Cours : Exponentielle

(1)

CHAPITRE III La fonction exponentielle.

→

De nombreux phénomènes issus de physique (électricité, radioactivité), de biologie (évolution d’un système) ou même d’économie (évolution de populations, phénomènes boursiers) aboutissent à ce qu’on appelle une équation différentielle.

Une équation différentielle est tout simplement une équation où l’inconnue est une fonction y, et qui fait intervenir les dérivées successives de y : y’, y’’,

y

⁽³⁾…

Equation Classique :

3 x + = 2 0

^,

2 x

³

− 2 x

²

+ = x 2

… : inconnu, le nombre x.

Equation Différentielle :

y ' = 0, y ' = ay b y + , ' = + x 1, y '' + + = y ' y 0

… : inconnu, la fonction y.

Résoudre une équation différentielle consiste donc à rechercher toutes les fonctions solutions de cette équation.

Par exemple, en physique, si N(t) est le nombre d’atomes présents à l’instant t, on observe

expérimentalement que le nombre d’atomes de radium qui se désintègrent en un temps donné est proportionnel à leur nombre à chaque instant. Autrement dit, la fonction N vérifie N’(t) = a N(t), où a est une constante positive.

Nous chercherons donc, dans un premier temps à résoudre cette équation différentielle et plus simplement à déterminer toutes les fonctions y, définies sur IR, telles que y’ = y.

→

Nous allons tout d’abord mettre en place une méthode, appelée méthode d’euler, permettant de construire graphiquement de telles fonctions.

Cette méthode, directement issue de la notion d’approximation affine, pourrait en fait nous servir dans de nombreux chapitres (équation différentielle, primitive…) : voir à ce propos les deux animations sur le site.

→

Nous étudierons ensuite les nombreuses propriétés de cette nouvelle fonction, indispensable en Terminale S.

(2)

I. Méthode d’Euler : Construction de la fonction exponentielle

Résoudre une équation différentielle consiste donc à rechercher toutes les fonctions solutions de cette équation.

La Méthode D’Euler est une méthode qui va nous permettre de construire la courbe représentative

« approchée » de f en ne connaissant de f que très peu d’informations.

Elle est basée sur l’approximation affine d’une fonction dérivable :

Si f est une fonction dérivable en x0 alors, pour h proche de 0, f x( _o+h)≈ f x( _o)+hf'(x_o)^.

CADRE :

Nous considérons désormais l’équation différentielle f ’ = f avec comme condition initiale f(0) = 1.

Nous allons tracer une courbe approchée de

C

_f sur l’intervalle I = [0 ; 2].

Remarque CAPITALE pour notre équation différentielle : par approximation affine, pour h très petit, f x( _o+h)≈ f x( _o)+hf '(x_o).

Or par hypothèse, f ’ = f donc l’approximation affine devient

( )

( _o ) ( _o) ( _o) 1 ( _o)

f x +h ≈ f x +hf x = +h f x cad

( )

( _o ) 1 ( _o)

f x +h ≈ +h f x (E).

- Prendre un repère une feuille (pas de x ou de y négatifs) avec, en abscisse et en ordonnée 1 unité représentée par 5cm.

- Prendre une autre feuille construire les tableaux de valeurs les tableaux de valeurs.

Cette méthode est traitée de manière dynamique dans l’activité du site … PRENONS h = 1

(1) On place Ao

( )

^0;1 (il est sur Cf car f(0) = 1).

(2) Posons x₁= x_o+ =h 1 : d’après (E) : f x( )1 ≈ +

(

1 h f x

)

( _o)=2 et on place A x1

(

1; 2

)

.

(3) Posons x₂ = + =x₁ h 2 : d’après (E) : f x( 2)≈ +

(

1 h f x

)

( )1 = +

(

1 h

)

² f x( 0)=4 et on place A2

(

x2; 4

)

. (4) Tracer alors les segments A A_i _i₊₁.

PRENONS h = 0,5 (la précision augmente)

(1) On place Ao

( )

^0;1 (il est sur Cf car f(0) = 1).

(2) Posons x₁= x_o+ =h 0.5 : d’après (E) : f x( )1 ≈ +

(

1 h f x

)

( _o)=1.5 et on place A x1

(

1;1.5

)

¹ h

)

ⁿ

(2) Remplir un tableau de valeurs à deux colonnes :

(

x yi^; i

)

.

(3) Tracer les segments A A_i _i₊₁ (une autre couleur que pour h = 0.1 ou h = 0.1)

(3)

II. L’exponentielle - Généralités

Rappel (voir le chapitre sur l’intégration pour la preuve).

Si une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I vérifie pour tout x de I, f ’(x) = 0 alors f est constante sur I.

Lemme II-1.

Si f est une fonction dérivable sur ℝ telle que f ’ =kf et f(0) = 1 alors f ne s’annule pas sur ℝ_.

Définition – Théorème II-2 : Il existe une unique fonction dérivable sur IR, telle que f ’ = f et f(0) = 1. Cette fonction est appelée la « fonction exponentielle » et notée exp.

En particulier, (exp(x))’ = exp(x), exp(0) = 1 et pour tout x, exp(x) est non nul.

Exercice II-1. Etudier la continuité sur IR de la fonction exponentielle.

Propriétés de l’exponentielle.

Propriété II-3. Pour tout réels x et y, exp(x+y) = exp(x) × exp(y).

On dit que l’exponentielle transforme la somme en produit.

Remarque.

Dans la fiche Caractérisation de la fonction exponentielle, on prouvera que réciproquement, les seules fonctions qui vérifient f(x+y) = f(x).f(y) sont les fonctions exponentielles.

Propriété II-4. ∀x∈IR, exp(x) ≠ 0 et exp(−x) = 1 exp(x) Propriété II-5. Pour tout x :

(

^{exp( )}^x

)

² ⁼^{exp(2 )}^x

et plus généralement, pour tout entier naturel n,

(

^{exp( )}^x

)

ⁿ ⁼^exp(^nx⁾^.

Propriété II-6. Pour tout réels x et y, on a exp(x − y) = exp(x) exp(y) . Propriété II-7. ∀x∈IR, exp(x) > 0.

Une Notation Bien Pratique

Vous allez pouvoir « oublier » toutes les propriétés précédentes, pour peu que vous connaissiez les règles sur les puissances…

D’après le TP d’introduction, nous avons observé que exp(1) = 2,71828…

Notons e ce nombre : ainsi exp(1) = e.

Nous avons déjà vu que pour tout entier n, exp(n.x) = exp(x + x + … + x) = (exp(x))ⁿ. En particulier, pour x = 1, ^exp

( ) (

ⁿ ⁼ ^exp(1)

)

ⁿ ⁼^eⁿ, donc par notation :

exp(n) = eⁿ. D’où l’idée d’étendre cette notation à tout réel.

On pose alors, pour tout réel x, exp(x) = e^x.

En fait, il se trouve que cette notation est cohérente avec tout ce que nous connaissons déjà sur l’exponentielle et sur les puissances…

Lors du chapitre sur les puissances réelles, nous verrons que c’est bien plus qu’une notation (la Note

Tous les exercices ou les démonstrations des

propriétés de ce chapitre se trouvent à la

fin de ce document.

(4)

Bilan (provisoire)

( )

exp x =e^x ; exp est définie, dérivable et continue sur IR. ;

( )

^e^x ^'=^e^x ^{et e}^x >⁰ pour tout x

( )

0 1 1

1, 2, 71828, , , ,

x n

x y x y x y x nx x

y x

e e e e e e e e e e

e e

+ − −

= ≈ = = = = … tout comme les puissances !

Exercice II-2.

1. Simplifier les expressions suivantes : e e× ²^,

(

^{e e}⁻ ⁻¹

)

²^,^exp(2_exp(2^x_x⁺₋₁₎³⁾^.

2. Prouver que

(

^e^x⁺^e⁻^x

)

² > 2 pour tout réels x.

3. Montrer que pour tout x,

2 2

1 1 1 1

x x

e e

−

− = − + + ^.

III. Variations et Limites (à connaître) Propriété III-1. La fonction exponentielle est strictement croissante sur IR

Limites en +∞∞∞∞.

Exercice III-1.

(1) Prouver que ∀x∈ℝ⁺, e^x >x.

(2) En déduire que lim ^x

x e

→+∞ = +∞. Limites en -∞∞∞. ∞

Exercice III-2.

A l’aide de l’exercice précédent et avec un changement de variables appropriée, démontrer que lim ^x 0

x e

→−∞ = ^. Exercice III-3.

Prouver que la courbe représentant la fonction exponentielle est toujours au dessus de sa tangente en 0.

Tableau de variations et Courbe

f’(0) = 1. Soit (T), la tangente à Cexp au point d’abscisse 0 : y = x + 1 et on en déduit :

L’approximation affine de e^x au voisinage de 0 : e^x ≈ 1+x x −∞ +∞

exp’ + exp 0 ր +∞

(5)

Equations et Inéquations Propriété III-2. Pour tout réels x et a : e^x=e^a ⇔ =x a

Exercice III-3.

Résoudre : (e^x)^²= 1, e^x²= (e^−x)².e³, 2e^2x- e^x - 1 = 0 Propriété III-3. Pour tout réels x et a : e^x≤e^a ⇔ ≤x a.

Exercice III-3. Résoudre les inéquations suivantes : (e^x)³ ≤ 1/e et exp(x²−4) ≤ exp(−3x).

IV. Autres propriétés.

Exercice IV-1. Dériver la fonction

e

^uoù u est une fonction dérivable.

Exemples. (e^{x²+ x})’ = (2x+1)e^x²+x

(e^{−−−−x})’ = −−−− e^{−−−−x}

Limites « classiques » (à connaître)

Lorsque x tend vers +∞^{, e}^x tend aussi vers +∞^donce^x

x donne une forme indéterminée.

Nous allons prouver que l’exponentielle tend beaucoup plus vite vers +∞ que la fonction x.

Propriété IV-I. lim

x x

e

→+∞ x = +∞^. Exercice IV-2. Démonstration de la propriété IV-1.

(1) Prouver que

2

x x

e ≥ pour tout réel positif x.

(2) Conclure.

Lorsque x tend vers -∞^{, e}^x tend vers 0 donc xe^x donne une forme indéterminée.

Nous allons prouver que l’exponentielle tend beaucoup plus vite cers 0 que x ne tend vers -∞^.

Propriété IV-2. lim ^x 0

x xe

→−∞ = . Exercice IV-3. Démonstration de la propriété IV-2.

A l’aide de la propriété IV-1 et d’un changement de variables, prouver que lim ^x 0

x xe

→−∞ = . Propriété IV-3. Prouver que

0

lim 1 1

x x

e

→ x− = . Exercice IV-4.

Etudier la limite des fonctions suivantes : 1 , 0 ; 2

ex

x en

− 7

, ;

3

x x

e en

e

+ + ∞ +

2^x 3 ^x 4, ,

e − e + en+ ∞ −∞ ; e^x−x en, + ∞ −∞, .

(6)

CHAPITRE III

Corrigés des exercices et Démonstrations.

II. L’exponentielle - Généralités

Démonstration II-1.

Soit g(x) = f(x)f(-x), dérivable sur ℝ.

On a g’(x) = f ’(x)f(-x) –f(x)f ’(-x) = kf(x)f(-x) –f(x)( kf(-x) ) = 0 : g est donc constante et comme g(0) = 1, pour tout x on a g(x) = 1.

Enfin, puisque g(x) = f(x)f(-x), g ne peut donc pas s’annuler.

Démonstration II-2. (voir aussi les ROC d’analyse du site)

→ Existence : la méthode d’Euler nous permet déjà d’obtenir une représentation graphique approchée d’une telle fonction.

Dans le chapitre sur les primitives, l’existence d’une solution de l’équation y’ = y sera prouvée.

→ Unicité : supposons qu’il existe deux solutions f et g et prouvons que f = g.

on a donc f’ = f, g’ = g et f(0) = g(0) = 1.

Posons h = f/g [g non nulle, d’après le lemme] on a alors h’ = (f’g − fg’)/g²= (fg − fg)/g² = 0 donc h est constante sur IR (voir le rappel).

Or h(0) = f(0)/g(0) = 1, donc h = 1 sur IR et f = g Exercice II-1.

La fonction exp est continue sur IR puisque dérivable sur IR ! Propriétés de l’exponentielle.

→Fixons y et posons h(x) = ^exp

( )

exp( ) x y

x

+ (exp(x) ≠ 0) : h est dérivable et on a

( )

( ) ( ) ( ( ) ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2

exp 'exp exp 'exp exp exp exp exp

'( ) 0

exp( ) exp( )

x y x x x y x y x x x y

h x

x x

+ − + + − +

= = = ^.

La fonction h est donc constante sur IR et on a pour tout x, h(x) = C.

→Comme h(0) = exp(y), on a C = exp(y) et h(x) = C ^exp

( )

^{exp( )} ^exp

( )

^exp

( ) ( )

^exp

exp( ) x y

y x y x y

x

⇔ + = ⇔ + = ^.

Nous avons déjà prouvé que ∀x∈IR, exp(x) ≠ 0.

Appliquons la propriété II-3 avec x = - y.

Il vient : pour tout x, exp(−x) × exp(x) = 1 (on retrouve que exp(x) est non nul) et on obtient la deuxième affirmation.

D’après la propriété II-3 : (exp(x))²= exp(x) × exp(x) = exp(x+x) et on a bien (exp(x))²= exp(2x)

Plus généralement : (exp(x))ⁿ = exp(x).exp(x)…exp(x) = exp(x+x+…+x) = exp(nx) puisque l’exponentielle transforme la somme en produit (avec un raisonnement pra récurrence, la

démonstration serait plus propre).

Toujours d’après le II-3, exp(x − y) = exp(x + (−y)) = exp(x) × exp(−y) = exp(x)

exp(y) puisque exp(−y) = 1

exp( )y ^(II-4).

(7)

Raisonnons par l’absurde et supposons qu’il existe x₀ tel que exp(x₀) < 0 (on sait que exp est jamais nulle).

Ainsi : exp est continue car dérivable exp(x₀) < 0 et exp(0) = 1

donc d’après le TVI, il existe c entre 0 et x0 tel que exp(c) = 0 : ce étant impossible l’hypothèse

« qu’il existe x0 tel que exp(x0) < 0 » est absurde et donc exp (x) > 0 pour tout x.

Une Notation Bien Pratique

Exercice II-2.

>

1 5

2 2 2 2

e e× =e e =e

>

(

^{e e}⁻ ⁻¹

)

² ^{= +}ê² ê⁻²⁻²^{e e}¹ ⁻¹^{= +}ê² ê⁻²⁻²

> exp(2 3) ² ³ ⁽² ¹⁾ ⁴ exp(2 1)

x x

x e e

x

+ − −

+ = =

−

>

(

^e^x⁺^e⁻^x

)

² ⁼^e²^x⁺^e⁻²^x⁺². Comme l’exponetielle est toujours positive,

(

^e^x⁺^e⁻^x

)

² ⁼^e²^x⁺^e⁻²^x^{+ >}² ²^.

>

2 2 2 2

1 1 1

x x x x

e e e e

− −

− = × − = −

+ + + ^puisque

0 1

X X

e e⁻ =e =

III. Variations et Limites (à connaître)

Démonstration III-1.

Par définition exp est dérivable et

( )

ê^x ^'⁼ê^xêtê^x>0 donc exp est strictement croissante sur IR Limites en +∞∞∞∞.

Exercice III-1.

(1) Soit f(x) = e^x − x : f est dérivable et f’(x) = e^x − 1.

Comme l’exponentielle est croissante et que e⁰ = 1, pour tout x positif, e^x > 1.

Ainsi f’(x) ≥ 0 sur [0 ;+∞[ donc f croissante sur ℝ⁺.

f est donc minorée par f(0) cad f(x) ≥ f(0), or f(0) = 1 donc f(x) > 0.

(2) Ainsi, e^x > x et quand x → +∞, par comparaison lim ^x

x e

→+∞ = +∞^. Limites en -∞∞∞. ∞

Exercice III-1.

Au voisinage de -∞, x est négatif donc X= -x est positif .

Or x X 1

e e X

e

= − = et puisque lim

x X

→−∞ = +∞, d’après le calcul précédent 1 lim ^x lim _X 0

x e X

→−∞ = →+∞e = ^. Exercice III-3.

La tangente T a pour équation y = f(0) + f’(0)(x-0) cad y = x.

Nous avons déjà vu que pour x > 0, e^x > 0 (et même pour x = 0 puisque e⁰ = 1).

Or si x < 0, comme exp est toujours positive, e^x > x.

Equations et Inéquations

Comme l’exponentielle est non nulle : e^x = e^a⇔ e^x_a

e ^{= 1}^⇔^e

x−a = 1.

Or l’exponentielle est définie, continue et strictement croissante de IR dans IR.

(8)

d’après le TVI, il existe un unique réel tel que exp(y) = 1.

Mais e⁰ = 1 donc y = x−a = 0 c’est à dire x = a.

Exercice III-3.

> (e^x)^²= 1⇔e²^x=e⁰ ⇔2x= ⇔ =0 x 0

> e^x²= (e^−x)².e³^⇔^e^x² ⁼^e^{− +}²^x³ ^⇔^x² ^{= − + ⇔}²^x ³ ^x²⁺²^x^{− = ⇔}³ ⁰

(

^x⁻¹

)(

^x^{+ = ⇔ =}³

)

⁰ ^x ¹^{ou x}^{= −}³

> posons X = e^x : l’équation devient 2X² - X – 1 = 0

(

^{1 2}

)(

¹

)

⁰ ¹ ¹

X X X ou X 2

⇔ − + = ⇔ = = − ^.

Mais X = e^x > 0 donc X = 1 cad x= 0 est la seule solution.

Comme la fonction exponentielle est croissante, par définition 2 réels sont rangés dans le même ordre que leurs images.

Exercice III-3.

> (e^x)³ ≤ 1/e ³ ¹ 1

3 1

3

ex e⁻ x x

⇔ ≤ ⇔ ≤ − ⇔ ≤ − ^.

> exp(x²−4) ≤ exp(−3x) ^⇔^e^x²⁻⁴^≤^e⁻³^x ^⇔^x²⁺³^x^{− ≤ ⇔}⁴ ⁰

(

^x⁻¹

)(

^x^{+ ≤ ⇔ ∈}⁴

)

⁰ ^x ^{[1; 4]} d’après les règles de signe sur les trinômes.

IV. Autres propriétés.

Exercice IV-1.

Par définition, e^u =exp( )u =expu est dérivable comme composée de fonctions dérivables.

Comme (g o u)’ = u’ × (g’ o u), on a (exp o u)’ = u’ × (exp’ o u) = u’e^u et donc

( )

êû ^'⁼^{u e}^' û^.

Limites « classiques » (à connaître) Exercice IV-2. Démonstration de la propriété IV-1.

(1) Posons

2

( ) 2

x x

f x =e − ^.

f est dérivable et on a : f x'( )=e^x−x dont on ne connaît pas le signe (on doit redémontrer ce qui a été déjà vu).

f ’ est dérivable et on a : f''( )x = −e^x 1^. On en déduit le tableau de signes suivant :

f est croissante donc minorée par f(0) = 1 : f est donc positive sur ℝ⁺. Par conséquent, pour tout x positif,

2 2

2 0 2

x x x x

e − ≥ ⇔e ≥ ^.

(2) Comme x est positif, on a alors 2 ex x

x ≥

D’après les résultats de comparaison, on en déduit que lim

x x

e

→+∞ x = +∞^.

Lorsque x tend vers -∞, e^x tend vers 0 donc xe^x donne une forme indéterminée.

Nous allons prouver que l’exponentielle tend beaucoup plus vite cers 0 que x ne tend vers -∞.

Exercice IV-3. Démonstration de la propriété IV-2.

On pose X = −x : quand x → −∞, X → +∞ et x.e^x =

X

X e ^. Or quand X → +∞,

eX _→₊_∞_donc X _→₀

x 0 +∞

f’’(x) 0 + f’(x)

1 ր

f’(x) + f(x) 1

ր

(9)

Démonstration IV-3.

> Avec les taux de variation :

0

0 0

lim 1 lim 0

x x

e e e

x x

→ →

− = −

− et comme l’exponentielle est dérivable en 0 avec exp’(0) = 1, on en déduit que

0

lim 1 1

x x

e

→ x− = ^.

> Avec l’approximation affine de l’exponentielle au voisinage de 0.

Puisque, pour x proche de 0, e^x ≈ x + 1 (déjà vu) donc e^x – 1 ≈ x et e^x 1 x

− ≈ 1 d’où le résultat.

Exercice IV-4.

>

0 0

1 1 1 1 1

lim lim 1

2 2 2 2

x x

e e

x x

→ →

− = × − = × = ^.

> Posons X = e^x : lim

x X

→+∞ = +∞ et en l’infini, 7 3 X X

+

+ a la même limite que X 1

X = ^{. Ainsi} 7

lim 1

3

x x x

e

→+∞e + = + ^.

> En -∞ : aucun problème. lim ^X 0

X e

→+∞ = ^donc lim ²^x 3 ^x 4 4

x e e

→−∞ − + = ^.

En +∞, posons X = e^x : lim

x X

→+∞ = +∞ et en l’infini, X² - 3X + 4 a la même limite que X².

Ainsi lim ²^x 3 ^x 4

x e e

→+∞ − + = +∞^.

> En -∞, pas de souci : lim ^x lim

x e x x x

→−∞ − = →−∞− = +∞^. En +∞, il y a une forme indéterminée.

Factorisons par le terme dominant : ^x ^x 1 x_x e x e

e

 

− =  − 

 ^{et comme}

lim _x lim 1_x 0

x x

x

e e

x

→+∞ = →+∞ = , on en déduit que lim ^x

x e x

→+∞ − = +∞^.