Note sur l'emploi des imaginaires dans la recherche des fonctions primitives de quelques fonctions dérivées

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N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

H ENRI M ARTIN

Note sur l’emploi des imaginaires dans la recherche des fonctions primitives de quelques fonctions dérivées

Nouvelles annales de mathématiques 2

^e

série, tome 2

(1863), p. 57-60

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NOTE

Sur Femploi des imaginaires dans la recherche des fonctions primitives de quelques fonctions dérivées ;

PAR M. HENRI MARTIN,

Élève en mathématiques spéciales (institution Barbet).

Exemple Ier. — Considérons la fonction dérivée

i

s\ l I , - . I

O n a — = 1 = • Mais • est

le produit de -j=-= par la dérivée de arc sin(or^^T). Donc la fonction primitive de —=== est représentée par

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( 5 8 )

La question est donc ramenée à évaluer celte dernière fonction.

Or, de la formule d'Euler :

ï= cos y -f- Sj^ y

on tire •

L(cos7-h y/—i sinj)

y • = = = , V — i

et, en posant

sin/ ~ x\j—i, il vient

L(y/,_4_.r*-_ x) arc sin x y— i = —--— : , d'où

arc sin x J—i , ,^N

si— i

Par conséquent la fonction primitive cherchée est

Exemple IL — Soity/i-f-^2 la dérivée proposée.

En remplaçant x par a: y/—1⁹ elle devient y⁷1 — a:², expression de l'ordonnée correspondante à l'abscisse x dans le cercle y* -f- .r¹ = i . Il en résulte que \/i —a?⁸ est la dérivée du segment de cercle compris entre Taxe des y et l'ordonnée correspondante à l'abscisse .r, seg- ment qui est égal à

— [xsj\ — x³ -}-arc sin.r).

2 "

D'où il suit que y/i •+• x* est la dérivée de {xj—i . v^i H-^i2-{- arcsin.r^'—i)

a r c à n W — 1 \

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Mais

donc la fonction primitive de \Ji-hx* est

Exemple III. — Considérons la fonction dérivée L(i-+-**).

On a

=r L ( I -h ^ V^{3 7}

Or, la fonction primitive de [ L / ( x ) ] / ' ( x ) est, comme on s a i t , ƒ ( X ) . L / ( J C ) — ƒ ( # ) -hC^donc^ en négligeant les constantes, la fonction primitive de

sera

L [ ( i 4- * y⁷" •^L (

— ( î — x \ ] — I ) L ( I — xsj—i)—x\l—ij»

ou

(î — xy/^T)] — ix.

Si nous remplaçons L(i -t-x >J—î )i L(i —xsl—î )? par leurs expressions connues :

L(y/i -fx') H- v^—î arctangx, L ( \ / Î -4- .r2) — ^ — î arclangjr,

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( 6 o ) la fonction obtenue devient

" (2 \/—1 arc tangue) -h x ( 2 . L y/i 4- x') — 2 ^ , ou

2.arc tangx-h;r.L(i 4- J:2) ~ qui est la fonction primitive cherchée.