Correction CC1-S2
- CC1-S2 - - 2016-2017 -
– Correction - Analyse –
Exercice 1
L’écriture matricielle du système différentiel est : Y0=AY +B, où Y =
x y
, A= 1 3
1 −1
, B= e2t
t
On diagonalise la matriceA, et on obtient :A=
3 −1 1 1
2 0 0 −2
1 4
1 4
−1 4
3 4
. On résout le nouveau système différentiel :
x01= 2x1+1
4 e2t+t y01=−2y1+1
4 −e2t+ 3t On obtient :
x1=λe2t+1
4te2t−1 8t− 1
16 y1=µe−2t− 1
16e2t+3 8t− 3
16
, (λ, µ)∈R2
Finalement, les solutions du système différentiel sont :
x(t) = 3λe2t−µe−2t+ 3
4t+ 1 16
e2t−3
4t y(t) =λe2t+µe−2t+
1 4t− 1
16
e2t+1 4t−1
4
(λ, µ)∈R2
Exercice 2
1. a. En remarquant que∀x∈]0,1[, 2−x
x(x−1) =−2 x− 1
1−x, on obtient : SH1=
y:]0,1[→R, x7→C0
1−x
x2 , C0∈R
b.
S=
z:]0,1[→R, x7→C1 1
x+lnx
+C2,(C1, C2)∈R2
2. a. On cherche une solution développable en série entière, qui s’écrit doncy(x) =X
n≥0
anxn. On introduit ceci dans l’équation on trouve
X
n≥2
n(n−1)anxn−X
n≥2
n(n−1)anxn−1+ 3X
n≥1
nanxn+X
n≥0
anxn= 0.
On change les indices dans la deuxième somme pour trouver : X
n≥2
n(n−1)anxn−X
n≥1
n(n+ 1)an+1xn+ 3X
n≥1
nanxn+X
n≥0
anxn= 0.
Spé PT Page 1 sur 2
Correction CC1-S2
Par unicité du développement en série entière, on trouvea0= 0,a2= 2a1, puis, pourn≥2: an+1=n+ 1
n an. Ainsi, par récurrence, on trouvean =na1.
Puisque la série entièreX
n≥1
nxn a pour rayon de convergence 1, on a prouvé que la fonction :
f(x) =X
n≥1
nxn= x (1−x)2 est solution de l’équation sur]−1,1[(en réalité, sur]− ∞,1[).
b. On va résoudre l’équation sur]0,1[, par la méthode de Lagrange.
Pour cela, on posey(x) =f(x)z(x).
Sachant quef est solution de l’équation, on trouve quey est aussi solution si et seulement sizvérifie l’équation différentielle :
2x(x−1)f0z0+x(x−1)f z00+ 3xf z0 = 0.
Remplaçantf par sa valeur, simplifiant parx, et après regroupement, on trouve : x(x−1)z00+ (x−2)z0= 0.
Ainsiz0 est solution de(H1)doncz∈S établi dans la question1.b. On en déduit : SH2=
y:]0,1[→R, x7→ C1(1 +xlnx) +C2x
(1−x)2 ,(C1, C2)∈R2
Spé PT Page 2 sur 2
