NOM : RESPECTER LES CONSIGNES
N.B. : dans tout ce devoir, en numérotant les théorèmes, il est possible d’indiquer leurs réemplois en se référant à cette numérotation.
Exercice 1 Sans présenter aucun calcul, écrire la primitive de chaque fonction s’annulant en 0. Dans chaque cas, citer les définitions, théorèmes utilisés pour trouver le résultat.
fonction primitive théorèmes
Sur R,
f(x) = 2x3 – 4x + 1
Sur R, g(t) = -2 sin 3t
Sur R,
h(x) = 2 x 2 2 (x 4x 7)
+ + +
Exercice 2
Soit les fonctions f et g, définies sur [-0,5 ; 1,5] et telles que, pour tout x de [-0,5 ; 1,5], f(x) = 1 2
(x 1)+ et g(x) = 1 x x2 + −4 . Leurs représentations graphiques Cf et Cg sont données ci- contre (sous Derive).
On admet que les courbes se coupent en deux points dont les abscisses sont des nombres entiers et que le dessin donne tous les renseignements concernant leurs positions relatives.
1) En citant avec précision les définitions, propriétés et théorèmes essentiels utilisés, calculer le nombre d’unités d’aire de la partie du plan comprise entre Cf, l’axe des abscisses et les droites d’équation x = -0,5 et x = 1,5.
2) Quel est le nombre d’unités d’aire de la partie du plan comprise entre les deux courbes (et les droites d’équations x = -0,5 et x = 1,5) ? Le résultat sera écrit sous la forme d’un nombre rationnel (quotient de deux entiers). Seul le résultat est demandé.
3) Ecrire les équations ou inéquations à résoudre pour connaître les points de Cf
situés au-dessus de Cg.
4) Pour le lundi 13 octobre au plus tard, sur feuille : présenter une étude justifiée des positions relatives de Cf et Cg.
Eléments pour un corrigé.
N.B. : dans tout ce devoir, en numérotant les théorèmes, il est possible d’indiquer leurs réemplois en se référant à cette numérotation.
Exercice 1 Sans présenter aucun calcul, écrire la primitive de chaque fonction s’annulant en 0. Dans chaque cas, citer les définitions, théorèmes utilisés pour trouver le résultat. On notera chaque primitive à l’aide la lettre majuscule à la fonction initiale.
fonction primitive théorèmes
Sur R,
f(x) = 2x3 – 4x + 1 Sur R,
F(x) = x4/2 - 2x2 + x
Sur R,
g(t) = -2 sin 3t Sur R,
G(t) = 2cos3t 2 3
−
Sur R,
h(x) = 2 x 2 2
(x 4x 7)
+ + +
Sur R,
H(x) = x(x 4)2 14(x 4x 7)
+ + +
Exercice 2
Soit les fonctions f et g, définies sur [-0,5 ; 1,5] et telles que, pour tout x de [-0,5 ; 1,5], f(x) = 1 2
(x 1)+ et g(x) = 1 x x2 + −4 . Leurs représentations graphiques Cf et Cg sont données ci- contre (sous Derive).
On admet que les courbes se coupent en deux points dont les abscisses sont des nombres entiers et que le dessin donne tous les renseignements concernant leurs positions relatives.
5) En citant avec précision les définitions, propriétés et théorèmes essentiels utilisés, calculer le nombre d’unités d’aire de la partie du plan comprise entre Cf, l’axe des abscisses et les droites d’équation x = -0,5 et x = 1,5.
Soit U le nombre d’unités cherché.
La fonction f est positive sur [-0,5 ; 1,5] (Th.1) donc (th.2) U = F(1,5) – F(-0,5) où F est une primitive de f sur [-0,5 ; 1,5].
Or sur [-0,5 ; 1,5], F(x) = 1
−x 1
+ est une primitive de f sur [-0,5 ; 1,5], car (th.3, th4, th.5) F’(x) = 1 2
(x 1)+ sur [- 0,5 ; 1,5].
Par suite U = 1 1 8
1,5 1 0,5 1 5
− + =
+ − +
Th.1 : un quotient de deux nombres positifs est positif.
Th.2 : si une fonction f est positive sur [a ; b], et si F est une primitive de f sur [a ; b], alors le nombre d’unités d’aire U de la partie du plan délimitée par Cf, l’axe des abscisses et les droites d’équations x =a et x = b est donné par U = F(b) – F(a).
Th.3 : F est une primitive de f signifie F’ = f.
Th.4 : (ku)’ = ku’ (k constante, u fonction) Th.5 : (1/u)’ = -u’/u2.
6) Quel est le nombre d’unités d’aire de la partie du plan comprise entre les deux courbes (et les droites d’équations x = -0,5 et x = 1,5) ? Le résultat sera écrit sous la forme d’un nombre rationnel (quotient de deux entiers). Seul le résultat est demandé.
11/10
7) Ecrire les équations ou inéquations à résoudre pour connaître les points de Cf
situés au-dessus de Cg.
Trouver les x de [-0,5 ; 1,5], tels que 1 2
(x 1)+ ≥ 1 x x2 + −4 .
8) Pour le lundi 13 octobre au plus tard, sur feuille : présenter une étude justifiée des positions relatives de Cf et Cg.
