Exercice n °6 sur les suites

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Exercice n °6 sur les suites

Exercice 6: ( avec solution )

Soit la suite numérique définie par :

 

0

1

9 2

6

2

n n

n

U

U U n IN

 U

 

 

   

 

1- Montrer que :



 n IN



Un ¹ 2- Soit la suite numérique définie par :

^{V 2}  

3

n n

n

U n IN

U

   



a)

Montrer que est une suite géométrique, puis écrire

V

_n en fonction de n.

b)

Ecrire

U

_n en fonction de n. et Calculer lim _n

n U



Correction Exercice 6

1- Montrons par recurrence que :



 n IN



Un ¹ .

∎ Initialisation pour n=0 on a ₀ 9

U  2 donc U₀ 1

∎ Hérédité

Supposons que pour nIN on a :

U

_n

 1

et montrons que :

U

_n1

 1

1ére méthode : On calcule

U

_n1

 1

 

1 1

1

1

6 2

1 6 1 1

2 2

1 4 0 2

1

n n

n

n n

n n

n

n n

U U

U U U

U U

U U

U

 





  

      

 

   



 

2éme méthode : On a :

1 1

1

1

6 4 2

2 2

1 4 2

: 1 1 4 1

2 1

n n

n n

n n

n

n

n

n n

U U

U U

U U

U U

Or U

U U

 





  

  

 

  



   



 

Conclusion : On a montré par récurrence que :

   n IN  U

n

 ¹

2- On a :

²  

3

n n

n

V U n IN

U

   



 

Un

 

Vn

 

Vn

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 

1 ¹

1

2

3

n n

n

n IN V U

U

 



   



 

   

 

1

1

6 2

2

6 3

2

6 2 2

6 3 2

n n n

n n

n n

n

n n

U n IN V U

U U

U U

n IN V

U U





 

     



  

   

  

 

   

 

1

1

1

2

12 4

2

4 3

1

4

n n

n n n

n

n n

n IN V U

U n IN V U

U

n IN V V







    



     



    

D’où

  V

n est une suite géométrique de raison

1

q   4

et de premier terme : ⁰

0 0

0

9 2

2 2 = 9 4 1 = 1

3 9 9 6 3 3

2 3

V U V

U

  

  

  

.

On a :

 

^{1 1}

3 4

n

n IN Vn  

     

     

   

 

) 2 3 2

3

1 3 2

2 3

1

n

n n n n

n

n n n

n n

n

b n IN V U n IN V U U

U

n IN U V V

n IN U V

V

         



      

    



 

1 1

2 3 3 4

1 1

1 3 4

n

n n

n IN U

   

     

   

   

    

 

2 1 4

1 1

1 3 4

n

n n

n IN U

 

  

   

   

    

Donc

 

2 1 4

1 1

1 3 4

n

n n

n IN U

 

  

  

   

    

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Et 1 1

lim 0 1 1

4 4

n

n car



        

   

   

 

d’où : lim _n 2

n U

 