D250 - Spirales infernales [*** à la main]
Solution
La rencontre aura lieu à 12 heures 33 minutes 17 secondes.
Soit A et Z les points de départ respectifs d'Alex et Zoé. Les deux spirales se déduisent l'une de l'autre par un quart de tour positif dont le centre de rotation O est situé à 22 m à l'est et à 5 m au sud du point A (ou encore à 5 m à l'est et 22 m au nord de Z). Voir la figure 1.
On construit O de telle sorte que OAZ soit un triangle isocèle, rectangle en O, et de sens direct.
A tout instant, les positions respectives d'Alex et Zoé sont images l'une de l'autre par ce quart de tour, puisqu'elles sont équidistantes du centre de la spirale en suivant l'enroulement.
Il en résulte qu'il ne peut y avoir rencontre qu'en un point du plan égal à sa propre image, donc en O seulement.
Il reste à compter combien il y a de pas de A à O en suivant la spirale d’Alex.
ALEX pour aller en O doit faire 22 tours complets plus une petite remontée au Nord. En 22 tours il fait : vers le nord 1 + 3 + 5 + 7 + … + 43 = 484 pas ;
vers l’ouest 1 + 3 + 5 + 7 + … + 43 = 484 pas ; vers le sud 2 + 4 + 6 + 8 + … + 44 = 506 pas ;
vers l’est 2 + 4 + 6 + 8 + … + 44 = 506 pas soit 1980 pas.
ALEX se trouve alors en B situé à 22 m au sud et à 22 m à l’est de son point de départ. Il lui reste à remonter de 17 pas au nord pour atteindre O. (Voir la figure 2).
Position d’ALEX après 3 tours
Position d’ALEX après 22 tours 17 m O
B
Figure 2 Nord O
22 m
22 m
Sud
Ouest Est Spirale d’ALEX (départ en A)
Spirale de ZOE (départ en Z) 5 m
Figure 1
Il aura parcouru au total 1980 + 17 = 1997 pas.
La rencontre aura lieu au bout de 1997 secondes soit à 12 heures 33 minutes 17 secondes.
