Correction CC3-S1
- CC3-S1 - - 2019-2020 -
– Correction - Analyse –
On considère l’équation différentielle suivante :
x2(1−x)y00−x(x+ 1)y0+y= 2x3 (E) PARTIE I
Dans cette partie on cherche les solutions développables en série entière de l’équation différentielle homogène associée à(E):
x2(1−x)y00−x(x+ 1)y0+y= 0 (H) On considère une suite de réels (an)n∈N telle que la série entièreX
anxn ait un rayon de convergencer >0.
On définit la fonctionf :]−r, r[−→Rpar :
∀x∈]−r, r[, f(x) =
+∞
X
n=0
anxn
1. Justifier que la fonction f est de classe C2 et que les fonctions f0 et f00 sont développables en série entière.
Exprimer avec la suite(an)n∈N les développements respectifs des fonctionsf0 et f00en précisant leur rayon de convergence.
f est la somme d’une série entière de rayon de convergencer >0. Elle est donc de classeC∞ sur]−r, r[ et en particulier de classeC2, et le théorème de dérivation des séries entières donnef0 etf00 développables en séries entières, avec même rayon de convergencer, et pour tout x∈]−r, r[:
f0(x) =
+∞
X
n=0
nanxn−1et f00(x) =
+∞
X
n=0
n(n−1)anxn−2.
2. Montrer qu’il existe une suite(bn)n≥2de nombres réels non nuls telle que pour toutx∈]−r, r[on a :
x2(1−x)f00(x)−x(x+ 1)f0(x) +f(x) =a0+
+∞
X
n=2
bn(an−an−1)xn.
D’après la question précédente, pour toutx∈]−r, r[, on a : x2(1−x)f00(x)−x(x+ 1)f0(x) +f(x) =x2(1−x)
+∞
X
n=0
n(n−1)anxn−2−x(x+ 1)
+∞
X
n=0
nanxn−1+
+∞
X
n=0
anxn
=
+∞
X
n=0
(n(n−1)−n+ 1)anxn−
+∞
X
n=0
(n(n−1) +n)anxn+1=a0+
+∞
X
n=1
(n−1)2anxn−
+∞
X
n=1
(n−1)2an−1xn
Les termes d’indice 1 sont nuls dans les deux sommes, on a donc : x2(1−x)f00(x)−x(x+ 1)f0(x) +f(x) =a0+
+∞
X
n=2
(n−1)2(an−an−1)xn.
3. Montrer que f est solution de(H) sur l’intervalle ]−r, r[ si et seulement si,a0 = 0 et an+1 =an pour tout n∈N∗.
f est solution de(H)sur]−r, r[si, et seulement si pour toutx∈]−r, r[, on a :a0+
+∞
X
n=2
(n−1)2(an−an−1)xn = 0 Par unicité du développement en série entière, on en déduit quea0= 0et∀n≥2, an−an−1= 0(carn−16= 0), donca0= 0 et∀n≥1, an+1=an.
Réciproquement, sia0= 0et ∀n≥1, an+1=an alors(H)est bien vérifiée.
4. En déduire que sif est solution de(H)sur]−r, r[, alorsr≥1 et il existeλ∈Rtel que :
∀x∈]−1,1[, f(x) = λx 1−x Sif est solution de(H)sur]−r, r[, alors d’après la question précédente :
∃λ∈R,∀x∈]−r, r[, f(x) =
+∞
X
n=1
λxn
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Correction CC3-S1
Cette série entière a un rayon de convergence supérieur ou égal à 1 (il vaut 1 siλ6= 0, et+∞sinon), et
∀x∈]−1,1[, f(x) =λ
+∞
X
n=0
xn−1
!
=λ 1
1−x−1
= λx 1−x. 5. Réciproquement, montrer que siλ∈R, alors la fonction
g:]−1,1[−→R, x7→ λx 1−x est une solution de(H)sur]−1,1[, développable en série entière.
g est de classeC∞ sur]−1,1[, et pour toutx∈]−1,1[, g0(x) = λ
(1−x)2 etg00(x) = 2λ (1−x)3. Ainsi, pour toutx∈]−1,1[on a :
x2(1−x)g00(x)−x(x+ 1)g0(x) +g(x) = 0 doncgest solution de(H)sur]−1,1[.
D’autre part, pour toutx∈]−1,1[, g(x) =λx
+∞
X
n=0
xn =
+∞
X
n=0
λxn+1 doncgest développable en série entière.
PARTIE II
Soity:]0,1[−→Rune fonction de classeC2. On définit la fonctionz:]0,1[−→Rpar la relation :
∀x∈]0,1[, z(x) = 1
x−1
y(x)
1. Justifier quez est de classeC2sur]0,1[, puis exprimerz0 etz00avecy, y0 ety00.
z est de classeC2 sur]0,1[comme produit de fonctions de classeC2, et pour toutx∈]0,1[, on a : z0(x) =−1
x2y(x) + 1
x−1
y0(x), etz00(x) = 2
x3y(x)− 2
x2y0(x) + 1
x−1
y00(x).
2. Montrer queyest solution de(E)sur]0,1[si, et seulement sizest solution sur]0,1(de l’équation différentielle : xz00+z0= 2x (E1)
z est solution de(E1)sur]0,1[si, et seulement si pour toutx∈]0,1[: x
2
x3y(x)− 2
x2y0(x) + 1
x−1
y00(x)
+
−1 x2y(x) +
1 x−1
y0(x)
= 2xce qui équivaut à : x2(1−x)y00(x)−x(x+ 1)y0(x) +y(x) = 2x3.
Ainsi,zest solution de(E1)si, et seulement siyest solution de(E).
3. Montrer que siz est solution de(E1)sur]0,1[, alors il existeλ∈Rtel que
∀x∈]0,1[, z0(x) = λ x+x
z est solution de(E1)si et seulement siz0 est solution de(E2) : xy0+y= 2x.
L’équation homogène associée à(E2)a pour solutions les fonctionsx7→ λ
x, λ∈R, et la fonctionx7→xest une solution particulière de(E2).
On en déduit que les solutions de(E2)sont les fonctions x7→ λ
x+x, λ∈R, donc quez0 est de cette forme.
4. En déduire l’ensemble des solutions de(E)sur]0,1[.
D’après les questions précédentes,y est solution de(E) sur]0,1[ si et seulement siz :x7→
1 x−1
y(x) est solution de(E1)sur]0,1[, donc si, et seulement si il existeλ∈Rtel quez0(x) = λ
x+xce qui équivaut à : il existeµ∈Rtel que pour toutx∈]0,1[,z(x) =λln(x) +1
2x2+µ.
On en déduit les solutionsy de(E)sur]0,1[:
∀x∈]0,1[, y(x) = x 1−x
λln(x) +1 2x2+µ
(λ, µ)∈R2
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