Lycée Benjamin Franklin PTSI−2014-2015
D. Blottière Mathématiques
Feuille d’exercices n°21
Variables aléatoires sur un univers fini
Notation :(Ω,P) désigne un espace probabilisé fini.
Exercice 204
Pour tout variable aléatoireXdéfinie sur (Ω,P), on appellefonction de répartition deXla fonctionFXdéfinie par :
¯
¯
¯
¯
FX : R → [0,1]
x 7→ P(X≤x).
1. Étude des propriétés d’une fonction de répartition de variable aléatoire sur un univers fini
SoitXune variable aléatoire définie sur (Ω,P). On notex1<x2<...<xnles valeurs prises parX, rangées dans l’ordre croissant. On suppose que pour toutk∈ 1,n,P(X=xn)6=0.
(a) Sens de variation deFX
Démontrer que la fonctionFXest croissante.
(b) Système complet d’événements associé àX Justifier que :
(X=x1) , (X=x2) , ... , (X=xn) est un système complet d’événements.
(c) La fonctionFXest en escalier i. Démontrer :
∀x∈]− ∞,x1[ FX(x)=0.
ii. Soitk∈ 1,n−1. Démontrer :
∀x∈[xk,xk+1[ FX(x)=FX(xk).
iii. Démontrer :
∀x∈[xn,+∞[ FX(x)=1.
(d) Continuité deFXen tout point qui n’est pas une de ses valeurs
Justifier que la fonctionFXest continue en tout point deR\ {x1,x2,... ,xn}.
(e) Discontinuité de 1èreespèce deFXen chacune de ses valeurs et interprétation des « sauts » i. Soitk∈ 2,n. Démontrer que :
FX(xk)−FX(xk−1)=P(X=xk).
ii. Soitk∈ 1,n. Démontrer queFXest continue à droite enxk. iii. Soitk∈ 1,n. Démontrer que :
FX(x) →
x→x−k
¯
¯
¯
¯
0 sik=1 FX(xk−1) sik≥2 iv. Soitk∈ 1,n. Démontrer alors que :
FX(xk)− lim
x→xk−FX(x)=P(X=xk) (valeur du « saut » enxk).
(f) Représentation graphique deFX
i. Un repère du plan étant fixé, tracer l’allure de la représentation graphique deFX
ii. Faire apparaître les probabilitésP(X=x1),P(X=x2),... ,P(X=xn) sur le graphique précédent.
2. La fonction de répartition caractérise la loi
Soient deux variables aléatoiresX1etX2définies sur (Ω,P). On suppose que pour toutx∈X1(Ω),P(X1= x)6=0 et que pour toutx∈X2(Ω),P(X2=x)6=0. On suppose queFX1=FX2, i.e. que les deux variables aléatoires ont la même fonction de répartition.
(a) Justifier :X1(Ω)=X2(Ω).
(b) Justifier queX1etX2ont la même loi.
1
Exercice 205
Un forain possède deux roues séparées en 10 secteurs égaux. Sur la première roue il y a 3 secteurs rouges et 7 blancs et sur la deuxième, 1 vert et 9 blancs.
Un joueur lance les deux roues en même temps. Les gains sont distribués de la façon suivante :
• 3 euros si la première roue tombe sur le secteur rouge et la deuxième sur le secteur vert ;
• 1 euro si une seule des deux roues tombe sur un secteur blanc ;
• 0,5 euro si les deux roues tombent sur des secteurs blancs.
1. SoitGla variable aléatoire égale au gain obtenu.
(a) Déterminer la loi deG.
(b) Calculer l’espérance deG.
2. Le forain demande une mise initiale demeuros. On noteXla variable aléatoire égale au bénéfice du forain.
(a) Donner une relation entreX,Getm.
(b) Déterminer la mise minimale que doit exiger le forain pour que son bénéfice moyen soit d’au moins 25 centimes d’euro par partie.
Exercice 206
On lance un dé à 6 faces numérotées de 1 à 6. La probabilité de chacune des faces est proportionnelle au numéro qu’elle porte. On appelleXla variable aléatoire égale au nombre obtenu.
1. Déterminer la loi deX.
2. Déterminer l’espérance deX. 3. Déterminer la variance deX. 4. DéterminerE
µ1 X
¶ .
Exercice 207 On dispose de :
• quatre urnes de couleurs différentes : une rouge, une jaune, une verte et une bleue ;
• quatre boules de couleurs différentes : une rouge, une jaune, une verte et une bleue.
On place au hasard une boule dans chacune des urnes.
1. Donner un espace de probabilités fini (Ω,P(Ω),P) associé à cette expérience.
2. SoitXla variable aléatoire égale au nombre d’urnes qui ont reçu la boule de couleur identique à la leur.
(a) Déterminer la loi deX. (b) Déterminer l’espérance deX.
Exercice 208
Soitk ∈N∗. SoitkurnesU1,... ,Uk. Pour touti∈ 1,k, l’urneUi contienti boules blanches etk−i boules noires. On choisit une urne au hasard, de laquelle on tire une boule.
SoitXla variable aléatoire égale au numéro de l’urne sachant que la boule tirée est blanche.
1. Déterminer la loi deX. On pourra introduire la variable aléatoireU égale au numéro de l’urne dans laquelle on a tiré la boule.
2. Calculer l’espérance et la variance deX.
Exercice 209
Soitn∈N≥2. On effectue des tirages au hasard dans une urne contenantn boules numérotées de 1 àn. Un tirage consiste à extraire une boule de l’urne, la boule tirée étant ensuite remise dans l’urne.
On noteNla variable aléatoire égale au numéro du tirage au cours duquel, pour la première fois, on a obtenu une boule déjà obtenue auparavant.
1. Montrer queN(Ω)= 2,n+1.
2. Montrer que :∀k∈ 1,n,P(N>k)= Akn nk.
3. Montrer que :∀k∈ 2,n,P(N=k)=P(N>k−1)−P(N>k).
4. CalculerP(N=n+1).
5. Déduire de ce qui précède la loi deN. 6. Montrer queE(N)=
n
X
k=0
Akn nk.
2
Exercice 210
Dans chacune des expériences qui suivent, reconnaître la loi deX, calculer son espérance, sa variance et la probabilité demandée.
1. On range au hasard 20 objets dans 3 tiroirs. On noteX la variable aléatoire égale au nombre d’objets dans le premier tiroir et on s’intéresse àP(X=20) etP(X=10).
2. Un enclos contient 12 lamas et 15 dromadaires. On sort un animal au hasard. On noteX la variable aléatoire égale au nombre de bosses et on s’intéresse àP(X=1).
3. Un sac contient 26 jetons sur lesquels figurent les lettres de l’alphabet. On en tire 5 au hasard que l’on aligne afin de former un « mot » de 5 lettres. On noteXla variable aléatoire égale au nombre de voyelles dans ce mot et on s’intéresse àP(X=1).
4. Anne demande à Nathalie de lui donner un nombre entier au hasard entre 0 et 100. SoitX la variable aléatoire égale au nombre donné. On s’intéresse àP(25≤X≤75).
5. On plante au hasard 50 fleurs dans 4 massifs. On noteXla variable aléatoire égale au nombre de fleurs dans le premier massif. On s’intéresse àP(X=25).
6. On suppose que 1% des trèfles ont 4 feuilles. On cueille 100 trèfles. On noteXla variable aléatoire égale au nombre de trèfles à 4 feuilles cueillis et on s’intéresse àP(X>0).
Exercice 211
SoitXune variable aléatoire finie.
1. Montrer que siXne prend qu’une valeur, alors sa variance est nulle.
2. Montrer la réciproque, i.e. montrer que si la variance deXest nulle, alorsXne prend qu’une valeur.
Exercice 212
On considère un pointMse déplaçant sur un axe d’origineO, en partant deOet par saut d’une unité vers la droite avec probabilitép et vers la gauche avec probabilitéq(p∈]0,1[ etp+q=1), les sauts étant supposés indépendants. Le pointMfaitnsauts (n∈N).
1. SoitYnla variable aléatoire égale au nombre de sauts vers la droite. Déterminer la loi deYn, son espé- rance et sa variance.
2. SoitXnla variable aléatoire égale à l’abscisse du pointMaprès lesnsauts.
(a) ExprimerXnen fonction deYn. (b) DéterminerXn(Ω).
(c) Donner la loi deXn, son espérance et sa variance.
3. Quelle est la probabilité que le pointMsoit revenu à l’origine après lesnsauts ? Exercice 213
Soitn∈N∗et soitp∈]0,1[. On noteXune variable aléatoire réelle suivant la loi binomialeB(n,p). Les résultats deXsont affichés sur un compteur défectueux.
• SiX(ω)6=0, alors le compteur afficheX(ω).
• SiX(ω)=0, alors le compteur affiche un nombre entier au hasard entre 1 etn.
SoitY la variable aléatoire égale au nombre affiché sur le compteur.
1. Déterminer la loi deY. 2. CalculerE(Y).
3. Montrer queE(Y)≥E(X).
Exercice 214
On dispose d’une boîte contenant trois objets appelésA,BetC. Un jeu consiste en une succession de tirages d’un objet, avec remise dans la boîte après chaque tirage. À chaque tirage, le joueur gagne un euro s’il tire l’objet A, ne gagne ni ne perd rien s’il tire l’objetBet perd ce qu’il a gagné précédemment s’il tire l’objetC. Pour tout n∈N∗, on noteXnla variable aléatoire égale au gain du joueur, à l’issue dentirages.
1. Déterminer les lois deX1et deX2.
2. CalculerP(Xn=n) en fonction den, pour toutn∈N∗.
3. ExprimerP(Xn+1=0) en fonction deP(Xn=0), pour toutn∈N∗, et en déduire la valeur deP(Xn=0) en fonction den.
3
4. Soientaetndeux entiers naturels non nuls. Montrer l’égalité suivante : P(Xn+1=a)=1
3P(Xn=a)+1
3P(Xn=a−1).
5. Trouver une relation entreE(Xn) etE(Xn+1), pour toutn∈N∗, et exprimerE(Xn) en fonction den∈N∗.
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