La fonction exponentielle

Texte intégral

(1)Mr: Khammour.K. 4 eme. La fonction exponentielle. Définition de la fonction exponentielle La fonction exponentielle est l’unique fonction f, définie et dérivable sur R et vérifiant f(0) = 1 et pour tout réel x, f ′ (x) = f(x).. 0. e =1. x =. Pour tout réel x, (exp) ′ (x) = exp(x).. y. 4. y = ex. Propriétés analytiques • La fonction exponentielle est définie et dérivable sur R et. 3. • La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur R.. e. 2. (x) y = ln. • Pour tout réel x, ex > 0. • Limites aux bornes du domaine :. 1. lim ex = 0, lim ex = +∞.. x→ −∞. −5. −4. −3. −2. −1. 1. 2. e. 3. 4. −1. • Théorèmes de croissances comparées : lim. x→ +∞. −2 e = 2.718 . . .. ex = +∞ et lim xex = 0. x→ −∞ x. pour tout entier naturel non nul n, lim. −3. x→ +∞. x→ +∞. ex = +∞ et lim xn ex = 0. x→ −∞ xn. −4. • Nombre dérivé en 0 :. −5. ex − 1 = 1. x→ 0 x lim. Propriétés algébriques Pour tous réels x et y, ex+y = ex × ey . 1 Pour tout réel x, ex 6= 0 et e−x = x . e ex Pour tous réels x et y, ex−y = y . e Pour tout réel x et tout entier relatif n, (ex )n = enx .. Pour tous réels x et y, ex × ey = ex+y . 1 Pour tout réel x, ex 6= 0 et x = e−x . e ex Pour tous réels x et y, y = ex−y . e Pour tout réel x et tout entier relatif n, enx = (ex )n .. Liens avec le logarithme népérien Pour tout réel x, ln(ex ) = x. Pour tout réel x strictement positif, eln(x) = x.. Résolution d’équations et d’inéquations x. TM x. Si a > 0, l’équation e = a a une solution et une seule. Si a ≤ 0, l’équation e = a n’a pas de solution. Pour tous réels x et y, (ex = ey ⇔ x = y). Pour tout réel x et tout réel strictement positif a, ex = a ⇔ x = ln(a).. PDF Editor La fonction exponentielle est strictement croissante sur R. Donc. Pour tous réels x et y, (ex < ey ⇔ x < y). Pour tout réel x et tout réel strictement positif a, ex < a ⇔ x < ln(a)..

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