- 1 -
http://mathemitec.free.fr/index.php
Terminale S – Exercice de Bac – Nouvelle Calédonie 2003
Nouvelle Calédonie, 2003 – Complexe.
On se place dans la plan complexe muni d’un repère orthonormal (O,u→ ;v→). On considère la transformation ponctuelle f qui, a tout point M d’affixe z, associe le point M’ d’affixe z’
définie par z’ = z²+ 1.
1. Déterminer les antécédents du point O.
2. Existe−t−il des points invariants par f ? si oui, préciser leurs affixes respectives.
3. Montrer que deux points symétriques par rapport à O ont la même image.
Que peut−on dire des images de deux points symétriques par rapport à l’axe des abscisses ?
4. Soit A le point d’affixe zA = 2
2 (1 + i).
Déterminer l’affixe du point A’ image de A par f, puis prouver que les points O, A et A’ sont alignés.
5. Soit θ un nombre réel appartenant à l’intervalle [0 ; 2π[ et N le point d’affixe eiθ . 5a. Montrer que N appartient au cercle (X) de centre O et de rayon 1.
5b. Lorsque θ varie, montrer que N’, image de N par f, reste sur un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
5c. Vérifier que ON'→ = 2cos θ ON→ . En déduire que les points O, N et N’ sont alignés.
5d. Expliquer la construction du point N’.
Nouvelle Calédonie, 2003 – Complexe - Corrigé
1. M est un antécédent de O ssi f(M) = O ⇔ z²+ 1 = 0 ⇔ z² = −1 ⇔ z = −i ou z = i Les antécédents du point O sont les points V et V’ d’affixes i et −i.
2. M est invariant par f si par définition, f(M) = M ⇔ z²+ 1 = z ⇔ z²− z + 1 = 0.
Comme z²− z + 1 a pour discriminant ∆ = −3, z²− z + 1 = 0 ⇔ z = 1 - i 3
2 ou z = 1 + i 3 2 Les points invariants donc sont C d’affixe ½ (1 + i 3) et C’ d’affixe ½ (1 − i 3).
3. Soit N d’affixe z. Le symétrique N’ de N par rapport à O a pour affixe −z or (−z)²+ 1 = z²+ 1 donc N et N’ ont la même image par f.
Soit P d’affixe z.
Le symétrique de P par rapport à l’axe des abscisses a pour affixe z.
Mais (z)²+ 1 = z²+ 1 = z² 1+ : ainsi, les images de deux points symétriques par rapport à l’axe des abscisses sont aussi symétriques par rapport à l’axe des abscisses.
4. Soit A le point d’affixe zA = 2
2 (1 + i).
A’ = f(A) donc zA’ = zA²+ 1 = ½ (1+i)²+ 1 = i + 1zA = 2
2 zA’ ce qui signifie que OA→ = 2
2 OA'→ et prouve que O, A et A’ sont alignés.
5a. N est le point d’affixe eiθ donc |zN| = 1 ce qui prouve que N est sur le cercle (X) de centre O et rayon 1.
- 2 -
http://mathemitec.free.fr/index.php
Terminale S – Exercice de Bac – Nouvelle Calédonie 2003
o
U V
u v
V'
C=f(C)
C'=f(C') N N1
N' O=f(V)=f(V')
5b. f(N) = N’ tel que zN’ = zn²+ 1 = ei2θ + 1 donc zN’ − 1 = ei2θ : on en déduit que
|zN’− 1| = 1 ce qui prouve que N’ est sur le cercle (Y) de centre U d’affixe 1 et de rayon 1.
5c. zN’ = ei2θ + 1 = cos2θ + i sin2θ + 1 = 2cos²θ − 1 + 2isinθ cosθ + 1 = 2cos²θ + 2isinθ cosθ = 2cosθ (cosθ + i sinθ)
Ainsi, zN’ = 2cosθ× eiθ = 2cos θ× zN ce qui signifie que ON'→ = 2cos θ ON→ et donc que les points O, N et N’ sont alignés.
5d. On construit les cercles (X) et (Y). N est un point de (X).
→ si N est en V ou V’ alors N’ = O (qui est bien un point de (Y)) (voir 1.)
→ sinon, N’ est le point d’intersection de la droite (ON) avec (Y) autre que O. (Sur (ON) il y a deux points de (X), ils ont donc la même image … ceci a été prouvé à la question 3.
