E582 − Le trésor de La Buse [***** à la main]
En l'an 1730, juste avant d'être pendu haut et court, le célèbre pirate Olivier Levasseur jeta un cryptogramme dans la foule en s'écriant : « Mon trésor à qui saura le prendre ! »
Il y a peu de temps, Diophante est enfin parvenu à déchiffrer ce texte. Il apparaît que La Buse aurait enterré son fabuleux magot quelque part sur une île circulaire. Sur le pourtour de cette île, comme sur chaque île qu'il investissait, il fit dresser un certain nombre de postes de guet. Les longueurs des arcs de cercle entre deux postes de guet adjacents étaient distinctes et mesuraient un nombre entier d'hectomètres.(1)
La Buse avait coutume de dissimuler son trésor au croisement à angle droit de deux droites joignant chacune deux postes de guet.
Avant de dissimuler sa fortune, il envoya donc Triple-Buse, son fidèle mais pas bien malin second, œuvrer à la construction des postes. Ce dernier respecta bien les différentes distances demandées, mais, ne sachant pas leur ordre précis, les distribua au hasard.
A force de recherches, Diophante a localisé pas moins de quatre îles circulaires sur lesquelles La Buse s'est rendu et où le trésor pourrait se trouver... La première comptait 9 postes de guet. Les autres en avaient 13 , 15 et 18. Seulement Diophante est pingre et n'a les fonds nécessaires que pour une seule expédition.
C'est alors que Zig intervient, éliminant trois îles parmi les quatre en quelques minutes de réflexion.
Q₁ : Lesquelles ? Et comment a-t-il fait ?
Et Puce de surenchérir.... Très astucieux en effet ! Sur cette île, La Buse était certain de pouvoir dissimuler son trésor, quels que soient les choix de Triple-Buse.
Q₂ : Comment Puce a-t-il pu affirmer ceci en quelques minutes de plus ? Q₃ : Est-on assuré que le pirate ait pu cacher son trésor sur la terre ferme ?
(1) C'est ainsi que sur un îlot circulaire d'un kilomètre de circonférence, il y aurait eu au maximum quatre postes de guet et les distances entre les postes successifs auraient été, par exemple, de 1,4,3,2 hectomètres.
Nota :Il est évident que, s'il ne disposait pas d'outil de calcul avancé, La Buse, comme tout bon capitaine de l'époque, maîtrisait les notions élémentaires de géométrie.
Convention :
Pour plus de facilité dans la rédaction, le terme « poste » désignera un des 12 points (postes de guet) répartis sur le cercle selon les données de l'énoncé.L'usage du terme « point » pourra désigner un point quelconque de la figure superposable ou non à un des postes.
Question 1 :
Soit n, la mesure du plus grand arc de cercle entre 2 postes consécutifs.
On prouve assez facilement qu'il sera toujours impossible de tracer deux cordes perpendiculaires si n = 4k + 1 ou n = 4k + 2. Le nombre de points « entiers » du cercle (correspondant à une graduation entière en hectomètres du périmètre de l'île ) étant égal à n(n+1)/2 , il serait alors impair.
Intéressons nous à la médiatrice d'une corde donnée entre 2 postes qui est un diamètre particulier de la figure. La médiatrice d'une corde est un diamètre
perpendiculaire à cette même corde. Elle coupe obligatoirement le cercle en 2 points dont l'un est « entier » et l'autre « moitié » par rapport à la graduation du cercle puisqu'elle partage le cercle en 2 parties comportant respectivement un nombre pair et impair de postes. Aucune corde glissante d'extrémités « entières » ne pourra donc se superposer à cette médiatrice. Il ne peut y avoir deux cordes perpendiculaires.
La Buse n'a donc pas pu cacher son trésor sur les îles comportant 9, 13 ou 18 postes de guet.
Question 2 :
L'île comporte donc 15 postes de guets.
Prenons l'un quelconque des 15 postes, nommé A , ainsi que le point du cercle qui lui est diamétralement opposé . Ce point se situe obligatoirement sur une graduation « entière » et à côté d'un autre poste, situé sur le cercle à une distance d'arc entière elle aussi que l'on notera d. L'illustration traitera le cas parmi d'autres de d=3
De plus, chacun des couples de cordes issu de ces deux points et d'un troisième point du cercle forme un angle droit.
On va ensuite s'intéresser aux différentes valeurs de d en supposant qu'il soit impossible de tracer un angle droit entre deux cordes.
1 ) Si d=0 :
Trivialement, tout couple de cordes issu des deux postes forme un triangle rectangle.
Il y a donc un angle droit entre deux cordes. Donc, d ne peut s'annuler pour aucun poste.
2 ) Si d = n > 0 :
On a vu que tout triangle issu du diamètre rouge est rectangle, à fortiori, celui qui, dans le sens de d intercepte l'arc de longueur d.
Quelle que soit la position de cet arc, si toutefois il n'inclut pas le symétrique du poste A, on peut donc tracer deux cordes perpendiculaires entre elles à partir de 4 des postes.
3 ) la récurrence :
En partant de d = 0, si on ne suppose aucun angle droit, d ne peut pas être nul.
Si d = 1 , on peut tracer un angle droit au moins grâce à la méthode illustrée ci-dessus, car aucun symétrique d'un poste ne peut se situer entre les postes espacés de 1.
Toujours en supposant que l'on n'ait pas d'angle droit, pour tout poste, d ne peut donc pas être égal à 1.
Et on poursuit en supposant l'absence d'angle droit : d = 2, on peut encore appliquer le dessin car, la valeur 1 ayant été éliminée, les symétriques ne peuvent se trouver dans l'arc de longueur 2. Etc... pour d prenant les valeurs 3, puis 4, 5,6 ,7 et 8. Pour tout poste, d ne peut donc prendre aucune valeur entre 1 et 8, ce qui est absurde. (Aucun poste n'aurait de symétrique)
