Modélisation et estimation de la HRF

Dansl'approhe lassique présentée plushaut, lafontionHRFest posée

omme un a priori xe, la détetion et l'estimation des ativations étant

menéesommesitouslessujetsavaientlamêmeHRFdanstouteslesparties

du erveau.

Il existe plusieurs formules analytiques modélisant une HRF ayant un

sens physiologique. Nous donnerons omme exemple la diérene de deux

gamma:

ave

t

^le ^temps êxprimé ên ^seondes. ^Les ^valeurs ânoniques ^données âux

paramètres sont les suivantes (f. [20℄)

a 1 = 6

a 2 = 12

b 1 = b 2 = 0.9

d _i = a _i b _i

^pour

i = 1, 2

^et

c = 0.35

^. ^Voir^en ^Figure ⁴^pour ^une représentation de ette fontion.

On peut égalementvouloir estimerlaHRF du sujetà partirdes mesures

eetuées et l'utiliser pour la détetion/estimation des ativations. Pour un

sujet sain, ette estimation supplémentaire permet d'espérer raner la

détetion des ativations;pour un sujettrès jeune ouatteintd'une maladie,

ette estimation est néessaire sil'on veut traiterl'image,omptetenude la

forme très diérente de la HRFhez es sujets.

Des approhes paramétriques d'estimationde la HRFont été proposées,

ave estimation des paramètres par maximum de vraisemblane (ou

maxi-mum a posteriori) (f. [25℄); il existe également des approhes

semi-para-métriques, où la fontion HRF est dérite omme une ombinaison linéaire

(ave d'éventuelles ontraintes sur les oeients pour que la HRF estimée

fasse sens physiologiquement)de fontionsde base; ennonpeut également

faireune estimationnon-paramétrique.Danseas, pouraméliorer

l'estima-tion de laHRF

h

^on^peut ^intégrer^deux onnaissanes a priori (f.[15℄) : la fontion

h

^vérie

h(0) = 0

^et ^que

h(D) = 0

^pour

D

^de ^l'ordre ^de ²⁵

à 30seondes 1

;

mêmesidansertainsaspathologiquesleretouràzéropeutêtrepluslong,f.[4℄

la fontion

h

^est ^à^variations^lisses, 'est-à-dire que sa dérivée seonde a une norme

L ²

^petite^.

A noter également que lors de l'estimation de la HRF un problème

d'iden-tiabilité se pose : en eet, dans le modèle linéaire (1), si on multiplie la

fontion

h

^par ^un ^fateur ^onstant

k 6 = 0

^et ^que ^l'on ^divise ^les ^niveaux ^de

réponse

a

^par^le^même^fateur

k

^,^on^obtient^deux ^valeurs^des^variables^à

esti-mer quimaximisentlavraisemblanedu modèle(ou ladensitéa posteriori).

On peut résoudre e problème en normalisant

h

^, ^soit^en ^imposant

|| h || ² = 1

e quidevrait rendre leproblème bien posé (f. [15℄), ausigne de

h

^près^; ^ou

enore en xant le maximum de

| h |

^à ^1.

0 50 100 150 200 250 300 t (0.1 s)

Fig. 4: Prolde la fontionde réponse hémodynamique anonique.

Gaussien et ICM

Nous avons hoisi de partir du modèle présenté dans [15℄. Nous nous

proposons de modier e modèle en enlevant leshyperparamètresbayésiens,

et d'utiliserà laplae un hamp de Markov an de modéliser ladépendane

spatialeentrelesvoxels.Lesauteursdumodèleoriginalutilisentuneméthode

de type MCMC pour eetuer l'inférene, e qui donne des temps de alul

assez longs.Nousutilisonsun algorithmedetypeICMande disposerd'une

méthode de traitement plus rapide.

Cetteapprohe aétéétudiéeindépendammentde l'artile[23℄, ette

der-nièreapproheutilisantplus depriorsetsaméthode d'inféreneétantenore

un MCMC.

3.1 Modélisation bayésienne

Nousreprenons les notations de l'équation (1):

y i = X M m=1

a im (X m h) + n i 1 + ǫ i , i = 1, . . . , J

⁽⁷⁾

où

X m

^désigne l'appliationlinéaire

h 7→ x m ⋆ h

Pour omprendrelaformedeette matrie

X m

^,^voii^l'exemple^(peu

réa-liste) d'un expériene de 6 seondes, ave un TR de 2 seondes; supposons

que le temps de retour à zéro de

h

^soit ^de ³ ^seondes, ^et ^que ^nous

éhan-tillonions la fontion de réponse hémodynamique toutes les 0.5 seondes;

le veteur

h

^est ^alors ^de ^taille ^6. Considérons une ondition expérimentale

apparaîssantpour

t = 0

^s^et

t = 4

^s. ^La ^matrie

X m

^est ^alors ^égale ^à^:

La matrie

X _m

^est ^don ^formée ^d'une ^suession ^blos ^identité^quand ^la

ondition est ativeou nulsinon.

Nousfaisonsl'hypothèsed'unbruitblangaussien:les

(ǫ i ) i

^sont

indépen-dants et suivent une loi normale entrée, de matrie de variane/ovariane

σ _e ² I T

^,^de ^sorte ^que

y i | a i , h

^suit ^une ^loi^normale,^de ^moyenne

X M

m=1

a im (X m h) + n i 1

et de variane

σ _e ² I T

Noussupposonsdon onnues lesmatries

X m

^(rentrées ^parl'utilisateur) et lesobservations

y i

^. ^Sont ^à ^estimer

h

a im

n i

^et

σ _e ²

On introduit une étiquette

z im

^dénie ^omme^suit ^:

z im =

 



+1

^si ^le ^voxel

i

êst âtivé^dans ^la ôndition

m

− 1

^si ^le ^voxel

i

^est ^désativé ^dans ^la^ondition

m 0

^si ^le ^voxel

i

^est ^neutre^dans ^la ^ondition

m

Ces étiquettes ne sont pas diretement observées (e sont don des

don-nées manquantes), elles sont introduitesartiiellement,an de modéliser le

niveau de réponse

a im

^omme^dépendant ^de

z im

Pour haque

m

^, ^les^variables

(a im ) i

^sont ^supposées ^former ^une ^famille^de

variables indépendantes onditionnellement aux

(z _im ) _i

^et ^pour ^haque

i

^, ^la

famille

(a im ) m

^est^une^famille^de^v.a.indépendantes,demêmeque

(z im ) m

^(on

supposedonqu'iln'yapasd'inueneentre deuxonditionsexpérimentales

diérentes).

Lavraisemblane omplète du modèle à estimers'érit

p(y, a, h, z) = p(y | a, h)p(a | z)p(h)p(z)

soit, ompte tenudes hypothèses d'indépendane formulées plus haut :

p(y, a, h, z) = Y

Dérivons maintenant haun des termes de ette fatorisation. Dans le

premiermodèlequenousproposons (modèleGamma-Gamma-Gaussien),

la variable

a im

^sahant

z im

^est ^supposée ^suivre ^une ^des ^lois^:

a im | z im ∼

l'ensemble des voxels :

p((z im ) i ) ∝ exp

supposée indépendante quelque soit

i

^. ^Nous^avons ^don

M

^modèles^de ^Potts

(un par ondition expérimentale) que nous supposons indépendants.

L'estimationdelafontionderéponsehémodynamique

h

^est^non

paramé-trique;ependantlaloia priori sur

h

^tient^ompte^du ^fait^que^ette^fontion

est à variations lisses, i.e. sa dérivée seonde n'est pas trop grande en

valeurabsolue, onhoisit ainsi (ommedans [15℄) :

p(h) ∝ exp − β 2 h ^T Sh

ave

S = D ₂ ^T D 2

^et

D 2

^la^matrie^de l'appliationquiàunveteurassoieses diérenes nies seondes :

D ₂ =

de sorte que la loi a priori sur

h

^assure ^la ^ontrainte ^de ^variations ^lisses

en rendant improbable les

h

^ayant ^une ^norme ^de ^la ^dérivée ^seonde

im-portante;

β 2

êst ûn ^seond ôeient ^xé ^par l'utilisateur, qui détermine l'importanedonnée àette ontrainte.

Les ontraintes

h(0) = h(D) = 0

^et ^de normalisation (

|| h || ² ℓ ² = 1

⁾ ^seront

assurées de manière forte lorsde l'estimationde

h

^(f.^i-après).

Dans le document Cadre bayésien markovien pour l’estimation de la HRF et la détection des activations en IRM fonctionnel (Page 18-24)

t

a 1 = 6

a 2 = 12

b 1 = b 2 = 0.9

d i = a i b i

i = 1, 2

c = 0.35

h

h

h(0) = 0

h(D) = 0

D

h

L 2

h

k 6 = 0

a

k

h

|| h || 2 = 1

h

| h |

0 50 100 150 200 250 300 t (0.1 s)

y i = X M m=1

a im (X m h) + n i 1 + ǫ i , i = 1, . . . , J

X m

h 7→ x m ⋆ h

X m

h

h

t = 0

t = 4

X m

X m

(ǫ i ) i

σ e 2 I T

y i | a i , h

X M

m=1

a im (X m h) + n i 1

σ e 2 I T

X m

y i

h

a im

n i

σ e 2

z im

z im =

 



+1

i

m

− 1

i

m 0

i

m

a im

z im

m

(a im ) i

(z im ) i

i

(a im ) m

(z im ) m

p(y, a, h, z) = p(y | a, h)p(a | z)p(h)p(z)

p(y, a, h, z) = Y

a im

z im

a im | z im ∼

p((z im ) i ) ∝ exp

i

M

h

h

p(h) ∝ exp − β 2 h T Sh

S = D 2 T D 2

d _i = a _i b _i

L ²

|| h || ² = 1

X _m

σ _e ² I T

σ _e ² I T

σ _e ²

(z _im ) _i

p(h) ∝ exp − β 2 h ^T Sh

S = D ₂ ^T D 2

D ₂ =

|| h || ² ℓ ² = 1