CHAPITRE 11 : FONCTIONS LINÉAIRES ET AFFINES
Objectifs : Fonction linéaire
• [3.120] Déterminer par le calcul l'image et l'antécédent d'un nombre donné dans une fonction linéaire.
• [3.121] Déterminer l'expression algébrique d'une fonction linéaire à partir de la donnée d'un nombre non nul et de son image.
• [3.122] Représenter graphiquement une fonction linéaire.
• [3.123] Lire la représentation graphique d'une fonction linéaire (image, antécédent, coefficient directeur).
• [3.128] Connaître et utiliser la caractérisation graphique de la proportionnalité dans un plan repéré.
Fonction affine
• [3.124] Déterminer par le calcul l'image et l'antécédent d'un nombre donné dans une fonction affine.
• [3.125] Déterminer l'expression algébrique d'une fonction affine à partir de la donnée de deux nombres et de leurs images.
• [3.126] Représenter graphiquement une fonction affine.
• [3.127] Lire la représentation graphique d'une fonction affine (image, antécédent, coefficient directeur, ordonnée à l'origine).
Pourcentages
• [3.129] Établir le lien entre appliquer un pourcentage et multiplier par le coefficient correspondant.
I.
Fonctions linéaires - Proportionnalité a)
Définition
Une fonction linaire f est un procédé qui à un nombre x associe le nombre ax, où a est un nombre donné.
On note : f : x | ax ou f(x) = ax
Le nombre f(x) est appelé l'image de x par la fonction f.
Exemple : La fonction qui, à un nombre x associe son double est une fonction linéaire notée : f : x | 2x ou f(x)=2x.
L'image du nombre 5 par cette fonction est notée f(5) et vaut f(5)=2×5=10
b)
Lien avec la proportionnalité
Dans un tableau de proportionnalité, les nombres de la deuxième ligne sont les images des nombres de la première ligne par une fonction linéaire.
Exemple :
×2 x 0 1 2 4 8
f(x) 0 2 4 8 16
Ce tableau traduit la fonction linéaire définie par f(x)=2x.
II.
Fonctions affines a)
Définition
Une fonction affine f est un procédé qui, à un nombre x, associe le nombre ax + b, où a et b sont des nombres donnés.
On note : f : x | ax + b ou f(x) = ax + b Le nombre f(x) est appelé l'image de x par la fonction f.
Exemple :La fonction qui, à un nombre x, associe son triple augmenté de 5 est une fonction affine notée f : x |
3x + 5 ou f(x) = 3x + 5.
L'image du nombre 2 par cette fonction est notée f(2) et vaut f(2) = 3×2 + 5 = 6 + 5 = 11.
b)
Tableau de valeurs
On peut regrouper les images de certains nombres par la fonction affine f définie par f(x)=2x+3.
On obtient alors un tableau de valeurs.
x - 4 - 3 - 1 0 1 5
4
f(x) - 5 - 3 1 3 5 11
2 Il s'établit en calculant les images de chaque valeur de x par la fonction f.
f –4=2×–43=–83=–5 f –3=2×–33=–63=–3 f 0=2×03=3
f
54
=2×543=523=56 2 =11
2
c)
Cas particuliers
La fonction linéaire définie par f x=ax est une fonction affine pour laquelle b = 0.
En effet, f x=ax0.
La fonction constante définie par fx=b est une fonction affine pour laquelle a = 0.
En effet, f x=0xb. Exemples :
f x=4x est une fonction linéaire.
f x=5 est une fonction constante.
III. Représentation graphique a)
Fonction linéaire
La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine du repère.
C'est la droite d'équation y=ax où a est le coefficient directeur de la droite.
J
I 1
1
O x
x'
y
y'
d
Exemple :
Représentation graphique de la fonction linéaire f définie par f(x)=2x.
Si x = 0, y = 0 => ce sont les coordonnées du point O, origine du repère.
Si x = 1, y = 2 => ce sont les coordonnées d'un point A(1 ;2) de la droite.
b)
Fonction affine
La représentation graphique d'une fonction affine définie par f x=axb est une droite d'équation y=axb , où a est le coefficient directeur de la droite, et b est l'ordonnée à l'origine.
J
I 1
1
O x
x'
y
y' y=ax+b
b
J
I 1
1
O x
x'
y
y' b
f x=axb avec a > 0 f x=axb avec a < 0
x' x y
y' J
I 1 1
b y=b
f x=axb avec a = 0
IV.
Proportionnalité des accroissements
Soit f une fonction affine définie par f x=axb.
Il y a proportionnalité entre les accroissements de f(x) et les accroissements de x.
Si x1 et x2 sont deux nombres distincts, alors on a : a= f
x2
− f
x1
x2−x1
x' x
y
y'
x1 x2
f(x1) f(x2)
V.
Fonction croissante, décroissante
Une fonction est croissante si f(x) augmente quand x augmente (cad si a > 0).
Une fonction est décroissante si f(x) diminue quand x augmente (cad si a < 0).
f est croissante f est décroissante
Activité pourcentage
VI.
Pourcentages
Énoncé Calcul Exemple
Calculer a % d'un nombre x
y= a
100 x Un village de 250 habitants voit sa population augmenter de 2%. Combien d'habitants y a-t- il en plus ?
y= 2
100×250=5. Il y a 5 habitants en plus.
Augmenter un nombre x de a % y=
1100a
x Un article de 300 € augmente de 6%. Quel est son nouveau prix ?Le prix est passé de x à 1,06x.
Donc y=1,06×300=318. Le nouveau prix est 318 €.
Diminuer un nombre x de a %
y=
1−100a
x L'effectif d'un club sportif de 350 membres diminue de 4%. Quel est sont nouvel effectif ? L'effectif est passé de x à 0,96x.Donc y=0,96×350=336.
Le nouvel effectif du club est de 336 membres.
x' x
y
y' x f(x)
x' x
y
y' x f(x)
