RÉPUBLIQUE ALGÉRIENNE DÉMOCRATIQUE ET POPULAIRE Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique
École Normale Supérieure, Kouba- Alger Département de Mathématiques
MÉMOIRE
Pour l’obtension du grade de MAGISTER
SPÉCIALITÉ : MATHÉMATIQUES OPTION : ANALYSE NON LINÉAIRE
Présenté par : MOSTEFAOUI ZAHIA Intitulé
Sur quelques problèmes de minimisation liés à des fonctionnelles non quasi-convexes.
Soutenu publiquement le 07.05.2007 à l’E.N.S-Kouba devant le jury composé de
Mr. A. Mokrane Professeur E.N.S-Kouba Président.
Mr. M. Bousselsal Professeur E.N.S-Kouba Rapporteur.
Mr. S. Djebali Professeur E.N.S-Kouba Examinateur.
Mr. B.K. Sadallah Professeur E.N.S-Kouba Examinateur.
Table des matières
Notations 2
Introduction 4
1 Rappels sur les matrices et quelques notions de convexité 10
1.1 Rappels et compléments sur les matrices . . . 10 1.2 Quelques notions de convexité . . . 13 1.2.1 Enveloppes convexes généralisées d’une fonction et d’un ensemble . 19 1.2.2 Différentiabilité et sous-différentiabilité des fonctions convexes . . . 25
2 Conditions suffisantes d’existence de minimiseurs 27
2.1 Rappel sur le théorème d’existence général . . . 29 2.2 L’inclusion Du(x)∈∂K . . . 34
3 Conditions nécessaires d’existence de minimiseurs 44
3.1 La quasiconvexité stricte . . . 44 3.1.1 Théorème de non existence . . . 44 3.2 La convexité stricte dans au moins m directions . . . 46
4 Exemples et applications 58
4.1 Cas des fonctions de type f(ξ) =g λ2(ξ), ..., λn−1(ξ),det ξ
. . . 59 4.2 Surfaces minimales . . . 70
Bibliographie 78
1
Résumé
Le but de ce travail est d’étudier l’existence de minimiseurs pour quelques problèmes de type :
(P) infn
I(u) = Z
Ω
f(Du)dx, u∈uξ0 +W01,p(Ω ;Rm)o
où Ω est un ouvert borné de Rn, uξ0 = ξ0.x, x∈ Ω,¯ ξ0 est une matrice donnée de taille m×n. Du = ∂u∂xi
j
1≤j≤n 1≤i≤m
désigne la matrice Jacobienne de u, f : Rm×n −→ R est une fonction semi-continue inférieurement non quasi-convexe et Rm×n désigne l’ensemble des matrices réelles m×n.
Il est connu que si f est quasi-convexe, uξ0(x) = ξ0.x est une solution de (P). Nous nous intéréssons alors au cas où
ξ0 ∈K ={ξ∈Rm×n : Qf(ξ)< f(ξ)}.
Nous donnons des conditions nécessaires ou suffisantes pour l’existence de solutions de (P) à partir du problème relaxé associé à (P). Ensuite nous appliquons les résultats dé- montrés à un problème de surface minimale et nous démontrons l’existence de minimiseurs pour d’autre problèmes.
Mots clés :
Relaxation, Enveloppes convexes généralisées, propriété de relaxation, propriété d’aproxi- mation.
Abstract
The aim of this work is to study the existence of minimizer for some problems of the type (P) infn
I(u) = Z
Ω
f(Du)dx, u∈uξ0 +W01,p(Ω ;Rm)o
whereΩ is a bounded open subset ofRn,uξ0 =ξ0.x, x∈Ω,¯ ξ0 is a matrix of size m×n.
Du= ∂x∂ui
j
1≤j≤n 1≤i≤m
denotes the jacobian matrix, f :Rm×n −→Ris a lower semicontinuous function wich is not quasiconvex andRm×n denotes the set of all real m×n matrices.
It is know that if f is a quasi convex function, the function u0(x) =ξ0.x is a solution of (P). We interesse here to the case where
ξ0 ∈K ={ξ∈Rm×n : Qf(ξ)< f(ξ)}.
We give necessary or sufficient conditions for proving the existence of solution of problem (P) by studying the relaxed problem associated to(P). We apply this results to a vectorial problem related to minimal surface and we give some existence result for other problems.
Key words :
Relaxation, Generalized convex hulls, Relaxation property, Approximation property.
➅ ✎✠❥✃Ó
(P)
✠➢✠❏ ✎➆❐❅ ✠áÓ ➱✌❑❆❶ÖÏ❅ ✠➅➟❏✳❐ ✏é✎❑✡◗✠➟➇✌❅ ◗å➉❆✠❏➠ ❳ñ❦✳ð ✏é❷❅P❳ ñë ✑■❥❏✳❐❅ ❅ ✠❨ë ✠áÓ ✠➡❨ê❐❅
(P) infn
I(u) = Z
Ω
f Du(x)
dx, u∈uξ0 +W01,∞(Ω,Rm)o
❳ð❨♠×ð ❤ñ✏❏✠➤Ó ❩✠◗❦✳
Ω✱❳ñÔ➠
nð ◗➣❷
m✏❍❅✠❳ ✏é✠➥ñ✠➤➆Ó
ξ0✱
x∈Ω✱
uξ0(x) =ξ0·x✑■❏✡❦
✠➢➆✠✢ ➞❑✳❆✏❑
f :Rm×n−→Rð
u➞❑✳❆✎✏❏✃❐ ✏é✎❏✡❑✳ñ✏➤➟❏✡❐❅ ✏é✠➥ñ✠➤➆ÖÏ❅ ➱ ✎✑❏Ö✏ß
Du= (∂u∂xji)ij
1≤j≤n 1≤i≤m
✳
Rn✠áÓ
✳
m×n✏é✎❏✡✏➤❏✡✏➤♠❒✬❅ ✏❍❆✠➥ñ✠➤➆ÖÏ❅ ❩❆ ✠➆✠➤❐ ✠◗Ó◗❑✡
Rm×n✱❍✳✎❨♠× é❏✳ ✑❷ ⑩✜✡❐ð ❆✎❏✡✃✠➤❷ ◗Ò✏❏❶Ó
✎Õ✏æî✠❊ ❅ ✠❨❐ ✱
(P)✏é❐✌❆❶Ò✃❐ ✎➱❣ ñë
uξ0(x) =ξ0·x✎✠à❆✌✠➥ ❍✳✎❨♠× é❏✳ ✑❷
f✠à❆➾ ❅✠❳❅✌ é✎✠❑✌❅ ✠➡ð◗➟ÖÏ❅ ✠áÓ
❆î❉✡✠➥ ✠àñ➸❑✡ ú✡✏æ ✎❐❅ ✏é❐❆♠❒✬❆❑✳
ξ0 ∈
ξ∈Rm×n :Qf(ξ)< f(ξ)
