Cadre bayésien markovien pour l’estimation de la HRF et la détection des activations en IRM fonctionnel

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Cadre bayésien markovien pour l’estimation de la HRF et la détection des activations en IRM fonctionnel

Alexandre Janon

To cite this version:

Alexandre Janon. Cadre bayésien markovien pour l’estimation de la HRF et la détection des activa-

tions en IRM fonctionnel. Traitement du signal et de l’image [eess.SP]. 2009. �hal-00831300�

la HRF et la détetion des ativations en IRM

fontionnel.

Rapportdu stage de Master reherhe 2ème année Mathématiques

appliquéeseetué à l'INRIARhne-Alpesetau G.I.N. (Grenoble Institut

des Neurosienes) sous ladiretionde Florene ForbesetMihelDojat.

1 Introdution 3

1.1 Résumé . . . 3

1.2 Présentation des équipesd'aueil . . . 3

1.3 Présentation de l'imageriepar résonane magnétique . . . 4

1.4 Problèmes posés par letraitement des données IRMf . . . 6

1.4.1 Quantité de données àtraiter . . . 6

1.4.2 Bruit . . . 6

1.4.3 Faiblesse de l'eet BOLD . . . 7

1.4.4 Filtragedu signal . . . 7

2 Analyse des signaux en IRMf 9 2.1 Modélisationdu signal (GLM) . . . 9

2.2 Contrastes entre onditions. . . 10

2.3 Approhe standard par tests . . . 10

2.4 Lissage spatial . . . 11

2.5 Approhe bayésienne . . . 12

2.5.1 Champs de Markov . . . 13

2.5.2 Inférene . . . 14

2.6 Modélisationet estimation de la HRF . . . 16

3 Première approhe : modèle Gamma-Gamma-Gaussien et ICM 19 3.1 Modélisationbayésienne . . . 19

3.2 Estimationdes paramètres . . . 22

3.3 Inférene ICM . . . 23

3.3.1 Algorithmed'inférene . . . 23

3.3.2 Mise àjour de

h

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23}

3.3.3 Mise àjour de

a

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25}

3.3.4 Mise àjour de

z

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27}

3.3.5 Initialisation. . . 27

3.3.6 Algorithmenal . . . 29

3.4 Simulationde données . . . 29

3.5 Evaluation de l'approhe . . . 30

3.5.1 Evaluation de l'estimation/détetion . . . 30

3.5.2 Evaluation de l'estimation de la HRF . . . 36

3.5.3 Evaluation sur des données réelles . . . 43

variationnel 47

4.1 Loia posteriori des

z

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47}

4.2 Loia posteriori des

a

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50}

4.3 Comparaisonde onditions . . . 51

4.3.1 Contraste . . . 51

4.3.2 Divergene KL . . . 51

4.4 Estimationde

h

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51}

4.5 Estimationde

β 1

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53}

5 Troisième approhe : modèle auto-gaussien 53 6 Conlusion et perspetives 54 6.1 Conlusion . . . 54

6.2 Extensions possibles . . . 54

6.2.1 Meilleure prise en ompte du bruit . . . 54

6.2.2 Estimationde laHRF par zones . . . 54

A Première implémentation 57 A.1 Desription . . . 57

A.2 Format de hier de design . . . 58

A.2.1 Paramètres . . . 58

A.2.2 Conditions . . . 59

A.2.3 Exemples de hier de design . . . 59

B Deuxième implémentation 59

1.1 Résumé

Danse mémoire,nous présentons d'abord brièvement l'imageriepar ré-

sonanemagnétiquefontionnelle,etnousdégageonslesdiultésposéespar

letraitementstatistiqueautomatisédesimagesobtenuesparettetehnique.

Puis nous présentons quelques unes des méthodes existantes, se basant sur

un modèle xe de la HRF, pour un tel traitement. La ontribution de e

mémoire onsiste en la proposition d'une méthode bayésienne pour estimer

la HRF et prendre en ompte la orrélation spatiale des ativations via un

modèle markovien. Après la desription de ette méthode, nous l'évaluons

sur des données simuléesetréelles,etnous terminonsen présentant desaxes

possiblesd'extension.

1.2 Présentation des équipes d'aueil

Cestage dereherhe s'estdérouléauseinde deux équipesde reherhe :

l'équipe MISTIS, dépendant de l'INRIA Rhne-Alpes, dont l'objetif

est de développer des méthodes statistiquesadaptées à l'étudede phé-

nomènes, de modèles et de données omplexes, ave pour orientations

appliativesprivilégiéesle traitement d'imageset de données spatiales

dans les domaines biomédiaux et industriels; l'approhe de l'équipe

est basée sur l'introdution de la notionde struture dans lesmodèles

et dans les données; les thèmes de reherhe sont les suivants : les

modèles de mélange, les modèles markoviens, et les méthodes semi et

non-paramétriques.

l'équipe 5 (Neuro-imagerie Fontionnelleet Métabolique) de l'Institut

des Neurosienes de Grenoble, qui s'intéresse aux appliations bio-

médiales in vivo de la résonane magnétique nuléaire (RMN). Les

travaux, eetués tant sur l'homme que sur petit animal (rat, souris),

visent audéveloppement,àl'évaluationetàl'exploitationdu potentiel

en neurosienes liniques, biologiques et ognitives de l'ensemble des

méthodes de neuroimageriepar RMN. Les travaux ont été développés

autourde troisthèmesdereherhe:lamiro-vasularisationérébrale,

le métabolisme érébral et l'IRM fontionnelle (IRMf) des ativations

érébrales.

tique

L'IRM (imagerie par résonane magnétique) est une tehnique non in-

vasive permettant d'obtenir une image en trois dimensions d'une partie du

orps. Elleest basée sur lamesurede laréponse de lazone étudiéeàl'appli-

ation d'un hamp magnétique de forteintensité (atuellement entre 2 et 4

T),ladistintionentredeuxmilieuxdiérentsétantfondéesurleursréponses

diérentes.

Cette tehnique peut être utilisée pour produire une vue 3D du erveau

oùsontdistinguésmatièregrise,matièreblanheetliquideéphalo-rahidien,

aveunerésolutiondel'ordredumillimètre;onparlealorsd'IRManatomique

érébrale. Voiren Figure1 pour un exemple d'image obtenue.

Une autre appliation de l'IRM, plus réente, est la mesure de l'ativité

du erveau au ours du temps. Elle se base sur la diérene de réponse

magnétique entre une moléuled'hémoglobineoxygénée etune désoxygénée.

Lorsqu'unneuroneestativé,l'auxsanguinautourdeeneuroneaugmente,

e qui se traduit par l'augmentation de la onentration en hémoglobine

oxygénée et don par une modiation du signal IRM observé. Ce prinipe

se nomme eet BOLD (pour blood-oxygen-level-dependent)et est à la base

de l'IRM fontionnelle (en abrégé IRMf). En IRMf, les aquisitions sont

répétées au ours du temps; la durée entre deux aquisitions étant le temps

de répétition (TR), de l'ordre de deux à trois seondes; voir Figure 2. An

d'avoirunrapportsignal-sur-bruitsusant,unerésolutionspatialedel'ordre

de 3millimètresest utilisée.

Laoneptiond'uneexpériened'IRMfonsisteàdénirdiérentesondi-

tions qui sont répétées suessivement. Ces onditions sont la réalisationde

diérentestâhes motriesouognitives(bougerlesdoigtsde lamaindroite,

omparaison d'objets...) ouenoreune ondition nulle(de ontrle).Par

exemple, lorsd'uneexpériene sur lavisiondes ouleurs, onpeutalternerla

présentation d'une image en niveaux de gris (ondition A), la présentation

d'une image en ouleurs (ondition B) ou une ondition C de repos (ondi-

tionnulle).Chaqueonditionpeutêtreprésentéeplusieursfoisauoursd'une

session, etdurantun tempsplus ou moinslong; par exemple laondition A

peut être présentée pendant 5 seondes, puis la B pendant 3 seondes, la C

pendant 10 seondes, ensuite la B pendant 7 seondes, et. La desription

des intervallesdetempsdurantlesquelshaque onditionestativeonstitue

le design de l'expériene.

L'analyse fontionnelle des données issues de l'expériene onsiste alors

en la déterminationdes zones du erveau ativées lorsde haune des dié-

rentesonditions,etlaomparaisondesativationsorrespondantauxondi-

Fig. 2: Les données IRMf sont en quatre dimensions : la zone étudiée est

déoupée en petits ubes (d'environ 3 millimètres de té) appelés voxels;

en haque voxel on dispose d'un déours temporel (à droite) représentant

l'évolutiondu signal BOLD mesuréau oursdu temps.

ouleurs, on peut vouloir déterminer les zones impliquées dans la vision en

général (onditions A et B ontre ondition C) ou les zones atives dans la

vision des ouleurs (ondition A ontre B).

Ces expérienes permettent d'améliorerla ompréhension du fontionne-

mentdu erveau; ellesont égalementdes appliationsliniques,tellesquela

délimitation des aires visuelles ou motries pour préparer une intervention

hirurgiale.

1.4 Problèmesposés parletraitement desdonnées IRMf

1.4.1 Quantité de données à traiter

De part leur nature quadri-dimensionnelle, les données reueillies lors

d'une expériene d'IRMf sont relativement volumineuses. A titre d'exemple

réaliste,onsidéronsune sessionde 360 seondes omportantune aquisition

toutes les3 seondes, etune zone d'aquisition étantun pavé de dimensions

20 m, 20m et 10 m, ainsi qu'une résolution spatiale de 3 millimètres;si

l'on suppose que lesmesures sontstokées sous formede oat (2 otets),les

données àtraiter, pour un seul sujet, ont une taillede

360 × 200 × 200 × 100

3 × 3 × 3 × 3 × 2 ≈ 34

^Mo.

Cettetailleestàmultiplierparlenombredesujets,uneétudeognitiveétant

rarement menée sur un seul sujet.

L'importane du volume des données impose l'utilisation de tehniques

spéiques pour eetuer letraitementdes données.

1.4.2 Bruit

Le signal reueilli en IRM est bruité de manière importante, les soures

de bruit inluant:

lebruitgénéréparlamahine(bruitthermique,manqued'homogénéité

de l'aimantproduisantle hamp magnétique...);

le bruit physiologique,dû auxartefats ardio-respiratoires;

lebruitognitif,dûauxsouresde distrationdupatientdurant

l'expériene (stimuliindésirables,endormissement du patient...);

A signaler également, même s'ils ne sont pas à lasser dans les bruits ,

lesartefatsgénérés parlespré-traitementsappliquéssur lesdonnéesbrutes,

tels que:slieorretion (orretiondu faitquelesdiérentesoupesnesont

pas aquisesaumêmemoment)oulaorretiondes mouvementsdu patient.

L'auxsanguinproduitunevariationdusignalIRMmesurémaiselle-i

est relativement faible (de l'ordre de 1 à 2%) par rapport ausignal mesuré

aurepos(sansauxsanguin).End'autrestermeslaprésenedemoléules

d'oxyhémoglobine dûe à une ativation spéique ontribue peu au signal

observé.

1.4.4 Filtrage du signal

Lors de l'ativation d'un neurone,le débitsanguinne passepas brusque-

ment du niveau zéro au niveau maximal, mais augmente progressivement;

un délai d'environ 5 à 6 seondes est néessaire pour qu'il atteigne le ni-

veau maximal. De même, lors d'une désativation, le débit met un temps

importantà redesendre auniveau de repos.

Dans un voxel ativé par une ondition donnée, lesignal BOLD attendu

est donlaonvolutiondelafontionindiatriedelaonditionaveunltre

appeléfontion de réponse hémodynamique (HRF).

La fontion de réponse hémodynamique n'est pas onnue; de plus elle

varie selon les individus, et suivant la zone du erveau, au sein d'un même

individu. Cependant elle reste toujours, pour un sujet adulte et en bonne

santé, relativementprohe de laHRFanoniqueprésentée enFigure3.Pour

des sujets très jeunes oupathologiques (par exemple les patients ayant subi

un aident vasulaireérébral, oueux sourantd'épilepsie), lafontion de

réponse hémodynamique peut être assez éloignée de ette HRFanonique.

Pour plus de généralités sur les signaux IRMf, on pourra se reporter à

l'ouvrage [13℄.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 10 20 30 40 50 60

(a)Fontion indiatried'uneonditionexpérimentale.

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

0 5 10 15 20 25 30

(b)Fontionderéponsehémodynamique.

()SignalBOLDattendudansunezoneativéeparetteondi-

tion.

Fig. 3

2.1 Modélisation du signal (GLM)

Le signal IRM mesuré est modélisé par une olletion de veteurs

y i = (y _i1 , . . . , y _iT )

^,

i = 1, . . . , J

^(où

J

^{est le nombre de voxels omposant l'image}

traitée et

T

^{la durée de} l'expériene), vériant l'équation suivante, appelée GLM pour GeneralLinear Model :

∀ i = 1, . . . , J y i = X M m=1

a im (x m ⋆ h) + n i 1 + ǫ i

⁽¹⁾

où :

l'indie

m

^{désigne une des onditions} expérimentales, et

M

^{désigne le}

nombre de es onditions;

le réel

a _im

^{est leniveau de réponse du voxel}

i

^{àla ondition}

m

^;

leveteur

x m

^{est leveteurbinaireindiateur des instantsoùlaondi-}

tion

m

^{est ativée (onsets) :}

x m,t = 1

^{si 'est le as à l'instant}

t

^{, et}

x _m,t = 0

^sinon;

leveteur

h

^{est un} éhantillonagede lafontionde réponsehémodyna- mique, de sortequelaonvolution

x m ⋆ h

^{ontiennelaréponseatten-}

dueillustréeenFigure3;ilestànoterquelapérioded'éhantillonage

de

h

^{peut être inférieure au temps de répétition TR, an} d'améliorer le alagedes onsets qui ne sont pas forémentdes multiplesdu TR;

le veteur

1

est leveteur de dimension

T

^{ne ontenantque des 1,}

n _i 1

représente don la omposante ontinue du signal, qui n'est dûe

à auune des onditions prévues dans l'expériene; ertains modèles

inluent de la même manière des omposantes basses fréquenes

(drifts) dûes aux mouvements lents du patient, aux artefats ardio-

vasulaires, àla respiration, ainsi qu'aux dérivesde l'appareild'aqui-

sition (f. [14℄, hapitre 2,Ÿ4.3).

le veteur

ǫ i

^{est leveteur des résidus; le modèle le plus simple (bruit}

blan gaussien) suppose

(ǫ i ) i=1,...,J

indépendants, suivant une loi nor- male

N (0, σ ² I T )

^(où

I T

^{désigne la matrie identité}

T × T

^{); ette hy-}

pothèse, peu réaliste, est souvent remplaée par elle d'une olletion

(ǫ i ) i=1,...,T

^{de séries} hronologiques indépendantes suivant haune un modèle AR(1)gaussien (f [26℄).

L'équation 1peut s'interpréter omme une régression linéairemultiple :

y i = X e a i + ǫ i

où

y i

^{estlavariableexpliquéeetlamatrie}

X

^{,supposéedepleinrang(}

M +1

^),

la matriedes variablesexpliatives :

X =



 

 

 (x ₁ ⋆ h) | (x ₂ ⋆ h) | . . . | 1



 

 



et

e a i

^{est le veteur ontenant les paramètres}

e a _i =



 

 

  a i1

a i2

.

.

.

a im

n _i



 

 

 

Lorsque

X

^{est onnue, es paramètres peuvent être estimés par la méthode}

des moindres arrés :

e a b i = (X ^T X) ⁻¹ X ^T y i

σ b ² = P

i

y i − X e a b i

² T − (M + 1) − 1

2.2 Contrastes entre onditions

La déterminationdes zones ativées par une ondition expérimentale en

omparaison d'une autre sefait en alulant pour haque voxel l'eet

b

γ i = c ^T a b i

où

a i = (a i1 , . . . , a im ) ^T

^et

c

^{est le veteur des ontrastes, qui indique les}

onditions expérimentales que l'on veut omparer. Par exemple si l'on sou-

haiteomparerleszonesativéesparlaondition1parrapportàlaondition

3, on prendra

c = (1, 0, − 1)

^{;pour omparer la ondition 1 ave lamoyenne}

des onditions 2et 3,on hoisira

c = ( − 1, 0.5, 0.5)

^.

2.3 Approhe standard par tests

Une fois l'eet

γ b i

^{alulé (phase} d'estimation), il reste à déterminer si elui-ieststatistiquementsigniatifounon(phasede détetion).Pourela

on utilise un test statistique, visant à omparer l'hypothèse nullele voxel

n'est pas ativé ontre l'hypothèse levoxel est ativé.

t

-statistique:

t j = γ b _i b

σ p

c ^T (X ^T X) ⁻¹ c

qui,sous l'hypothèsenulle, suituneloide Student à

M + 1

^{degrésde libertés}

(f. [6℄, hapitre7).

Les statistiques

t j

^{étant alulées pour haque voxel, on obtient une}

SPM (statistial parameter map) qui donne le niveau de signiativité

du ontraste mesuré dans haque voxel.Il fautalors hoisir une valeur seuil

en dessousde laquelle un voxel est onsidéré omme non signiatif.

Le hoix de ette valeur seuil est rendu diile par le fait que des tests

multiples sont eetués. En eet supposons que nous utilisions sur haque

voxel un test possédant un risque de première espèe (faux-positif)

α

^{; si}

nous eetuons e test

n

^{fois le nombre moyen de} faux-positifs détetés sera de

nα

^{. Par exemple supposons}

α = 0.05

^et

n = 10 ⁴

^{(nombre réaliste de}

voxels dansune image),ily aura en moyenne 50faux-positifsdétetés. Pour

résoudre eproblème,uneorretionpossibleestlaorretiondeBonferroni,

qui néessite d'utiliser un test ave un risque de première espèe

α/n

^pour

obtenirunniveaude risqueglobalmajorépar

α

^{,ettebornepouvantêtre}

atteintedans leas oùlestests sont indépendants.Cette orretion est trop

onservative dans le as qui nous intéresse ar les tests sont loin d'être

indépendants : lesativations ontlieu dans des zones ontigües de plusieurs

voxels, et lerésultat d'un test sur un voxel est très orréléave les résultats

destestssurlesvoxelsvoisins.Pourteniromptedeettedépendane,ondoit

abandonnerlestestsvoxelparvoxeletonsidérerlaSPMdanssonensemble,

en la modélisant omme un hamp gaussien (gaussian random eld, GRF);

f. [6℄, hapitre14.

Pour plus de généralités sur l'approhe GLM, on pourra se reporter à

l'ouvrage [13℄.

2.4 Lissage spatial

Préalablement à l'estimation des paramètres dans l'équation 1, on ap-

pliquegénéralementunlissagede l'image,and'augmenterlerapportsignal-

sur-bruit (SNR), auprix d'une détériorationde la résolution spatiale.

Uneméthode de lissagelassique est laonvolutionave une gaussienne;

ependant ils existe d'autres lissages dits adaptatifs, qui tiennent mieux

ompte des ontours de l'image, tels que l'algorithme PS (propagation-sé-

paration), f. [20℄ et [19℄.

Parrapportàl'approhe lassiqueévoquée i-dessus, uneapprohe bayé-

sienne présente lesavantages suivants:

une gestion élégante des inertitudes : en partiulier une analyse

bayésienne donne une distribution a posteriori qui possède une inter-

prétation intuitive (à omparer ave l'interprétation plus déliate des

niveaux de risques dans lestests et des intervalles de onane en sta-

tistique lassique);

unadrethéoriquebienadaptépourintégrerdesonnaissanes apriori

(par exemple anato-fontionnelles)onernant le signalà traiter,amé-

liorantla préisiondes résultats fournis;

des méthodes de hoixde modèles (Bayes fator).

Pourplus d'informationssur l'apportdesméthodesbayésiennes en IRMf,on

pourraonsulter [24℄.

Dans une approhe bayésienne, on onsidère les paramètres

Θ = (θ i ) i

omme des variables aléatoires, dont onspéie la loi

p(Θ)

^{, qui modélise la}

onnaissanesur lesparamètresquel'onaavantd'observerlesdonnées, d'où

son nom de loi apriori. On spéie également une vraisemblane

p((y k ) k | Θ)

qui modélise leomportementdes données une fois les paramètresonnus.

L'inférene bayésienne onsiste à aluler (ou, tout au moins, onnaître

ertainesaratéristiques,ommele(s)mode(s),lamoyenne,lavariane,...)

la distribution a posteriori

p(Θ | (y _k ) _k )

^{, qui dérit la onnaissane que l'on a}

sur lesparamètresune foisque l'onaobservélesdonnées. Cettedistribution

est donnée par larègle de Bayes:

p(Θ | (y k ) k ) = p((y k ) k | Θ)p(Θ)

p((y k ) k ) = p((y k ) k | Θ)p(Θ)

R p((y k ) k | (θ i ) i )d((θ i ) i )

⁽²⁾

Un modèle purement bayésien onsidère tous les paramètres omme des va-

riables aléatoireset leur donne une loia priori, mais un modèle peut tout à

fait ontinuer à traiter ertains paramètres omme de vrais paramètres,

sans leur donnerde loisa priori. Ces derniers paramètres sont alors estimés

de manièrelassique, par exemple par maximum de vraisemblane.

Un inonvénient des méthodes bayésiennes est que l'intégrale gurant

dans (2)est souventinalulableanalytiquement,etun alulnumériqueap-

prohé est souventinfaisable,omptetenude ladimensionde etteintégrale

(quiest égale auxnombrede paramètres). Laloia posteriori est dans e as

onnue à une onstante multipliative près, et il faut alors avoir reours à

des méthodes partiulières, dont ertaines seront déritesen setion2.5.2.

Lesignalmesuré en IRMfest très orréléspatialement,puisque leszones

ativées s'étendent sur plusieurs voxels. Tenir ompte de ette dépendane

spatialepermetd'amélioreronsidérablementladétetion etl'estimationdes

ativations. Dans ette partie, nous dérivons une manière de tenir ompte

de ladépendane spatiale entre les voxels.

Champs de Markov et lois de Gibbs. Soit

V

^{un ensemble (ni) de}

points appelés sites. On se donne un graphe

G

^{non orienté, sans boule,}

dont lessommets sont leséléments de

V

^{.Pour un site}

v ∈ V

^{,on note}

N (v)

l'ensembledes voisins de

v

^{,'est àdirel'ensembledes sitesreliés à}

v

^{par une}

arête de

G

^{. Comme}

G

^{n'apas de boule,un sommetne peut être sonpropre}

voisin.

Une olletion

(Z v ) v∈V

^{de variables aléatoires est un hamp de Markov}

sur

G

^{sila loi}onditionnellede

Z v

^sahant

Z v ^′

^pour

v ^′ 6 = v

^{est égale à la loi}

onditionnelle de

Z _v

^sahant

Z _v ^′

^pour

v ^′ ∈ N (v)

^{. Le graphe}

G

^{donne don}

l'informationsur lesinterations possibles entre lesvariables

(Z v )

^.

Uneloi de Gibbs sur

G

^{est une loidontla densitése fatorisesuivantles}

liques de

G

^{,i.e. une loidont ladensité}

p

^{est de la forme:}

p(z 1 , . . . , z |V | ) ∝ Y

C∈C(G)

V C (z v ; v ∈ C)

⁽³⁾

oùonanoté

C (G)

^{l'ensembledes liques de}

G

^{, unelique étantun ensemble}

maximal de sites deux à deux voisins. Lesfontions

V C

^{sontappelées poten-}

tiels de Gibbs.

Ilest failede vérier quesi

(Z v ) v

^{suit uneloide Gibbssur}

G

^{,alors 'est}

un hamp de Markov sur

G

^{. Laréiproqueest égalementvraie, si ladensité}

de laloide

(Z v ) v

^{est stritementpositive(théorèmede} Hammersley-Cliord, f. [3℄, [1℄).

Modèle de Potts Un exemple important de loi de Gibbs est donné par

le modèle de Potts dans lequel toutes lesliques sont d'ordre2 etoù haque

variablepeut prendre un nombre ni de valeurs appelées lasses et oùpour

haque lique

C = { v, v ^′ }

^{, supposée d'ordreau plus égal à 2, lepotentiel de}

Gibbs est donnépar

V C (z v , z v ^′ ) = exp( − 2βδ(z v , z v ^′ ))

⁽⁴⁾

soit enore

p((z v ) v ) ∝ exp



 − β X

v

X

v ^′ ∈N (v)

δ(z v , z v ^′ )





⁽⁵⁾

où

δ

^{désigne le} omplémentaire du symbole de Kroneker :

δ(x, y) = 0

^si

x = y

^et

δ(x, y) = 1

^{sinon, et}

β > 0

^{est un oeient rendant ompte de la}

foredesinterationsentrelesdiérentssites.Dansemodèle,deuxvariables

voisines ontune probabilitéd'êtreégales d'autantplus importanteque

β

^est

grand.

Modèle auto-gaussien Un autre exemple de loi de Gibbs, toujours ave

des liques d'ordre 2, mais ave ette fois-i des variables ontinues, est le

modèle auto-gaussien, oùlaloi onjointedes

(Z v ) v

^{est :}

p((z v ) v ) ∝ exp



 − β X

v

X

v ^′ ∈N (v)

(z v − z v ^′ ) ²





⁽⁶⁾

Le oeient

β > 0

^{est toujours un oeient traduisant la forede l'inter-}

ation entre deux variablesvoisines.

Modélisation de l'interation spatiale entre les voxels. Lors du

traitement bayésien d'uneimage IRMf,un modèle de Potts peut être utilisé

omme a priori régularisantde lamanièresuivante: lessommetsdu graphe

dedépendanesontlesvoxelseux-mêmes,leslassessont{ativé,nonativé}

etlesvoisinsd'unvoxelsontses6voisinsausensphysique(enhaut,enbas,à

gauhe, àdroite,en avant,en arrière).L'équation(5)rendalorsbienompte

du fait que siun voxel est ativé (resp.non ativé), alorsses voisins ont une

probabilité importanted'être ativés (resp. non ativés). Ce modèle permet

dond'eetuersimultanémentlalassiationdesvoxelsetlarégularisation

spatiale. Nousutilisons e modèle dans nos deux premières approhes.

Notre troisième approhe ne lassie pas les voxels, mais impose une

régularisation spatiale diretement au travers du prior auto-gaussien utilisé

sur les niveaux de réponse

a _im

^{, ave le même graphe de dépendene que}

i-dessus.

2.5.2 Inférene

Dansettepartienousprésentonsquelques méthodesd'inféreneutilisées

pour obtenirdes informationssur une loi a posteriori

Θ | y

⁽

Θ

^{est l'ensemble}

desparamètreset

y

^{sontlesdonnées}observées),dontladensitéestonnue seulementàuneonstantemultipliativeprès,ainsiquedéritdanslasetion

2.5.

Monte-Carlo onsistent en la simulation d'un éhantillon de la loi a poste-

riori, puis du alul des aratéristiques de ette loi (moyenne, variane,

histogramme...) à partir de l'éhantillon simulé.

L'algorithme utilisé pour la simulation de l'éhantillon est l'algorithme

de Metropolis-Hastings (f. [7℄), dont l'éhantillonnage de Gibbs est un as

partiulier. Cet algorithme onstruit, à partir de la donnée d'une loi dont

la densité est onnue à une onstante près, une haîne de Markov dont la

distribution stationnaire est laloi à simuler.

Les méthodes de Monte-Carlo donnent de bonnes approximations, sont

bien justiées théoriquement et donnent aès à toutes les aratéristiques

des loismais demandent des tempsde alul généralementassez longs.

Iterated Conditional Modes (ICM) L'algorithme ICM (f. [2℄) peut

êtreutilisépourdéterminerlemoded'uneloijointe

p(x 1 , x 2 , . . . , x n )

^quin'est

pasmaximisablediretement,maisdontlesloisonditionnelles

p(x i | x j , i 6 = j)

le sont.

Leprinipede l'algorithme est le suivant :

Initialiser

x 1 , . . . , x n

^;

Tant quenon onvergé faire :

Pour

i

^{entre 1et}

n

^{faire :}

Mettreà jour

x i

^selon

x i ← arg max _{e x i} p( x e i | x j , j 6 = i)

^;

L'algorithmeICMestplusrapidequelaméthodeMCMCmaisilnedonne

pasaèsàtoutel'informationsurlaloiaposteriori;deplusilestseulement

onvergent vers un maximumloalde lavraisemblane(lavraisemblane ne

faisant qu'augmenter à haque étape), et est don assez sensible à l'initiali-

sation de l'algorithme.

Notre première approhe utilise ette méthode d'inférene.

Approhes variationnelles,variational EM Dansune approhe varia-

tionnelle, la loi a posteriori

p(Θ | y)

^{est approximée par une autre loi}

q(Θ)

^;

plus préisément nous imposons laformede laloi

q

^{, ette loidépendant}

de paramètresquisontdéterminésenherhantàminimiserladivergene de

Kullbak-Leibler

KL = E _q

ln q(Θ) p(Θ | y)

,

quiestunemanièrede quantierladistaneentre lesdeuxlois

q

^et

p(. | y)

^.

L'approhe EM variationnelle (f. [11℄ ou [22℄), basée sur une version

fontionnellede l'algorithmeEM,appliquee prinipeen remplaçantlaloia

permettant d'obtenir à la fois une approximation de la loi des paramètres a

posteriori, et d'estimer les paramètres non bayésiens par maximum de vrai-

semblane.

Les méthodes EM variationnelles sont déjà utilisées dans ertaines ap-

prohes de traitement des données issues d'IRM fontionnelles (f. [18℄).

Nousutiliseronsuneméthodevariationnelledansnotreseondeapprohe.

2.6 Modélisation et estimation de la HRF

Dansl'approhe lassique présentée plushaut, lafontionHRFest posée

omme un a priori xe, la détetion et l'estimation des ativations étant

menéesommesitouslessujetsavaientlamêmeHRFdanstouteslesparties

du erveau.

Il existe plusieurs formules analytiques modélisant une HRF ayant un

sens physiologique. Nous donnerons omme exemple la diérene de deux

gamma:

h(t) = t

d 1

a 1

exp

− t − d 1

b 1

− c t

d 2

a 2

exp

− t − d 2

b 2

ave

t

^{le temps exprimé en seondes. Les valeurs anoniques données aux}

paramètres sont les suivantes (f. [20℄)

a 1 = 6

^,

a 2 = 12

^,

b 1 = b 2 = 0.9

^,

d _i = a _i b _i

^pour

i = 1, 2

^et

c = 0.35

^{. Voiren Figure 4pour une} représentation de ette fontion.

On peut égalementvouloir estimerlaHRF du sujetà partirdes mesures

eetuées et l'utiliser pour la détetion/estimation des ativations. Pour un

sujet sain, ette estimation supplémentaire permet d'espérer raner la

détetion des ativations;pour un sujettrès jeune ouatteintd'une maladie,

ette estimation est néessaire sil'on veut traiterl'image,omptetenude la

forme très diérente de la HRFhez es sujets.

Des approhes paramétriques d'estimationde la HRFont été proposées,

ave estimation des paramètres par maximum de vraisemblane (ou maxi-

mum a posteriori) (f. [25℄); il existe également des approhes semi-para-

métriques, où la fontion HRF est dérite omme une ombinaison linéaire

(ave d'éventuelles ontraintes sur les oeients pour que la HRF estimée

fasse sens physiologiquement)de fontionsde base; ennonpeut également

faireune estimationnon-paramétrique.Danseas, pouraméliorerl'estima-

tion de laHRF

h

^{onpeut intégrerdeux} onnaissanes a priori (f.[15℄) : la fontion

h

^vérie

h(0) = 0

^{et que}

h(D) = 0

^pour

D

^{de l'ordre de 25}

à 30seondes 1

;

1

mêmesidansertainsaspathologiquesleretouràzéropeutêtrepluslong,f.[4℄

la fontion

h

^{est àvariationslisses,} 'est-à-dire que sa dérivée seonde a une norme

L ²

^petite.

A noter également que lors de l'estimation de la HRF un problème d'iden-

tiabilité se pose : en eet, dans le modèle linéaire (1), si on multiplie la

fontion

h

^{par un fateur onstant}

k 6 = 0

^{et que l'on divise les niveaux de}

réponse

a

^{parlemêmefateur}

k

^{,onobtientdeux valeursdesvariablesàesti-}

mer quimaximisentlavraisemblanedu modèle(ou ladensitéa posteriori).

On peut résoudre e problème en normalisant

h

^{, soiten imposant}

|| h || ² = 1

^,

e quidevrait rendre leproblème bien posé (f. [15℄), ausigne de

h

^{près; ou}

enore en xant le maximum de

| h |

^{à 1.}

0 50 100 150 200 250 300 t (0.1 s)

Fig. 4: Prolde la fontionde réponse hémodynamique anonique.

Gaussien et ICM

Nous avons hoisi de partir du modèle présenté dans [15℄. Nous nous

proposons de modier e modèle en enlevant leshyperparamètresbayésiens,

et d'utiliserà laplae un hamp de Markov an de modéliser ladépendane

spatialeentrelesvoxels.Lesauteursdumodèleoriginalutilisentuneméthode

de type MCMC pour eetuer l'inférene, e qui donne des temps de alul

assez longs.Nousutilisonsun algorithmedetypeICMande disposerd'une

méthode de traitement plus rapide.

Cetteapprohe aétéétudiéeindépendammentde l'artile[23℄, etteder-

nièreapproheutilisantplus depriorsetsaméthode d'inféreneétantenore

un MCMC.

3.1 Modélisation bayésienne

Nousreprenons les notations de l'équation (1):

y i = X M m=1

a im (X m h) + n i 1 + ǫ i , i = 1, . . . , J

⁽⁷⁾

où

X m

^désigne l'appliationlinéaire

h 7→ x m ⋆ h

^.

Pour omprendrelaformedeette matrie

X m

^{,voiil'exemple(peu réa-}

liste) d'un expériene de 6 seondes, ave un TR de 2 seondes; supposons

que le temps de retour à zéro de

h

^{soit de 3 seondes, et que nous éhan-}

tillonions la fontion de réponse hémodynamique toutes les 0.5 seondes;

le veteur

h

^{est alors de taille 6.} Considérons une ondition expérimentale

apparaîssantpour

t = 0

^set

t = 4

^{s. La matrie}

X m

^{est alors égale à:}

X m =



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



La matrie

X _m

^{est don formée d'une suession blos identitéquand la}

ondition est ativeou nulsinon.

Nousfaisonsl'hypothèsed'unbruitblangaussien:les

(ǫ i ) i

^{sontindépen-}

dants et suivent une loi normale entrée, de matrie de variane/ovariane

σ _e ² I T

^{,de sorte que}

y i | a i , h

^{suit une loinormale,de moyenne}

X M

m=1

a im (X m h) + n i 1

et de variane

σ _e ² I T

^.

Noussupposonsdon onnues lesmatries

X m

^{(rentrées par}l'utilisateur) et lesobservations

y i

^{. Sont à estimer}

h

^,

a im

^,

n i

^et

σ _e ²

^.

On introduit une étiquette

z im

^{dénie ommesuit :}

z im =

 



+1

^{si le voxel}

i

^{est ativédans la ondition}

m

− 1

^{si le voxel}

i

^{est désativé dans laondition}

m 0

^{si le voxel}

i

^{est neutredans la ondition}

m

Ces étiquettes ne sont pas diretement observées (e sont don des don-

nées manquantes), elles sont introduitesartiiellement,an de modéliser le

niveau de réponse

a im

^{ommedépendant de}

z im

^.

Pour haque

m

^{, lesvariables}

(a im ) i

^{sont supposées former une famillede}

variables indépendantes onditionnellement aux

(z _im ) _i

^{et pour haque}

i

^{, la}

famille

(a im ) m

^{estunefamilledev.a.}indépendantes,demêmeque

(z im ) m

^(on

supposedonqu'iln'yapasd'inueneentre deuxonditionsexpérimentales

diérentes).

Lavraisemblane omplète du modèle à estimers'érit

p(y, a, h, z) = p(y | a, h)p(a | z)p(h)p(z)

soit, ompte tenudes hypothèses d'indépendane formulées plus haut :

p(y, a, h, z) = Y

i

p(y i | a i , h) Y

m

p(a im | z im )

!

× p(h) × Y

m

p((z ·m ))

Dérivons maintenant haun des termes de ette fatorisation. Dans le

premiermodèlequenousproposons (modèleGamma-Gamma-Gaussien),

la variable

a im

^sahant

z im

^{est supposée suivre une des lois:}

a im | z im ∼

 



Gamma

(α 1m , β 1m )

^si

z im = 1

OppGamma

(α −1m , β −1m )

^si

z _im = − 1

Normale

(0, σ ² _0m )

^si

z im = 0

où Gamma

(α, β)

^{est une loi de densité}

g α , β (x) = β ^α

Γ(α) x ^α−1 e ^−βx 1 R +

etoùune variable

X

^{estditesuivre uneloiOppGamma}

(α, β )

^si

− X

^{suit une}

loi Gamma

(α, β)

^.

Laloi a priori sur les

(z im ) i

^{est elle d'un modèle de Potts (f 2.5.1) sur}

l'ensemble des voxels :

p((z im ) i ) ∝ exp



 − β 1

X J i=1

X

j∈N(i)

δ(z im − z jm )





où

β 1 > 0

^{est un oeient à dénir par} l'utilisateur; la famille

(z im ) m

^est

supposée indépendante quelque soit

i

^{. Nousavons don}

M

^{modèlesde Potts}

(un par ondition expérimentale) que nous supposons indépendants.

L'estimationdelafontionderéponsehémodynamique

h

^{estnonparamé-}

trique;ependantlaloia priori sur

h

^{tientomptedu faitqueettefontion}

est à variations lisses, i.e. sa dérivée seonde n'est pas trop grande en

valeurabsolue, onhoisit ainsi (ommedans [15℄) :

p(h) ∝ exp − β 2 h ^T Sh

ave

S = D ₂ ^T D 2

^et

D 2

^lamatriede l'appliationquiàunveteurassoieses diérenes nies seondes :

D ₂ =



 

 

 

 

0 0 0 0 · · · 0 1 − 2 1 0 · · · 0 0 1 − 2 1 · · · 0 0 0

^{... ... ... ...}

0 0 · · · 1 − 2 1 0 0 · · · 0 0 0



 

 

 

 

de sorte que la loi a priori sur

h

^{assure la ontrainte de variations lisses}

en rendant improbable les

h

^{ayant une norme de la dérivée seonde im-}

portante;

β 2

^{est un seond oeient xé par} l'utilisateur, qui détermine l'importanedonnée àette ontrainte.

Les ontraintes

h(0) = h(D) = 0

^{et de} normalisation (

|| h || ² ℓ ² = 1

^{) seront}

assurées de manière forte lorsde l'estimationde

h

^{(f.i-après).}

3.2 Estimation des paramètres

Lemodèle dérit préédemmentomprend plusieurs paramètres,estimés

de manièrelassique (sans loia priori):

n i

^{estestimédemanièreàequelesrésidus}

ǫ i

^{aientunemoyennenulle;}

soit:

b n i = 1

T X T

t=1

y it − X M m=1

a im (X m h) t

!

σ _e ²

^{est estimée par maximum de} vraisemblane:

σ b _e ² = 1 T × J

X J j=1

X T t=1

(y it − n b i ) ²

(nousn'appliquonspasdeorretiondubiaisarelle-iestnégligeable

ompte tenu des ordresde grandeurs de

T

^et

J

^).

σ _0m ²

^{également :}

σ d _0m ² = 1 N 0

X

i|z im =0

a ² _im

où

N 0 =

^Card

{ i | z im = 0 }

^.

Les paramètres

α ±1m

^et

β ±1m

^{sont estimés en utilisant les}estimateurs de Thompour uneloiGamma(f.[10℄),quis'exprimentainsi,pour un

éhantillon de moyenne arithmétique

m a

^{et de moyenne} géométrique

m _g

^:



 

 

 

 

 

 

α ^′ = 1

4R 1 + r

1 + 4 3 R

!

b

α = α ^′ + κ β b = α b

µ

ave

R = ln(m a ) − ln(m g )

et

κ =

 



0

^si

α ^′ < 0.9

0.0092 + α ^′ − 1

24 − 96α ^′

^sinon.

3.3 Inférene ICM

3.3.1 Algorithme d'inférene

Nous utilisons des itérations ICM, la mise à jour d'un paramètre

θ ∈ { a, h, z }

^{sefaisantenmaximisant(lelogarithmede)}

p(θ | y,

^{autresparamètres}

)

et en itérantsur leparamètre

θ

^{àmettre àjour.}

3.3.2 Mise à jour de

h

Leveteur

h

^{est hoisi de façonà maximiser}

ln(p(h | y, a))

^;or:

ln p(h | y, a) =

^Cste

+ − 1

2σ ² _e



 X

i

y _i − X

m

a _im X _m

!

h − n _i 1

2 

 − β ₂ h ^T Sh

=

^Cste

+ − 1 2σ ² _e

X

i

|| c i − M i h || ²

!

− β 2 h ^T Sh

ave

M i = P

m a im X m

c i = y i − n i 1 = ǫ i + M i h

On a:

X

i

|| c _i − M _i h || ² =

^Cste

+ h ^T X

i

M _i ^T M _i

!

h − 2h ^T X

i

M _i ^T c _i

ln p(h | y, a) =

^Cste

+ − 1

2σ _e ² h ^T X

i

M _i ^T M i

!

h + 1

σ _e ² h ^T X

i

M _i ^T c i − β 2 h ^T Sh

=

^Cste

+ h ^T

"

− 1 2σ _e ²

X

i

M _i ^T M i − β 2 S

#

h + h ^T

"

1 σ _e ²

X

i

M _i ^T c i

#

=

^Cste

+ h ^T Qh + h ^T v

en posant:

( Q = _2σ ⁻¹ 2 e

P

i M _i ^T M i − β 2 S

^{, matriesymétrique dénie négative}

v = _σ ¹ 2

e

P

i M _i ^T c i

Nousvoulonsdonmaximiser

h ^T Qh+h ^T v

^parrapportà

h

^{,souslesontraintes}

h 1 = e ^T ₁ h = 0

^{(le symbole}

^T

^{désignant la} transposée) et

h D = e ^T _D h = 0

^{. Le}

théorème des multipliateursde Lagrange donneune ondition néessaire, à

savoir l'existene de réels

µ

^et

ν

^{tels que}

2Qh + v + µe 1 + νe D = 0

⁽⁸⁾

En faisantle produit salairede l'équation(8)ave leveteur

e 1

^ontrouve:

2e ^T ₁ Qh + e ^T ₁ v + µ = 0

⁽⁹⁾

soit

µ = − (2e ^T ₁ Qh + e ^T ₁ v )

⁽¹⁰⁾

De même, en faisantle produit salairede (8) ave

e D

^{ontrouve :}

ν = − (2e ^T _D Qh + e ^T _D v)

⁽¹¹⁾

Les équations(linéaires)nous donnantla mise àjour de

h

^{sont don :}

 



h 1 = 0

h _D = 0

2Qh + v − (2e ^T ₁ Qh + e ^T ₁ v )e 1 − (2e ^T _D Qh + e ^T _D v)e D = 0

(12)

Une fois

h

^{alulé en résolvant e système linéaire, il est lissé à l'aide d'un}

ltre gaussien. Plus préisément

h

^{est remplaé par}

Gh

^{, où}

G

^{est la matrie}

dénie par :

G i,j = exp

(i − j) ² BW

où

BW > 0

^{est un paramètre qui ontrle la largeur de la gaussienne}

utilisée pour ltrer; plus

BW

^{est grand,plus le lissage est important.}

Enn

h

^{est normalisé, 'est à dire qu'ilest remplaé 2 par}

1

|| h || ℓ ²

h.

Nousavons onstaté qu'en estimant

h

^{de ettemanière,nous obtenons quel-}

quefoisl'opposéde laHRFréelle;'estuneetdûauproblèmed'identiabi-

litéquenousavonsmentionnéen2.6.Pourréglereproblème,nousalulons

la valeur moyenne de

h

^{; si elle-i est négative 'est que nous avons trouvé}

l'opposé de laHRF réelleet

h

^{est alors remplaé par}

− h

^.

3.3.3 Mise à jour de

a

Pour maximiser

p(a | z, h, y)

^{, il sut, par} indépendane des

(a im ) m

^{, de}

maximiser

p(a i | z, h, y)

^{pour haque}

i

^xé.

Or

ln(p(a i | z, h, y) =

^Cste

+ ln(p(a i | z i )) + ln(p(y i | a i , h))

=

^Cste

+ − 1 2σ ² _e c i −

X M m=1

a im X m h

2

+ X

m/z im =1

(α 1m − 1) ln a im − β 1m a im

+ X

m/z im =−1

(α −1m − 1) ln( − a _im ) + β −1m a _im

+ X

m/z im =0

− 1 2σ _0m ² a ² _im

ave

c i = y i − n i 1

Avantde dériver

ln(p(a i | z i , h, y i ))

^{par rapportà}

a im

^{eetuons un alulpré-}

2

La ontrainte

h ^T h = 1

peut également s'intégrer dans les ontraintes du problème d'optimisation,maiselaonduitàunsystèmenonlinéaire.

c i − X

m

a im X m h

2

= || c i || ² − 2 X

m

a im < X m h, c i > +

X

m

a im X m h

2

=

^Cste

− 2 X

m

a im < X m h, c i > + X

m

a ² _im || X m h || ²

+ X

m

X

n6=m

a im a in < X m h, X n h >

La ondition du premier ordre pour un extremum de

ln p(a i | z i , h, y i )

^s'érit

don :

0 = 1

σ _e ² < X m h, c i > − 1

σ _e ² a im || X m h || ² − 1 σ ² _e

X

n6=m

a in < X m h, X n h > +T im

ave

T _im =

 

 

 



 

 

 

α 1m − 1

a im − β 1m

^si

z im = 1 α −1m − 1

a im

+ β −1m

^si

z im = − 1

− 1

σ _0m ² a im

^si

z im = 0

et e quelque soit

m = 1, . . . , M

^.

Laonditiondupremierordresereformuledonsouslaformed'uneéqua-

tion

Φ(a i ) = 0

^ave

Φ : R ^M → R ^M

^{. Cette équation vetorielle non linéaire}

peutserésoudrenumériquementave laméthode deNewton;pourappliquer

ette méthode nousdevons alulerlamatriejaobienne de l'appliation

Φ

^.

Les oeients

d mn

^{de ette matries'érivent :}

d mm = ∂ Φ _m

∂a im

= − 1

σ ² _e || X m h || ² +

 

 

 



 

 

 

− α 1m − 1

a ² _im

^si

z im = 1

− α −1m − 1

a ² _im

^si

z im = − 1

− 1

σ ² _0m

^si

z im = 0

et, si

m 6 = n

^:

d _mn = ∂Φ m

∂a in

= − 1

σ _e ² < X _m h, X _n h >

L'itérationde Newton est initialiséeave la valeurde

(a i )

^{avantmise àjour.}

3.3.4 Mise à jour de

z

Lamise à jour de

z im

^{se fait enorepar ICM :}

z im = arg max

g z im ∈{±1,0}

ln p z f im | a, (z jm ) j∈N (i)

soit :

z _im = arg max

g z im ∈{±1,0}



ln (p(a _im | z f _im )) − β ₁ X

j∈N (i)

δ( z f _im , z _jm )





⁽¹³⁾

L'argmax est alulé en alulant la fontion objetif pour les trois valeurs

possibles de

z f _im

^{et en onservant la valeur donnant la plus grande valeur à}

l'objetif.

Nousretrouvons laremarque faitedans [2℄, partie 3, àsavoirque l'équa-

tion (13) réalise un ompromis entre d'une part l'adaptation aux données

(pour lepremier terme), etd'autre part, l'homogénéitéspatiale de la lassi-

ationgéréepar leseondterme.Pour

β 1 = 0

^{onretrouveunelassiation}

sans auune homogénéité imposée a priori; lorsque

β ₁ → + ∞

^{on retrouve}

un vote àla majorité des voisins.

3.3.5 Initialisation

Pour initialiser la lassiation, nous alulons, pour haque voxel

i

^et

haque onditionexpérimentale

m

^{,le oeientde orrélation linéaireentre}

y i

^et

X m h

^{. Un voxel dont le déours temporel a une orrélation ave}

X m h

supérieureàunertainseuil

s > 0

^{seralasséommeativé,unvoxeldont}

laorrélationest inférieureà

− s

^{seralasséommedésativé,etenn un}

voxelaveuneorrélationentre

− s

^et

s

^{seralasséommeneutre.Leseuil}

s

^{peut êtrespéiédiretementpar} l'utilisateur,oualuléautomatiquement omme une fration (dénissable par l'utilisateur) du plus grand (resp. du

plus petit) oeient de orrélation, pour haque ondition expérimentale.

Nous obtenons également des valeurs initiales pour les niveaux de réponse

a im

^ommesuit.

Soit un voxel

i

^{et une ondition}

n

^{; partant de l'équation de base du}

modèle

y i = X M m=1

a im (X m h) + n i 1 + ǫ i , i = 1, . . . , J

prenons laovarianeave

X n h

^{,nous obtenons}

Cov(y i , X n h) = X

m

a im Cov(X m h, X n h) + n i Cov(X n h, 1 ) + Cov(ǫ i , X n h)

nales

A i =



  a i1

.

.

.

a _iM



 

vérie don l'équation

M i A i = C i

en notant

C i

^{le veteur des ovarianes}

C i =



 

Cov(y i , X 1 h)

.

.

.

Cov(y _i , X _M h)



 

et

M _i

^{lamatrie de} variane-ovariane

M i =



 

 

Var(X 1 h) Cov(X 1 h, X 2 h) · · · Cov(X 1 h, X M h) Cov(X 2 h, X 1 h) Var(X 2 h) · · · Cov(X 2 h, X M h)

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Cov(X M h, X 1 h) · · · Cov(X M h, X M −1 h) Var(X M h)



 

 

De mêmele veteurdes orrélations

A ^′ _i =



 

Corr(y i , X 1 h)

.

.

.

Corr(y i , X M h)



 

vérie

M _i ^′ A ^′ _i = C _i ^′

ave

C _i ^′ =



 

Corr(y i , X 1 h)

.

.

.

Corr(y i , X M h)



 

et

M _i ^′ =



 

 

1 Corr(X 1 h, X 2 h) · · · Corr(X 1 h, X M h) Corr(X 2 h, X 1 h) 1 · · · Corr(X 2 h, X M h)

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Corr(X M h, X 1 h) · · · Corr(X M h, X M−1 h) 1



 

 

Notons que pour mener les aluls de ette phase, nous initialisons la

fontion de réponse hémodynamique àla réponse anonique(f. 2.6).

Lesdiérentes étapesde mise à joursont alors enhaînéesainsi :

Initialisation(

a

^,

z

^,

σ _e

^,

n

^);

Tant quenon onvergene faire :

Miseà jour de

h

^;

Miseà jour des résidus (

σ _e

^et

n

^);

Miseà jour des

z

^;

Siau moins un

z

^{a été hangé :}

Miseà jourdes

a

^;

Miseà jourdes

α ±1m

^,

β ±1m

^et

σ 0m

^;

La onvergene est délarée lorsque, entre deux passages suessifs dans

laboule "Tantque", auun

z

^{n'a étémodié etlanorme}

L ²

^{de ladiérene}

entre lafontion

h

^{préédenteetlafontion}

h

^{mise àjourest inférieureà un}

ertain seuil.

3.4 Simulation de données

And'évaluernotreapprohedetraitementd'images,nousdevonsd'abord

simuler des imagesIRMf réalistes.

Ladonnéedematriesdedesign

X 1 , . . . , X M

^assoiéesà

M

^onditionsex-

périmentalesainsi que d'uneHRF

h

^{fournit lessignaux}

X 1 h, X 2 h, . . . , X M h

^.

Onsedonneégalementdeuxolletions

( A (1), . . . , A (M ))

^et

( D (1), . . . , D (M ))

d'ensembles de voxels, l'ensemble

A (m)

^(resp.

D (m)

^{) ontenant l'ensemble}

des voxels ativés (resp. désativés) par la ondition

m

^{. Les autres voxels}

sont onsidérés omme neutres.

Lesignal dans le voxel

i

^{est donné par}

y i = c X

m∈A(m)

X m h − c X

m∈D(m)

X m h + b 1 + ǫ i

où

b

^estunréel,

c

^{unréelpositif,et}

(ǫ i ) i

^{estunesuitedevariablesaléatoires}

vetoriellesindépendantesoù

ǫ i

^{estun proessusAR(1)gaussien;'estàdire}

que quelque soit

i

^,

ǫ _i,1 = σe _i,1

ǫ i,2 = ρǫ i,1 + σe i,2

ǫ i,3 = ρǫ i,2 + σe i,3

.

.

. .

.

.

ǫ i,T = ρǫ i,T −1 + σe i,T