G10146. Les trois tireurs
Joe, Jack et Jim ont d´ecid´e de se battre en duel.
Joe est un tr`es mauvais tireur et rate sa cible deux fois sur trois. Jack est meilleur tireur, et rate sa cible une fois sur trois. Jim, tireur infaillible, ne rate jamais sa cible.
Pour compenser cette in´egalit´e, ils d´ecident que Joe sera le premier `a tirer, puis ce sera Jack, ensuite Jim, et on recommencera dans cet ordre tant qu’il reste plus d’un survivant.
Comment Joe doit-il tirer pour avoir le maximum de chances de survie ? Solution
Intuitivement (mais le calcul le confirmerait), pour Jim l’adversaire le plus dangereux est Jack, c’est lui qu’il visera en premier. De mˆeme, pour Jack l’adversaire le plus dangereux est Jim, c’est lui qu’il visera en premier.
Si Joe r´eussit `a tuer l’un des autres au premier coup, il vaut mieux pour lui que ce soit Jim plutˆot que Jack. Mais si Joe rate son coup, il peut quand mˆeme compter ˆetre en vie quand l’un des trois aura ´et´e tu´e. A ce moment, Joe a tout avantage `a ce que soit `a lui de tirer, plutˆot qu’`a l’autre survivant.
Donc deux strat´egies m´eritent consid´eration par Joe : viser Jim, et tirer en l’air !
Cas 1. Joe vise Jim et le tue, probabilit´e 1/3. Sa probabilit´e de survie estx face `a Jack dont c’est le tour de tirer. Le cas o`u Jack tue alors Joe (proba- bilit´e 2/3) contribue pour 0 `ax, le cas o`u Jack rate Joe (probabilit´e 1/3) peut contribuer `a x de deux fa¸cons, pour 1/3 si Joe tue maintenant Jack (probabilit´e 1/3), pour (2/3)x si Joe rate Jack (probabilit´e 2/3) puisque cela ram`ene `a la situation pr´ec´edente.
Donc x= (1/3)((1/3) + (2/3)x), (7/9)x= 1/9,x= 1/7.
Ce cas 1 contribue pour (1/3)x = 1/21 `a la probabilit´e de survie de Joe dans la situation de d´epart.
Cas 2. Joe vise Jim et le rate (probabilit´e 2/3). A ce moment la probabilit´e de survie de Joe esty.
Cas 2-1. Jack vise Jim et le tue (probabilit´e 2/3), puis Joe est `a mˆeme de tirer sur Jack. On a vu au cas 1 ses chances, c’est (1/3) + (2/3)x = 3/7.
La contribution de ce cas `a y est (2/3)(3/7) = 2/7.
Cas 2-2. Jack vise Jim et le rate (probabilit´e 1/3), puis Jim tue Jack.
Joe ne peut survivre qu’en tuant Jim maintenant (probabilit´e 1/3). La contribution de ce cas `a y est (1/3)(1/3) = 1/9.
Au total pour le cas 2y= (2/7) + (1/9) = 25/63, et la contribution de ce cas `a la probabilit´e de survie de Joe dans la situation de d´epart est (2/3)(25/63) = 50/189.
La probabilit´e totale de survie (cas 1 et 2) pour la strat´egie consistant `a viser Jim est
(1/21) + (50/189) = 59/189.
Quant `a la strat´egie “tirer en l’air”, elle donne `a Joe la probabilit´e de survie y calcul´ee au cas 2, soit 25/63 = 75/189. C’est la meilleure.
Le lecteur int´eress´e pourra traiter le cas o`u aucun des tireurs n’est in- faillible. Tirer en l’air est-il toujours la meilleure strat´egie ?
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