U et résoudre(S)par la méthode de descente-remonté 2

Institut des Sciences Appliquées et Économiques ISAE-Cnam Liban

C en tre du L iban A ssocié au C N A M de P aris

Date:Avril-Durée:2h00 Partiel

2011-2012

Sujet proposé par: J.Saab pour le centre d’enseignement de:

Beyrouth

Langue de l’éxamen: Français

Est autorisé:

Calculatrice Non Programmable

Examen Partiel

Analyse numérique matricielle - CSC104

1. Vous trouvez en annexe l’algorithme de factorisation d’une matrice inversibleAenLU : (a) Calculer le nombre d’opérations nécéssaire pour réaliser une telle factorisation

(b) Après avoir décomposer A en LU, calculer le nombre d’opérations nécéssaire pour résoudre un systèmeAX=b par la méthode de descente-remonté

(c) Quelles sont les conditions surAqui permettent:

1. la factorisation de Cholesky?

2. la factorisation enQR?Citer les avantages de chacune d’elles!

(d) Application: Soit le système:

8<

:

x 2y = 1

x +y 4z = 3 4y 2z = 6

(S)

1. Véri…er que l’on peut utliser la méthode de factorisationLU pour résoudre le système (S) 2. DonnerL; U et résoudre(S)par la méthode de descente-remonté

2. SoitAune matrice réelle carrée de dimensionn

(a) Montrer quejjAjj²2= (A A)avec jj:jj²est la norme matricielle subordonnée à la norme euclidi- enne, désigne le rayon spectrale,A l’adjoint deA:

(b) Monrer que si A est symétrique alorscond(A) = j ⁿj

j 1j aveccond(A) =jjAjj:jjA ¹jj est le condi- tionnement de A; 1; n sont deux valeurs propres deAtelles que

j ¹j j ²j j ⁿj

3. On donne la matrice

A= 0

@ 1 0 1 1 1 0

1 2 3

1 A

(a) Donner la matrice itérative de Jacobi associée àA (b) Donner la matrice itérative de Gauss-Seidel associée àA

(c) Véri…er que la méthode de Jacobi converge alors que celle de Gauss-Seidel diverge (d) Ecrire trois itérations de Jacobi

1

(e) Soit!un paramètre réel, L!= (_!¹D E) ¹(¹_!^!D+F)oùA=D E F avecD une matrice diagonale,E une matrice triangulaire inférieure,F une matrice triangulaire supérieure. Montrer que (L!) j! 1jen déduire que la méthode de relaxation

xk+1=L!xk+b⁰ associée au systèmeAx=b, diverge si!2]0;2[:

Annexe: Algorithme de factorisation LU

A=A₀= 0 BB

@

a⁽⁰⁾₁₁ a⁽⁰⁾_1n ... . .. ... a⁽⁰⁾_n1 a⁽⁰⁾nn

1 CC A

à l’étapek on poseAk =Lek avecLek= 0 BB BB BB BB BB BB

@

1 0 0

0 . .. . ..

... 0 1 ... ^a

(k 1) k+1;k

a^(k_kk ¹⁾ . ..

... . .. 0

0 0 ^a

(k 1) n;k

a^(k_kk ¹⁾ 1

1 CC CC CC CC CC CC A

; Lk=L_k¹

A_k= 0 BB BB BB

@

a⁰₁₁ a⁰_1n

0

... a^(k_kk ¹⁾ a^(k_kn ¹⁾ 0 a^(k)_ij

0 ...

1 CC CC CC A

aveca^(k)_ij =a^(k_ij ^{1) a}

(k 1) ik :a^(k_kj ¹⁾:

a^(k_kk ¹⁾ ; i; j=k+ 1 n

à l’étapen 1,A_{n 1}=Le_{n 1}: :Le₁:A₀

A=L₁:L₂: :L_{n 1}

| {z }

L

A_{n 1}

| {z }

U

2