Solution de la question 427

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N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

P. C HALLIOT

Solution de la question 427

Nouvelles annales de mathématiques 1

^re

série, tome 18 (1859), p. 336-339

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SOLUTION DB U QUESTION 4 2 7

(voir t. XVII, p. 48, n* 9) ;

PAR M. P. CHALLIOT,

Élève du lycée de Versailles ( classe de M. Vannson ).

Si dans un triangle sphérique ABC on donne un angle C compris entre deux côtés variables, mais dont la somme des tangentes est constante, le lieu de la rencontre des trois hauteurs dans chaque triangle est une circonférence

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( 3 3⁷ )

de grand cercle ; si C est la somme des côtés qu'on donne constante, le lieu sera une ellipse sphérique.

(VÀNNSON.)

i°. Prenons CB et CA de façon que tangCB -f- tang C A = tangw ;

menons deux des hauteurs BP et ÀR» Soient .r, y les coordonnées sphériques d'un point n du lieu; l'équation du grand cercle sera

tangCP tangBC

Pour abréger, désignons les |tangentes par une seule lettre. Posons

tangCP = c^y tangCR = d.

L'équation du grand cercle BP sera alors

celle de Tare AR sera

Mais dans les deux triangles rectangles BCP, ACR, on a

Ann> de Maihémal , t. XVIII. (Septembre 1859.) 2 2

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( 338 ) les deux équations deviennent donc

y

T — l y

b cos 0 b

on en tire

, rcosG4-x a-cos G 4 - y

b = r "— «. a ==.

cosQ cosGG

D'après l'hypothèse , on a

a 4- b = m ; remplaçant a et b par leurs valeurs,

m cos G

î 4 - cos O

équation d'un grand cercle coupant les deux axes à une

, . i i> • • * m cos G

distance de 1 origine marquée par •

i°. Supposons que ce soit la somme des côtés qu'on donne constante,

b = m,

nous avons trouvé ci-dessus, en rétablissant les tan- gentes ,

, tang y cosO -h tang-r tancj: cos G 4- taner tang6 = —5£ Z. 2 - , tanga = — s — &£•

fo cos 0 & cos G '

portant dans l'équation

tang a t&nsb tang m = 2 2 -.,

i — tang a. tang b on aura

( t a n g j 4 - tang.r)(i 4 - cos G) cosô

* (tangycosG4-tangx)(tang-i*cos0 4- t a n g j ) ' oos'0

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( 339 ) .

en désignant les tangentes par une seule lettre ( 4 . r ) ( -4-cosQ)cos0 cos29 — xjr(i -f-cos2ô)—(x7 -hy2) cosô équation du deuxième degré. Donc le lieu demandé est

une ellipse sphérique.