Note sur les aires des coniques planes

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N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

T ERQUEM

Note sur les aires des coniques planes

Nouvelles annales de mathématiques 1

^re

série, tome 5 (1846), p. 387-388

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(2)

NOTE

sur les aires des coniques planes.

Ellipse.

Soit cty¹ + b*x* s= ctV l'équation d'une ellipse rapportée à des diamètres conjugués faisant un angle égal à 7; soit O le centre; OA le demi-diamètre a, axe des x-, OM un demi-diamètre quelconque, x' l'abscisse et y' l'ordonnée de M ; on aura :

1 y Aire du secteur elliptique MOA = ~ ab sin 7 arc sin ~ .

2i u

Hyperbole.

**S* — b*x2 = — a*b* ; équation de l'hyperbole ; même notation que pour l'ellipse.

(3)

Aire da secteur MOA = - ab sin y log ( — \ - ~ \ 2 \a o }

x1 y1

Observation. Plus x' augmente et moins — et ~- diffèrent ; a u

donc pour x' = oo ; Taire totale asymptotique a pour expres- fiion ab sin 7 log 2 — qui doit être indépendante de ab siu 7 ;x'

a

donc cette dernière quantité est constante; propriété connue.

2. Menant l'ordonnée MP ; on a aire

1 r t'xr rf\ l

MAP = - sin 7 x'y — ab log( ^ /" ) I ' ^^{0 U r} ^ ^ °° ' le premier terme se réduit à — qui est infiniment grand,bx'*

relativement au second terme. Donc, Taire asymptotique quoique infinie, est infiniment petite relativement à Taire de Thypcrbole.

Parabole.

Soit MM' une corde de parabole ; I son milieu ; IA la por- tion de diamètre interceptée entre la corde et la courbe ; Y l'angle de la corde et du diamètre ; on a aire du segment M A M ' = - M M ' . A Ï s i n7.

o

Observation. On peut trouver ces diverses expressions d'une manière pénible par la voie élémentaire et en quelques traits de plume, par le calcul intégral : pourquoi ne pas en enseigner les principes aux élèves, principes plus faciles que le théorème de Sturm , le théorème de Cauchy, les méthodes d'éliminations etc., qu'on enseigne pourtant dans nos classes ?

Tm.