statistiques -fonctions-application à l'économie

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Exercice 1 : 10 pts On s’intéresse à la place des femmes ayant un emploi en France.

Partie A. On donne le tableau suivant (source INSEE) :

Année 1996 1998 2000 2001

Nombre de femmes ayant un emploi (en milliers) 9828 10418 10653

Nombre d’hommes et de femmes ayant un emploi (en milliers) 22312 22478 23262

Pourcentage de femmes ayant un emploi 44,05 44,45 44,85

Pour chacune des questions suivantes, donner le détail des calculs faits.

a. Calculer le nombre de femmes ayant un emploi en 1998. Le résultat sera arrondi à un millier près.

b. Déterminer le pourcentage de femmes ayant un emploi en 2000. Le résultat sera arrondi à 0.01% près.

c. Déterminer le nombre total de personnes ayant un emploi en 2001. Le résultat sera arrondi à un millier près.

d. En 1996, on comptait 16% de personnes ayant un emploi à temps partiel. Parmi eux, 75% étaient des femmes.

Déterminer le pourcentage de femmes ayant un emploi à temps partiel en 1996.

Partie B.

Dans cette question, on s’intéresse à l’évolution du pourcentage de femmes dans la population active depuis 1996.

Année 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003

Rang de l’année) 1 2 3 4 5 6 7 8

Pourcentage de femmes ayant un emploi 44,05 44,15 44,45 44,65 44,80 44,85 45,25 45,40 1. Dans un repère orthogonal, représenter le nuage des points associé à cette série. En abscisse, on prendre 1 cm pour une unité ; en ordonnée, on prendre 1cm pour 0.1% en graduant l’axe de 44% à 46.5%.

2. a. Expliquer pourquoi un ajustement affine est adapté.

b. On choisit comme droite d’ajustement la droite D passant par les points du nuage d’abscisse 3 et 7.

Tracer cette droite sur le graphique. Justifier que D a pour équation y0, 2x43,85.

c. Déterminer une approximation au centième du pourcentage de femmes ayant un emploi en 2007 d. A partir de quelle année y aura-t-il plus femmes que d’hommes ayant un emploi ?.

Exercice 2 : 10 points

Une entreprise fabrique des machines outils. Ses capacités de production, sur un an, sont telles qu'elle peut fabriquer entre 15 et 80 machines. Soit x le nombre des machines fabriquées annuellement.

Les représentations graphiques, données en annexe, sont celles de deux fonctions C et B, définies toutes deux sur l'intervalle [15 ; 80] . Pour tout x entier naturel, C(x) est le coût de production unitaire, exprimé en euros, B(x) est le bénéfice exprimé en dizaines d’euros.

Il est à remarquer que l'axe des abscisses est commun aux deux représentations, mais que deux axes des ordonnées sont utilisés ; l'un de ceux-ci sert à la lecture de C(x) et il est gradué en euros , l'autre sert à la lecture de B(x) et il est gradué en centaines d’euros.

PARTIE A. Lectures graphiques

1.a) Quel est le coût de production unitaire lorsque 25 machines sont produites? lorsque 70 machines sont produites ? b) Quelles productions correspondent à un coût unitaire de 325 euros ?

c) quel est le coût unitaire de production minimum? A quelle production correspond-il ? 2. a) Quelles productions assurent un bénéfice supérieur ou égal à 3500 euros ?

b) Quelle production assure un bénéfice maximum? Quel est ce bénéfice ? c) Quel bénéfice est obtenu lorsque la production vise le coût unitaire minimum ? PARTIE B. Etudes de fonctions

En fait, la fonction C représentée en annexe est telle que, pour tout x[15 ; 80] : 4900 ( ) 4

C x x

  x 1. a) Calculer C'(x) où C' est la fonction dérivée de C. Montrer que 4( 35)(₂ 35)

'( ) x x

C x x

 

 .

b) Etudier le signe de C' (x) sur l'intervalle [15 ; 80] . Construire le tableau de variation de C.

2. a) Montrer que le coût total de production de x machines outils, appelé C x_T( )et exprimé en euros, est égal à 4x²4900^.

b) Le prix de vente de chaque machine-outil est de 400 euros. Montrer que la fonction B représentée en annexe, est en fait définie sur l'intervalle [15 ; 80] par : B x( ) 4x²400x4900.

c) Calculer B'(x) où B' est la fonction dérivée de B. Etudier la signe de B'(x) sur l'intervalle [15 ; 80] . Dresser le tableau de variation de B.

d) Calculer le bénéfice maximal réalisé par machine produite.

e) Quel serait ce bénéfice par machine, si le chef d'entreprise décidait de produire seulement 35 machines?

(2)

Exercice 2

Coût unitaire en euros Bénéfice en dizaines d'euros

B C

Nombre des machines à produire 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 100

150 200 250 300 350 400 450 500 550

0 5

50

x y

(3)

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 -1

44,2 44,3 44,4 44,5 44,6 44,7 44,8 44,9 45 45,1 45,2 45,3 45,4 45,5 45,6 45,7 45,8 45,9 46 46,1 46,2 46,3

0 1

44 44,1

x y

(4)

Exercice 1 Partie A.

On donne le tableau suivant (source INSEE) :

Année 1996 1998 2000 2001

Nbre de femmes ayant un emploi (en milliers) 9828 9991 10418 10653 Nbre d’hommes et de femmes ayant un emploi (en milliers) 22312 22478 23262 23753

Pourcentage de femmes ayant un emploi 44,05 44,45 ^44,79 44,85

a. Pour les questions a, b et c, on utilise les proportionnalités et on fait les produits en croix. Ainsi dans la question a ,

on connaît le total et le pourcentage, on calcule ²²⁴⁷⁸ ^44,45 ^9991,4

 100  ,

22478 milliers de personnes travaillent en 1998, dont 44.45% de femmes : ainsi, le nombre de femmes qui travaillent est donné par 22478  44.45%  9991.4 soit 9991 milliers de femmes (arrondi au millier).

b. En 2000, 10418 milliers de femmes travaillent parmi 23262 actifs.

La proportion de femmes qui travaillent est donc ¹⁰⁴¹⁸ ^{0, 44785} 23262

p  soit 44.79% arrondi à 0.01%.

c. Soit n le nombre total de personnes ayant un emploi en 2001.

D’après le tableau, ^44,85 ¹⁰⁶⁵³ nE

 donc ⁿ^_0,4485¹⁰⁶⁵³ ^^23752,5 soit 23753 milliers au millier près.

d. On a : population  ^^0,16 effectif tps partiel^0,75 femmes 

donc au final on a multiplié par p0,16 0,75 0,12  soit 12 %, pourcentage de femmes ayant un emploi à temps partiel en 1996.

Partie B.

Dans cette question, on s’intéresse à l’évolution du pourcentage de femmes dans la population active depuis 1996.

Année 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003

Rang de l’année) 1 2 3 4 5 6 7 8

Pourcentage de femmes ayant un emploi

44,05 44,15 44,45 44,65 44,80 44,85 45,25 45,40 1. voir page suivante.

2. a. Les points du nuage sont « à peu près » alignés donc un ajustement affine est envisageable.

b. voir page suivante.

c. Comme 2000 correspond à x = 5, l’année 2007 correspond à x = 5 + 7 = 12. Graphiquement, une approximation au centième du pourcentage de femmes ayant un emploi en 2007

est de 46.25%.45, 25 44,45 0,8

7 3 2 0,2

  



d. D admet une équation du type ^{y a x b}^ ^ et elle passe par A(3 ;44.45) et B(7 ;45.25).

45, 25 44,45 0,8

7 3 2 0,2

  

 donc D : y0, 2x b .

Pour trouver b, on remplace par les coordonnées de A (ou B) dans l’équation : ^y^^{0, 2}^{x b}^ , on trouve 45, 25 0, 2 7  b ; b45, 25 1, 4 43,85  . ^y^^{0, 2}^x^^43,85 .D a donc bien l’équation cherchée.

e. 2007 correspond à x12. On se place donc à l’abscisse 12 sur la droite D, on lit ^y^^46,25.

On peut estimer à 46,25 le pourcentage de femmes parmi les personnes ayant un emploi en France en 2007 .

f. Il y aura-t-il plus de femmes que d’homme ayant un emploi lorsque leur proportion dépassera les 50%.

On résout donc l’inéquation ^{0, 2}^x^^{43,85 50%}^ ^{0, 2}x50 43,85 6,15  ^6,15 ^61,5 30,75

0,2 2

x  

soit ^x^^30,75 doncx31soit en 2026.

Exercice 2 Partie A

1) a) Le coût de production unitaire lorsque 25 machines sont produites et de 296 € et il est de Effectif partiel

n Pourcentage

p

Effectif N 100

(5)

b) à un coût unitaire de 325€ correspondent des productions de 20 et 61 machines.

c) Le coût unitaire minimum de production est de 280€, correspondant à une production de 35 machines.

2) a) Les productions assurant un bénéfice supérieur ou égal à 3500 € sont comprises entre 30 et 70 machines.

b) La production, assurant un bénéfice maximum est de 50 machines. Ce bénéfice est de 5100 €.

c) Lorsque la production vise le coût unitaire minimum, le bénéfice obtenu est de : 4200 € . Partie B

1) ^{C x}^{( ) 4}^x ⁴⁹⁰⁰

  x ; ^{C x}^{'( ) 4} ⁴⁹⁰⁰₂

  x ; '( ) ⁴x² ₂⁴⁹⁰⁰

C x x

  ; ^{C x}^{'( )} ⁴₂⁽^x² ¹²²⁵⁾

 x  d'où ^{C x}^{'( )} ^{4 (}^x ³⁵⁾⁽₂ ^x ³⁵⁾

x

 



b) Sur l'intervalle ^{[15 ; 80]}^{C x}^{'( )}est du signe de x35 car ⁴₂⁽^x ³⁵⁾ x  > 0.

On a donc ^{C x}^{'( ) 0}^ ssi x35 et ^{C x}^{'( ) 0}^ ssi x35. Il en résulte le tableau de variation suivant :

c) Les résultats obtenus à la question 1) c) de la partie A sont égaux à ceux du tableau de variation précédent.

2) a) Soit C xt^{( )}le coût total. On a alors ( ) ( )

C xt xC x SoitC x_t( ) 4 x²4900

b) Comme le bénéfice ^{B x}^{( )}est égal au chiffre d'affaires moins le coût de production alors : B x( ) 400 x(4x²4900) ; B x( ) 4x²400x4900

c) ^{B x}^{'( )}^{  }⁸^x ⁴⁰⁰,^{B x}^{'( )}^{ }⁸⁽^x^⁵⁰⁾ . ^{B x}^{'( ) 0}^ ssi 20 x 50 et ^{B x}^{'( ) 0}^ ssi 50 x 80 Il en résulte le tableau de variation suivant :

d) Les résultats obtenus à la question 2)b) de la partie A sont égaux à ceux figurant dans le tableau de variation précédent.

e) Le bénéfice maximal réalisé par machine produite est de ⁵¹⁰⁰ ¹⁰²

50  soit 102 €. Pour une production de 35 machines-outils le bénéfice serait de ⁴²⁰⁰ 120

35  soit 120 €.Le graphique est fait à l’aide du logiciel Sine qua non . x 15 35 80

'( )

C x  0 + ( )

C x 386,7 381,25 280

x 15 50 80 '( )

B x + 0 

( )

B x 5100

20 2500

(6)

Exercice 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

44,2 44,3 44,4 44,5 44,6 44,7 44,8 44,9 45 45,1 45,2 45,3 45,4 45,5 45,6 45,7 45,8 45,9 46 46,1 46,2 46,3

0 1

44 44,1

x y

A

B

(7)

Coût unitaire en euros Bénéfice en dizaines d'euros

B C

Nombre des machines à produire Bmax

10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 100

150 200 250 300 350 400 450 500 550

0 5

50

x y