RG
Oublions dans un premier temps les carrés et définissons les suites(pn)et(qn) par : Chaque fraction pn
qn est la plus petite fraction strictement supérieure à pn−1
qn−1
telle que qn=pn−1 : q1= 1 etp1 = 2
qn+1=pn etpn+1= p2n
qn
+ 1pour n>1, c’est-à-dire pn+1=
p2n pn−1
+ 1pourn>2.
Intéressons nous uniquement à cette suite(pn).
Ses premières valeurs sont :p1 = 2,p2= 5,p3 = 13,p4 = 34,p5= 89, ...
Montrons que, pour tout n>1,
pn=F2n+1
où (Fn) est la suite de Fibonacci, c’est-à-dire :
F1= 1,F2 = 1,F3= 2,F4 = 3,F5= 5,F6 = 8,F7 = 13,F8= 21,F9 = 34,F10= 55,F11= 89, ...
Dans un premier temps, on a bien : p1=F3.
Ensuite, on considère l’égalité de Catalan : Pour tous(p, q)∈N2 (p>q) : Fp2−Fp−qFp+q = (−1)p−qFq2, que l’on applique avecp= 2n+ 1etq = 2 : F2n+12 −F2n−1F2n+3=−1 et ainsi :F2n+3 = F2n+12 + 1
F2n−1
. Cet entier est clairement l’entier immédiatement supérieur à
F2n+12 F2n−1
et ainsi la suite(F2n+1)satisfait la relation de récurrence de la suite (pn).
En conclusion, pour tout n>1 :pn=F2n+1.
1. La suite de fractions S est la suite des fractions pn
qn 2
où pn et qn sont les nombres définis dans l’introduction.
Ainsi cette suite (Sn)est définie par : Sn=
F2n+1 F2n−1
2
pour tout n>1.
OrFn∼ φn
√
5 (n→+∞), donc lim
n→+∞Sn=φ4, avecφ= 1 +√ 5 2 . Ainsi lim
n→+∞Sn= 7 + 3√ 5 2 .
2. Si l’on n’exige pas que les nombres initiaux soient inférieurs à 100 : La suite S initialisée par la fraction S1= 942
802 convient. On a : S2 = 1112
942 ,S3 = 1322
1112,S4 = 1572
1322,S5 = 1872
1572,S6 = 2232
1872,S7 = 2662
2232, S8 = 3182
2662, S9 = 3812 3182, S10 = 4572
3812, S11 = 5492
4572, S12 = 6602
5492,S13 = 7942
6602, S14 = 9562
7942, S15 = 11522
9562 , S16 = 13892 11522, S17= 16752
13892,S18= 20202
16752,S19= 24372 20202
Si l’on n’exige pas que le carré de 2020 n’apparaisse qu’au-delà de la quinzième fraction : La suite S initialisée par la fraction S1= 34
2 convient. On a : S2 = 252
34 ,S3 = 1082
252 ,S4 = 4672
1082,S5 = 20202
4672 ,S6 = 87382 20202.
