Les centres d'inertie de la moitié et du quart du corps épicycloïdal

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N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

S ^VÉCHNICOFF

Les centres d’inertie de la moitié et du quart du corps épicycloïdal

Nouvelles annales de mathématiques 3

^e

série, tome 10 (1891), p. 473-476

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(2)

LES CENTRES D'INERTIE DE LA MOITIÉ ET DU QUART DU CORPS ÉPICYCLOIDAL;

PAU M. SVÉCIINJCOFF, Professeur au g\mnase do Troitzk.

Le plan xoy divise la surface épieycloïdale et le corps épieyclojdal en deux parties égales. Désignons par / etL les distances du centre d'inertie de chaque moitié de la surface et du corps au plan ,rr.

~ ml = <J I I z dS

r~n . no f71

= \az<7 j (i — cos/icp) sin3—- do I ( - 8 a3/ i T / ( i — r o n o ) SJn3 — ' do —

Par suite,

itia

**~ ML = er f f fz dx dy dz ^ ^ f j z* dx dy**

271 ^

— -— / ( i — cos no)'1 do I (n-\- co^x) si n3 a

271

= — — / (r — cn*no)*d<ù — — ^

Par suite,

> • - £ •

?. rfe Mathémat., 3P série, t. X. (i\o>cmbre 189t.) 3 3

(3)

( 474 )

Le plan zoy'divise la surface et le corps épicycloïdal en deux parties égales. Désignons par l et T les distances du centre d'inertie de eliaque moitié de la surface et du corps au plan zy\

.' - '

7Z

-mt — 3 ( I oc' r / S = 4 «3 cr '2

J7! 2 7=

cos3 - ~ dty I [n(n sin^ -h cosi|; sinjuJO-Hi-f- cosn^) sin-i; cos2a

i . , r n ,n^

-mt = f\a3(7T: I C O S3— - 1 J 2

X [(2rt2 H-i) sin<L -+- 2n cos^ sinnd> -\- sin^ cosn^J dty,

6ri1 — j>n -\- 5 . n — 'i , 6^i2-h in-\- 5 . g s i n - ~ ^ ~ ^ H g s i n

4/i*2—6/H-5 . 3/2 — 2 , 4/&2-+-6/n-5 . 3/i-t-2 .

— sin u> -\ sin <!/

16 a T 1 6 i

'in — i . 5/i — 2 , 2/z-t-i . 5 H s i n u> + — sin

2 l6

" sin 1040717Z 6 — 872/1*-+- 960 n2 —120 n

16 2 T 16

7T

JQ T {n2 — 4 ) ( 9 / i2— 4 ) ( 2 5 / i2— 4 )

Par suite,

o / r , • « A i a I 73 n7 sin— — i3o/i6— 109/1*-+- i2O/i2—10 I

4)(a5/i*— 4) En posant /z = 1, n = 2, /i = oo, on a

9 a n a 26 a

:—> / = - — - , t—iza -r • 7 8 i5

(4)

iMT-,ƒƒ/>,/• „y

cfz

= a I f r' d\ = —

- M T = -

X ƒ ( i - h cos/i^)^f(4/z2-7-T) <mi^ -f-4

H 3 5 . Ij snij

sin(/7

7i2 4-3/2 4-1 .

4 — mn (3/2 4-1)4'

4 72 — I . , , , 4 72 4 - T . . , -I — s i n ( 4 / ? — i)tl> 4 - - — ^ — ^ i n ( 4 7 ? 4 - ]

r o ' Th

O \J o I vJ Y Ju I L> J^OLL

Par suite,

r / 7c \ , 1 4 ^ 4 5 728 I I — COS — I — ( ) | / i6 4 ^/ ? A 4 - 24 722 — 2

T =

1 \ nj_ J

" ) T l ( 7 22 - \ ) ( \ n2— T ) ( 9 7 22- ~ I )

E n posant n = 1, zz = 2, 77 = oc, on a

T — l (^a T — i i 2 , T — — — () 'la

D'après cela, il est facile de déterminer la position du

centre d'inertie de la moitié ou du quartier de la sur-

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face et du corps épicycloïdal. En calculant

<r j f fz

2

dx dy dz

VU

= — I (i — cos/iep)5 do f (n -+- cosa) sin4a on a

63r:»(ja3 _ 63 M a2

Ï6 ~ 8o

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