TS Exercices sur les équations différentielles 2011-2012
EXERCICE 1 :
On considère l’équation différentielle (E) :y′= 2y+ cosx.
1. Déterminer deux nombresaetbtels que la fonctionf0 définie surRparf0(x) =acosx+bsinxsoit solution de (E).
2. Résoudre l’équation différentielle (E0) :y′= 2y.
3. Démontrer quef est solution de (E) si et seulement sif−f0est solution de (E0).
4. En déduire les solutions de (E).
5. Déterminer la solutionkde (E) vérifiantkπ 2
= 0.
EXERCICE 2 :
On considère l’équation différentielle (E) :y′=y(4−y).
Soitf une solution de (E) qui ne s’annule pas surR. On poseg= 1 f.
1. Démontrer quef est solution de (E) si et seulement sigest solution de l’équation différentielle (E′) :y′=−4y+1.
2. Résoudre (E′) et en déduire les solutions de (E) qui ne s’annulent pas surR. 3. Déterminer la solutionkde (E) vérifiantk(0) = 2.
EXERCICE 3 :
On note f(t) le nombre de ménages, vivant en France, équipés d’un ordinateur (t en années,f(t) en millions ; on poset= 0 en 1980).
On sait quef(0) = 0,01 et on estime que, sur la période allant de 1980 à 2015,f est solution de l’équation différentielle : y′= 0,022y(20−y) (1)
1. Résoudre l’équation (1) en posantz= 1 y.
2. Vérifier que l’on a, avec une bonne approximation :
f(t) = 20
1 + 2000e−0.44t 3. Étudier et représenter graphiquement la fonctionf.
4. Interpréter la limite def en +∞. En quelle année le nombre de ménages équipés a-t-il atteint la moitié de cette valeur ?
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