{sauts ou} par bande

d’impuret6s

pour

laquelle

^il

n’y

^{a ni}

magnétorésistance

^{ni effet}

Hall.

II. Rdsultats

expdrimentaux.

^{- II.1. DETERMINA-}

TION DU CHAMP D’AVALANCHE. ^- Pour

chaque

^échan-

tillon,

^on

relève,

^a

4,2 OK,

le reseau des caract6ris-

tiques

^V

= f (I, H

⁼

Cte),

^{tension en} fonction du

courant en

presence

^d’un

champ magn6tique

^d’inten-

site constante

( fig. 1),

^les

paliers

horizontaux des courbes determinent avec

precision

les tensions d’ava- lanche ^tant que la concentration des

impuret6s

^est

inferieure a

2,5

^{X 1016} cm-3. Au-dessus de ^cette

valeur,

^V

= f (I ) pr6sente

^une

16g6re pente

^en

regime d’avalanche,

celui-ci s’établit _pour une tension

qui peut

^{alors se} définir par l’intersection des

tangentes

FIG. 1. ^- Z 170 : Difference de

potentiel

^entre deux sondes lat6rales en fonction du courant pour differentes valeurs de 1’intensite du

champ magn6tique

(mesures

^{en courant}

continu).

FIG. 2. ^- Z 58 b : Difference de

potentiel

^entre deux sondes lat6rales ^en fonction du courant

(mesures

^en

impulsions :

^{5 X 10-6}

s).

aux deux

parties

^{de la courbe}

(en

coordonn6es lineai-

res) correspondant

^aux

regimes

^de

pr6avalanche

^et

d’avalanche;

^la

premiere

^{de ces} tangentes ^{se confond}

sans erreur

appreciable

^avec 1’axe des tensions

(voir fig. 2).

On

peut

^aussi définir la tension d’avalanche _par l’intersection de I =

Io

^avec les courbes

la valeur de

Io

6tant telle _que le

regime

d’avalanche soit établi _pour toute intensite du

champ magn6tique.

Cette determination donne une valeur de la tension d’avalanche

16g6rement supérieure

^a celle d6finie

pr6-

c6demment

lorsque ND

>

2,5

^{X 1016 cm-3}

(N

²

%).

La forme « en

pont »

de l’échantillon permet ^de 1’alimenter _par ses deux extrémités et de mesurer la tension aux bornes de deux sondes laterales

[7].

^Les

mesures se font en courant continu tant que la

puis-

sance

dissip6e

dans 1’6chantillon ne

risque

pas d’élever

sa

temperature

^de

reseau;

au-dela de cette

puissance,

on

emploie

^{une m6thode en}

impulsions.

Afin de rendre les conditions de refroidissement

optimales,

l’échantillon trempe dans l’hélium

liquide

contenu dans un cryostat

classique

^dont la queue

p6n6tre

dans 1’entrefer d’un électro-aimant pouvant

engendrer

^un

champ magn6tique

^variable d’une inten- site maximale de 6 160 G. L’orientation de 1’echantil- lon dans le

champ magn6tique

^s’obtient par rotation de son

support.

^Une

enveloppe

^{en cuivre a}

4,2

^°K

intercepte

^tout rayonnement.

Nous

appelons respectivement Ea

^et

E,

^les

champs 6lectriques

d’avalanche en l’absence et en

presence

^du

champ magn6tique.

Le

champ

d’avalanche

EH depend

considérablement de

l’angle

^{a entre les} vecteurs courant et

champ magn6tique,

^ce que ^{montre la}

figure

^{3 ou nous}

indiquons

les directions cardinales du

champ magn6-

FIG. 3. ^- K 1049 : H = 5 000 G,

1//[110].

o

Champ

d’avalanche a 4,2 oK,

Ea

⁼

f (oc)

.

Magnétorésistance

^{a 77 OK,}

Ap

=

f(a).

P

tique. ^EH = f (oc)

^{est une} fonction de

période 7t pr6-

sentant un maximum pour ^{rx ==}

7t/2 (cas transversal)

et un minimum _pour a ⁼ 0

(cas longitudinal).

^Pour

ces deux valeurs

particulières

^{de a, nous} etablissons pour

chaque

6chantillon un reseau de courbes V

= f (I, H

⁼

Cte),

^{d’ou nous obtenons}

EH = f(H) .

Sur la

figure 3,

^nous

repr6sentons

pour le meme 6chantillon la

magnétorésistance

^{a 77 OK}

(elle

^n’est

pas mesurable a

4,2 OK)

^en fonction de a.

La courbe

Ap/p == f(rx) pr6sente

^{la meme}

p6riodi-

cite que la fonction

pr6c6dente. L’anisotropie

^du

germanium explique

que

Ap/p

^{ne soit pas nul pour}

« ⁼ 0. Les maxima de

Ap/p,

^{au lieu de se}

produire

pour ^{« _}

7tf2,

^comme cela serait le cas pour ^un semiconducteur

isotrope,

^se

produisent

^{en fait a 600}

et 1200. Bien _que la

magnétorésistance

n’ait pas 6t6

6tudi6e,

^{a notre}

connaissance,

^en fonction de a dans le cas

particulier

^{d’une rotation du}

champ magn6-

tique

^{autour de}

[112]

^et que ^{nous ne}

1’ayions

pas calcul6e en fonction

de a,

^nous pensons que la

position

des maxima

provient

^de

1’anisotropie

^{de la structure}

de bande du

germanium.

Pour d’autres orientations relatives des axes

cristallographiques,

^du courant et du

champ magnétique, dp/p

^a 6t6 6tudi6 en fonction de (x

et on pourra consulter les references donn6es par Glicksman

[9].

FIG. 4. ^-

EH

⁼

f(H)

^a 4,2 °K,

champ

d’avalanche en

fonction du

champ magn6tique.

II . 2. RESULTATS EXPERIMENTAUX. ^- Nous donnons les resultats

exp6rimentaux, EH = f(H),

^{sur les fi-}

gures

4, 5

^{et 6.}

FIG. 5. ^- EH ⁼

f(H)

^{à 4,2 °K,}

champ

d’avalanche en

fonction du

champ magn6tique.

. H .L I...,

o H II I.

Pour des 6chantillons _peu

dopes (ND

^{4 X}

1013

cm-3)

^et pour ^une intensit6 du

champ magn6- tique

inferieure a environ 140

G, Koenig et

^al.

[4]

^ont

montre que

EH

^{est une fonction}

quadratique

^de

^{H ;}

de

plus,

1’accroissement de

E,

^{est le}

meme,

que le

champ magn6tique

^soit transversal ou

longitudinal.

FIG. 6. ^- EH ⁼

f (H)

^{a 4,2 °K,}

champ

d’avalanche en

fonction du

champ magn6tique.

. H .1 I.

o H /I I.

Au-dessous de 125

G,

^{nous n’avons} pas de resultats pour vérifier la loi

parabolique

^sur les 6chantillons les moins

dopes (Z

^{176 a Z}

78);

par contre, ^cette

region parabolique

^{s’6tend vers des}

champs magn6tiques

^de

l’ordre de 500 a 750 G pour les 6chantillons les

plus dopes (Z

^{83 a Z 58}

b).

Nous observons a 125 G que le

champ

d’avalanche dans le cas transversal est

sup6-

rieur,

pour ^tous les

6chantillons,

^{a celui} que ^nous obtenons dans le cas

longitudinal.

Dans le cas

transversal,

^au dehors de la

region pr6c6dente,

^la

pente

^de

EH = f (H)

^d6croit

lorsque

^le

champ magn6tique croit,

^{les derniers}

points

^relevés

pour 6 160 gauss semblent

indiquer

^{une tendance à}

la saturation. L’allure de

EH = f (H)

est sensiblement celle de deux droites ^se raccordant a une abscisse croissant ^avec la concentration des

impuret6s

^et

comprise

^{entre 2 000 et 3 000}

G; l’observation

^{de ces}

deux droites est en accord avec les résultats de Sclar et

Burstein sur du

germanium

^contenant de 1’indium

[2]

et ceux de

Zavaritskaya

^{sur du}

germanium dope

^au

bismuth

[5].

Pour des concentrations

ND - NA

^{6 X 1015 CM}

(Z

⁸⁰

a),

1’accroissement ð.E ⁼

(EH

^-

Ea)

pour H ⁼ 6 160 _gauss est

compris

^{entre 17 et 23 V . cm-1.}

Pour des concentrations

plus 6lev6es,

^{DE d6croit}

rapi-

dement

lorsque

la concentration

augmente

^{et s’annule} pour 1’echantillon K 1062 a

(ND - NA

⁼

1,25

^X

1017

cm-3).

C’est ainsi que ^sur 1’echantillon Z 58 b

(ND - NA

⁼

3,3

^{X 1016}

cm-3), AEIE.

^{pour les}

champs magn6tiques

inferieurs a 3 000 _gauss est du

Temp6rature ^4,2

^°K.

meme ordre de

grandeur

que 1’erreur relative ^sur la

mesure de

EH (1 %).

Sur 1’echantillon Z 80

b,

^dont

le

dopage

^est interm6diaire entre les deux

precedents (ND - NA

⁼

5,3

^{X 1016}

cm-3),

l’influence du

champ magn6tique

^{est a}

peine perceptible

^sur

l’oscilloscope : (AE/E.)6160 G

^10-2.

Dans le cas

longitudinal,

l’influence du

champ

^ma-

gn6tique

^se caractérise _par une action

plus

bien faible

sur le

champ

d’avalanche _que dans le ^cas

precedent

et par ^une saturation tres

rapide

^de

EH = f (H),

^a

1’exception

des trois échantillons : Z

176,

^{Z 170 et}

Z 83. Le montage

experimental

^est tel que ^H et I sont dans le

plan

^de

1’echantillon; neanmoins,

^nous

n’excluons pas ^une

16g6re

desorientation des direc- tions H et I dans ce

plan,

^ceci

expliquerait

^le compor- tement des trois echantillons

precites,

^{car :}

L’interpretation

des resultats

experimentaux

^nous

am6ne a les

representer

^{sous la forme :}

que ^nous

appelons rapport

^de

magnétoavalanche.

III.

Interprdtation

des r6sultats de la

magndto-

avalanche. ^- III.1. CONSIDERATIONS GENERALES. ^-

Rappelons d’abord, d’apr6s

le mod6le de Price

[4],

que l’avalanche s’établit

lorsque :

ou

AI,

^{le taux de}

generation

par chocs des electrons

sur les

impuret6s

neutres,

depend

^{de la} fonction de distribution en

6nergie f (e)

^des

electrons ; BT,

^{taux de}

recombinaison

thermique,

^est fonction de la

temp6-

rature de reseau T et

def (e).

Pour une valeur du

champ 6lectrique

^au

voisinage

de

Ea,

^{les electrons ont une certaine} fonction de

distribution;

^les

plus 6nerg6tiques

^ionisent par chocs les donneurs neutres. Le taux de

generation AI

^est

assez

grand

^{et le taux} de recombinaison

BT faible;

une

augmentation

^tres

petite

^du

champ 6lectrique

d6clenche le m6canisme de l’avalanche.

En

presence

^d’un

champ magn6tique,

pour la valeur

pr6c6dente, Ea,

^du

champ 6lectrique,

les electrons ont une

6nergie plus faible,

les conditions de 1’6tablisse-

ment de l’avalanche ne sont

plus satisfaites ;

pour les

r6aliser,

il faudra un

champ 6lectrique

^nettement

sup6rieur

^a

Ea.

Nous faisons

l’hypothèse

que

AI

^et

BT

^ne

dependent

pas de

H,

^mais essentiellement de la distribution en

6nergie

^des

electrons ;

^ceci

est justifie

par les conside- rations

ci-après.

^La

probabilite AI

pour

qu’un

^electron

ionise un donneur neutre par choc ne

depend

^{pas du}

fait que la

trajectoire

^{soit iricurv6e ou non;}

quant

^a

BT,

il ne

depend

pas de H tant que la courbure de la

trajectoire

^{reste faible. On est} donc conduit _{a supposer} que la fonction de distribution

f(e) (maxwellienne

^ou

non)

^{est la meme a} 1’etablissement de

l’avalanche,

^en

presence

^{ou en} I’absence du

champ magn6tique.

Appelons

^la perte moyenne

d’6nergie

subie par unite de

temps

par ^un electron au cours des collisions et le taux moyen d’accroissement de

1’6nergie

de l’électron dans le

champ 6lectrique

^E.

Nous _pouvons écrire

1’6quation

de conservation de

1’energie :

le

premier

^{terme ne}

depend

que de la fonction de distribution et ne

depend

pas directement du

champ magn6tique,

^{car, en}

supposant

que les chocs 6lectrons-

phonons dominent,

^le

temps

^de libre parcours moyen d’un electron diffuse _par les

phonons

^{n’est pas affect6}

par la courbure de la

trajectoire.

^Par

suite,

^{a 1’ava-}

lanche,

c’est-a-dire _pour une fonction de distribution

donnée f(e),

le deuxi6me terme est lui-meme

ind6pen-

dant de

H;

^{or ce terme} peut ^{s’6crire :}

Ceci montre que la

puissance Joule

^{c6d6e a un}

electron de la bande de conduction _par le

champ 6lectrique,

^a 1’etablissement de

I’avalanche,

^{est ind6-}

pendante

de l’intensit6 du

champ magn6tique.

Les considerations

pr6c6dentes permettent

^{de d6ter-} miner comment varie le

champ

d’avalanche en fonc- tion du

champ magnetique; cependant,

^{les calculs ne}

sont

praticables

que si la fonction de distribution est

simple.

Bien que ceci constitue ^une

approximation

^assez

grossi6re,

^nous supposons a 1’etablissement de 1’ava- lanche une fonction de distribution maxwellienne caract6ris6e _par une

temperature 6lectronique Te supérieure

^a celle du reseau et

ind6pendante

^de

l’intensit6 du

champ magn6tique.

^Cette

approximation

est

justifi6e lorsque

^{les chocs}

interélectroniques

^sont

preponderants;

^{ceci a}

lieu,

^en

appliquant

le calcul de Fr6hlich et

Paranjape [10]

^{a un} 6chantillon _peu

dope (ND

^{1 X 1014}

cm-3)

^{a la}

temperature

^{de reseau}

4,2 OK,

pour ^une densit6

6lectronique supérieure

a 101° cm-3. Nous avons vu

[8] qu’a

^{cause de la}

presence

de la conduction _par

impuret6s

^{nous n’avons}

pas pu determiner exactement la densite des electrons libres a 1’etablissement de

l’avalanche,

^{aussi la notion}

de

temperature 6lectronique

^n’est

peut-etre

pas

justi-

fi6e.

N6anmoins,

remarquons

qu’a

l’avalanche on

peut

estimer que dans la

plupart

^{de nos} 6chantillons

co ,r > > 1; d’apr6s

^Budd

[11],

^la

partie isotrope

de f(E)

serait alors maxwellienne.

L’6quation

^{du bilan}

d’énergie,

^{en ne} consid6rant

I ,

dans le terme que les chocs 6lectrons-

phonons, permet

^{d’6valuer la}

temperature

^6lectro-

nique [12], [13];

^{nous trouvons}

Te N 85 °K

pour

un 6chantillon _peu

dope.

^On peut aussi supposer

qu’a

I’avalanche

1’energie

moyenne des electrons est

6gale

a

1’energie

d’ionisation de

l’impureté : E > ~

el;

cette

hypothese

^{conduit a une}

temperature

^6lectro-

nique

de l’ordre de 100 OK.

Nous allons maintenant calculer la densite de cou-

rant j

^{dans le cas du mod6le}

anisotrope

^du

germanium

a la

temperature

^{de reseau}

T ; puisqu’h

l’établissement de l’avalanche nous supposons que la fonction de distribution en

6nergie

des electrons est

maxwellienne,

nous pourrons

extrapoler

le r6sultat de ce calcul a la

temperature 6lectronique Te. L’6quation (3)

^nous

permettra

de calculer le rapport ^de

magnétoavalanche

que ^nous comparerons ^aux resultats

exp6rimentaux E,IE.;

^{nous tiendrons}

compte

^{de la}

presence

^{de la}

conductivite par

impuret6s,

cri,

qui,

^{nous 1’avons vu}

[8],

reste

supérieure

^{a la} conductivite par electrons de la bande de conduction

jusqu’a

1’etablissement de

l’avalanche;

^de

plus,

^nous supposerons

qu’il n’y

^{a ni}

magnétorésistance

ni effet Hall sur la conduction _par

impuret6s.

III.2. CALCUL DU COURANT DANS LE GERMANIUM DE TYPE n EN PRESENCE D’UN CHAMP

MAGNETIQ,UE.

^-

La bande de conduction du

germanium pr6sente

quatre ^minima

d’6nergie

^{situ6s au} bord de la

premiere

zone de Brillouin dans les directions

[111].

^{Au voisi-}

nage de ces

minima, quatre

^familles

d’ellipsoides

^de

revolution autour des axes

[111]

constituent les sur-

faces

d’énergie

constante. Nous calculons la densite de

courant j

^{dans le}

germanium

^de

type

^{n en}

presence

d’un

champ magn6tique

^H d’une intensite telle _que

nous ne pouvons pas faire

1’approximation

^{or 1.}

Nous traitons le

probl6me

^{avec les}

hypotheses

^sui-

vantes :

1)

la fonction de distribution en

6nergie

^{des elec-}

trons est une fonction de

Maxwell-Boltzmann, 2)

^on suppose

qu’on puisse

^{d6finir un} temps ^de relaxation r de

façon

^a

pouvoir

^r6soudre

1’6quation

de transport ^de

Boltzmann,

3)

les chocs sont

élastiques

^et redistribuent les vitesses au

hasard,

4)

^le temps de relaxation T(g) ^est

isotrope,

5) 1’6nergie e

^{d’un 6tat}

6lectronique

^{de vecteur}

d’onde k appartenant ^{a la vall6e v s’6crit :}

ou h est la constante de

Planck,

mo la ^masse de 1’elec-

tron libre et

aw

^{un tenseur} reduit des masses effectives

qui s’ecrit :

si on le rapporte ^{aux axes}

principaux

^de

1’ellipsoide.

Dans le cas du

germanium,

^{on pose :}

masse

longitudinale

masse transversale

et

Avec ces

hypotheses, Paige [14]

^{a trait6 le}

probl6me

et trouve

(1),

^pour la densite de courant dans la vallee v :

Au d6nominateur

figure

^la

pulsation

de resonance

cyclotron correspondant

^{a cette vallée :}

Nous continuons le calcul en sommant la contribu- tion des quatre

vallees;

^{on obtient une}

expression

^dans

laquelle

^{il nous faut}

expliciter

^{le temps de} relaxation.

La diffusion _par les

phonons acoustiques

^{et les}

impu-

ret6s ionis6es donne

respectivement :

oii a et b sont des constantes et T la

temperature

^de

réseau. La

presence

simultan6e de ces deux

types

^de

diffusion,

^en

n6gligeant

tout autre m6canisme

(pho-

nons

optiques, impuretés

^neutres,

dislocations)

^{et en}

posant : x =

efkT,

^{conduit a :}

avec

ou k est la constante de

Boltzmann,

u0I la

mobilite due

uniquement

^{a la diffusion par}

les

impuret6s

^{ionis6es et pour H =}

^0,

P- 0la r

la mobilite totale du

germanium (contribution

des quatre

vallees)

^{dans le cas ou H = 0 et en}

1’absence de diffusion par les

impuretes

^ionis6es.

(1) Signalons

^{une erreur dans}

l’équation

donn6e par

Paige (r6f. [14],

p.

24),

le tenseur

£v

^{se trouve devant la}

barre de fraction et non devant le

premier

^{terme du}

num6rateur.

Le calcul donne :

Des

int6grales

^de

transport I(p, Yv)

^et

J(p, Yv)

^s’in-

troduisent dans la suite du

calcul;

^{elles se} définissent par :

ou yv ^se

rapportant

^{a la vall6e v}

depend

^de wv, ^et par suite de H :

En I’absence du

champ magn6tique, lorsque

^la

diffusion par les

impuret6s

ionis6es n’est _pas

n6gli- geable,

la mobilite

peut

^{s’6crire :}

Aux basses

temperatures

^et pour des

champs magn6- tiques d6passant quelques

centaines de _gauss dans le

germanium

^de

type

n, a faible teneur

d’impuret6s,

cwT ^est

sup6rieur

^a

^1;

les niveaux de Landau sont donc distincts

[15]. N6anmoins,

^tant que

Ato, est n6gligeable

devant

kT,

les densités d’6tats des diff6rentes vallees

sont sensiblement les _{memes que} pour ^{H =} 0. Dans

ces

conditions,

^{nous admettons} que les

quatre

^vallees

ont la meme

population : nv

⁼

n/4,

^{le calcul devient}

plus simple.

^En orientant 1’axe

g6om6trique

^{ox dans}

la direction de

[110]

^{et oz} dans celle de

[111],

^le

r6sultat du calcul

applique

^{aux deux cas}

particuliers

de nos 6chantillons donne :

a)

Cas transversal : H

parallele

^a

[111], j parallele

a

[110] :

où Ex

^{est le}

champ 6lectrique

suivant ox. La conductivite 6 et le terme A

s’expriment

respec- tivement :

en posant :

La

pulsation

de resonance

cyclotron

^{relative a la}

vall6e

[111]

^{est :}

avec

et celle concernant les autres vallées

qui

^sont

6qui-

valentes :

b)

^Cas

longitudinal : j

^{et H}

parall6les

^a

[110] :

et en

posant :

Pour les vallées

[111]

^et

[111],

nous avons :

et pour les vallées

[111]

^et

[111] :

III .3. ANALYSE ^{DE LA} MAGNETOAVALANCHE TRANS- VERSALE. ^-

L’équation (15)

donne la densite de courant a la

temperature 6lectronique Te

^{a condition}

de calculer les diff6rents termes a cette

temperature.

Dans cette

expression,

^{6 est} maintenant la somme de la conductivite _par

impuret6s

^et de la conductivite par electrons de la bande de

conduction,

^{(J =}

(ai + 6a) .

La

puissance Joule dissip6e

par ^un electron libre

est :

D’apr6s (3),

^{nous pouvons} écrire que ^cette

puissance

est constante :

où ag

^{est la} conductivite des electrons libres _pour H= 0.

Le

rapport

^de

magnétoavalanche transversale y

^se

d6duit de

(30) ;

^en

posant

^{a =}

ai/ao’

^{on a :}

En attribuant A K la valeur

20,

^{on a :}

A la

température

de reseau

T, 1’expression (9)

donne la valeur de

P.

^{En admettant}

qu’a

^la

temp6ra-

ture

6lectronique Te

les mobilites sont :

on obtient :

Nous

calculons

^a l’aide de la formule de Brooks-

Herring [16]

^et attribuons

A [LO r

la valeur d6termin’e

expérimentalement [7],

^soit

Or

^{= 3 X} 106 cm2. V-1. s-1 a

r=4,2oK.

Les valeurs de _y, et y2 ^se calculent a I’aide des

expressions (13), (20)

^et

(22)

^{ou l’on substitue}

(J.( T / Te)1/2

^a

tiO

^{; on trouve :}

où H est en

kilogauss.

Whitesell

et Johnson [17]

^ont tabul6 les

int6grales

^I

et J

^en fonction des

paramètres

^et y variant respec- tivement de 0 a 24 et de 0 a

4.

^Nous

poursuivons

^leur

calcul _pour les memes valeurs

de P etjusque

y ⁼

400;

au-dessus de cette valeur de y, ^nous obtenons I

et J

par

extrapolation

des courbes

I = f(y) et J = f(y) .

Nous consid6rons trois cas suivant la valeur du

rapport

^{oc a} 1’etablissement de l’avalanche.

ler cas : ai « Op. ^- Dans ce cas, ^{a est} tres

petit

^et

le

courant transporté

par les electrons de conduction est

parallele

^{a ox;}

1’expression (31)

s’6crit alors :

et y2

^devient

6gal

^au

rapport

^de

magnétorésistance :

Dans le cas limite

où B ~

^{0 et} Y2 tr6s

grand (H

^tr6s

)

grand), 1’expression (42)

^{devient :}

Si dans cette

expression

^nous faisons K ⁼ 1

(sur-

face

d’énergie

^constante

sph6rique),

^{nous trouvons :}

magnétorésistance

transversale d’un

semiconducteur,

dont le temps de relaxation est

ael’2,

pour ^un

champ magn6tique

^tr6s

grand.

L’expression (44)

^donne

y2

⁼

2,35 pour K

^{= 20.}

A la

temperature

de reseau

4,2 OK, 1’hypothese

a 1 conduit a une saturation tr6s

rapide

^de

y

= f(H),

^ce

qui

^{est en d6saccord avec} les observa- tions

expérimentales.

^{Sur la}

figure 9,

^{nous donnons}

le r6sultat du calcul relatif a 1’6chantillon Z 83 en

supposant Te

^{= 100}

^OK;

les valeurs à saturation

sont tr6s _peu différentes _pour les 6chantillons Z 176

et Z 58 a.

2e cas : (j » a,. ^- En

supposant qu’à

l’instant ou l’avalanche

démarre (j

^{reste encore tres}

grand

^devant

aQ,

alors,

meme pour des valeurs faibles du

champ magnétique,

^{le courant du aux} electrons libres est

parallele

^au

champ

^de

^Hall;

^le

rapport

^de

magn6to- avalanche y

^est different de

(pa/p)1/2 et ^s’6crit,

^d’a-

pr6s (31) :

Au-dela de 500 _gauss, le reseau de courbes établi a 1’aide de cette

expression

^{est un} faisceau de droites

( fig. 8),

^la

pente

de celles-ci croit

quand

^{la concen-}

tration

des

impuret6s

^diminue.

Qualitativement,

^1’al-

lure des

courbes y

⁼

f(H)

^{et le sens} de variation de leur pente ^en fonction de la concentration des

impu-

ret6s sont en accord avec

Inexperience jusqu’A

^{la valeur}

de H pour

laquelle

les courbes

expérimentales pr6-

sentent un coude. La

pente

^calcul6e

dy/dH

^{est une}

fonction d6croissante de la

temperature 6lectronique ( fig. 8); n6anmoins, quelle

que soit la valeur donn6e à celle-ci dans le calcul de _y,

dy/dH

^reste

sup6rieur

^{a la}

valeur

observ6e,

^et ceci d’autant

plus qu’il s’agit

^d’un

6chantillon

plus dope.

Le

paramètre

^{a 100 oK est} sensiblement le meme

(p N 0)

pour les échantillons Z 176 à K

1036,

^aussi

FIG. 8. _{- y} ⁼

f(H) .

sont-ils

représentés

par la meme courbe calcul6e y

=f(H). Remarquons

que les courbes

exp6rimen-

tales

correspondant

^{a cette} s6rie d’échantillons diffè-

rent

6galement

^tres peu d’un 6chantillon a 1’autre pour

H

^{2 000} gauss.

Notons,

^de

plus,

que dans

ce domaine de concentrations le

champ

d’avalanche

est sensiblement constant en l’absence du

champ magn6tique : Ea

^{== 6 V . cm-1.}

En

prenant

^une

temperature 6lectronique

^{de l’ordre}

de 100

°K,

^{le calcul}

de y

^semble

indiquer

que

I(p, Y2)

est

trop

^faible.

Or,

^{a un} coefficient

pr6s, I(PI y2) represente

la contribution

principale

^à

cette moyenne vient

des

electrons de faible

6nergle,

si ceux-ci sont

plus

nombreux que la distribution ^a la

I I

temperature 6lectronique T,

^{ne le}

prevoit, ⁽

est

major6. L’approximation

^{faite en utilisant une}

fonction de distribution de Maxwell-Boltzmann sem-

ble trop

grossi6re.

Le calcul

precedent

^ne

justifie

pas le

changement

de pente ^assez

rapide

survenant entre 2 000 et 3 000 G

sur les courbes de la

figure

^{7. Nous ne} pouvons pas attribuer ce coude a

l’apparition

^des

ph6nom6nes quantiques,

^{car si}

w r >

^{est bien}

sup6rieur

^a

l’unit6,

a

T,

^{= 100}

OK,

pour ^la

plupart

^des

6chantillons, indiquant

que les niveaux de Landau sont

distincts, fico,/kT

^reste bien inferieur a l’unit6 _pour les diff6-

rentes vallees.

3e cas : O"¡ de l’ordre de

grandeur

^de O"c. ^- Le courant

d’61ectrons libres fait avec la direction ox un

angle

interm6diaire entre 0

et 1t/2.

FIG. 9. ^- Z 83 : _y ⁼

f(H).

Influence de oc sur y.

Sur la

figure 9,

^nous

repr6sentons

^{un reseau de}

courbes y = f(H)

pour dinerentes valeurs de a

- calcule _pour l’échantillon Z 83. Cette fonction

pr6sente

^une saturation

rapide lorsque a ^tend

^vers

z6ro,

^mais

quand

^{ce facteur est} de l’ordre de

quelques

unites

(4

pour le Z

83),

^la

pente de y = f (H)

^n’est

pas nulle _{pour H} 6 000 _gauss.

Si nous admettons

qu’a

l’établissement de 1’ava-

lanche ai

^est

sup6rieur

^a a, ^{tout en} 6tant du meme ordre de

grandeur (4

^{a 10} par

exemple),

^{on obtient}

une courbe

th6orique

dont l’allure se

rapproche

^de

celle des courbes

expérimentales. Néanmoins, y

^reste

bien

sup6rieur

^a

(EH/E)T

^{comme dans le cas}

pr6-

cedent.

III.4. ANALYSE ^{DE LA} MAGNITOAVALANCHE ^LONGI-

TUDINALE. ^-

L’expression (26),

^{en tenant}

compte

^de la conductivite _par

impuret6s,

donne la densite de

courant :

De meme

qu’en (30)

^nous pouvons écrire que la

puissance Joule dissip6e

par ^un electron est constante :

d’ou nous d6duisons le

rapport

^de

magnétoavalanche longitudinale,

^{z. Il est a} remarquer que ^ce rapport ^est

independant

^{de a =}

ai/a,,

^et

qu’il

^est

6gal

^a

(PH/P)l!2

en l’absence de conduction _par

impuret6s :

P

^{se calcule} par

(39)

^et Y3 s’6value a 1’aide de

(13) et (28) :

ou H est

exprime

^en

kilogauss.

Attribuant a K la valeur

20,

^{on a :}

L’expression (51)

^donne pour ^un

champ magn6- tique

^tres

grand :

^{Zoo =}

1,13;

^{cette valeur est ind6-}

pendante

^de

P,

donc de la concentration des

impuret6s

et de la

temperature 6lectronique.

^Nous

repr6sentons

sur la

figure

10 deux courbes z

=f(H),

^l’une pour

P

^{= 0 et l’autre}

pour P

⁼

^14,4 (Z

^{58 a, Z 58}

b);

le calcul est fait _pour

T,

^{= 100}

°K ;

^{elles montrent}

que la saturation est atteinte _pour des

champs magn6- tiques

relativement faibles

(H

^{1 000}

gauss)

^{dans les}

6chantillons

moyennement

purs

(Z

^{176 a Z}

83);

^elle

se

produit plus

^lentement pour les fortes concentra-

tions

d’impuret6s.

Si nous excluons les resultats concernant les échan- tillons Z

176,

^{Z 170 et Z 83} pour

lesquels

^{nous suppo-}

sons une

16g6re

desorientation des vecteurs I et

H,

la valeur a saturation pour ^tous les 6chantillons est

plus

faible que celle

pr6vue

par

(51),

^{elle est}

comprise

entre

1,125 (Z 46)

^et

^1,025 (Z 58 b).

Nous donnons

sur la

figure

¹⁰

(EH/Ea)L =f(H)

pour

plusieurs

FIG. 10.

6chantillons;

l’allure des courbes est en accord avec

celle

pr6vue

^par

(51),

mais la valeur a saturation d6croit

quand

la densite des

impuret6s

^croit.

L’accord peut ^{etre realise entre} les valeurs

experi-

mentales et les valeurs

th6oriques

^{en donnant a K}

une valeur inferieure a 20. Ceci est

justifi6,

^{car on}

peut

^montrer

[14] qu’en

^{réalité :}

S’il est

acquis

que 15

Km 20,

^le rapport

KT peut

diff6rer de 1’unite

(voir

^reference

[14],

p. 115-

117)

^{et nous avons}

suppose

^un temps de relaxation

isotrope.

Ces remarques valent aussi pour

1’expression (31)

dans le cas

transversal,

^mais

alors y

^est moins sensible

aux variations de K que z dans

1’expression (49).

IV. Conclusion. ^- Sur du

germanium dope

^à

1’arsenic et

présentant.

^à

^4,2

^{oK une} conduction _par

impuret6s dominante,

^{nous avons} mesure l’accroisse-

ment du

champ 6lectrique

d’avalanche en fonction de l’intensit6 du

champ magn6tique (0

^{a 6 160}

G).

^Dans

le cas transverse, ^cet accroissement est tres

important

pour

ND - NA

^{1 X 1016}

CM-3;

au-dela de cette

concentration

d’impuret6s,

l’influence du

champ magn6tique

d6croit tres

rapidement

^{et s’annule} pour

ND

⁼

1,25

^{X 1017}

cm-3,

concentration _pour

laquelle

nous observons encore une

6nergie

d’ionisation de 1’arsenic dans le

germanium.

^{11 serait tres} int6ressant d’6tudier 1’effet d’un

champ magn6tique

d’une inten- site tres 6lev6e

(~

¹⁰⁰

kG)

^sur des concentrations de l’ordre de 2 X 1017 cm-3 _pour

lesquelles 1’6nergie

d’ionisation de 1’arsenic a

disparu,

celle-ci devrait etre

restaur6e,

^et par suite le

phénomène

d’avalanche.

L’action d’un

champ magn6tique longitudinal

^est

bien moins

prononc6e

que dans le ^cas transverse et la saturation ^est

rapidement

^atteinte.

Nous avons

interprete

^{les resultats a} l’aide d’un mod6le a deux porteurs :

a)

conduction par

impuret6s

pour

laquelle

^{nous ne}

supposons ni

magnétorésistance,

^{ni effet}

Hall, b)

conduction _par electrons libres en

supposant

^un temps ^de relaxation

isotrope

determine par la diffusion par les

phonons acoustiques

^{et les}

impuret6s

^ionis6es.

De

plus,

^a 1’etablissement de

l’avalanche,

^{on admet}

une fonction de distribution en

6nergie

des electrons

qui

^est maxwellienne ^et caract6ris6c _par une

temp6-

rature

électronique Te supérieure

^a celle du réseau.

Le calcul de la densite de courant est fait dans le ^cas d’un modèle multivall6e.

Dans le cas

transversal,

^le

rapport

^de

magn6to- avalanche,

y,

depend

^du

parametre

^{oc =}

ai/a,, qui

est inaccessible a

1’experience;

^{en donnant a a une}

valeur telle que Gi soit

sup6rieur

^a J, mais du ^meme ordre de

grandeur,

l’allure des courbes

calcul6es,

y

= f (H),

^est

identique

^{a celle} des courbes

experi-

mentales

(EH/Ea)T = f (H) ; néanmoins,

les valeurs

de y

^restent

superieures

^{a celles de}

(EH/Ea)T.

^I1 appa- rait ainsi que

F approximation

^d’une

temperature 6lectronique

^est

trop grossière

pour donner un accord

quantitatif.

Le

rapport

^de

magnétoavalanche

^{z, dans le cas}

longitudinal,

^est

independant

^{de a ; de}

plus,

^{la valeur}

de z a saturation est

ind6pendante

de la concentration des

impuret6s

^{et de la}

temperature 6lectronique.

^Dans

ce cas,

l’accord,

^au

point

^{de vue}

quantitatif,

^est

meilleur ^entre théorie et

experience.

Remerciements. ^- Nous remercions M. M. Ber- nard pour 1’aide

précieuse qu’il

^{nous a} accord6e dans

l’interprétation,

^{et Mme} Bonnouvrier pour la mise ^en forme des résultats

exp6rimentaux

^et les calculs

num6riques.

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