Fronts de réaction-diffusion et défauts localisés

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Submitted on 22 May 2013

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Fronts de réaction-diffusion et défauts localisés

Benoît Sarels

To cite this version:

Benoît Sarels. Fronts de réaction-diffusion et défauts localisés. Mathématiques générales [math.GM].

INSA de Rouen, 2012. Français. �NNT : 2012ISAM0005�. �tel-00824602�

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v

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∂

u = d ∆u + s R(u)

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✹ ❈❤❛♣✐&'❡ ■✳ ❚❤,♦'✐❡ ❞❡/ ,0✉❛&✐♦♥/ ❞❡ ',❛❝&✐♦♥✲❞✐✛✉/✐♦♥

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u = ∆u + s R(u ) ✭■✳✶✮

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u = ∆u + s(x) R(u, x), ✭■✳✷✮

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❧❡❝&❡✉' ❛✉ ❞,❜✉& ❞✉ ❝❤❛♣✐&'❡ ■■ ♣♦✉' ✉♥❡ ♣',/❡♥&❛&✐♦♥ ❞❡ ❧❛ ♣'♦❜❧,♠❛&✐0✉❡✳

◆♦✉/ ♣',/❡♥&♦♥/ ♠❛✐♥&❡♥❛♥& ❧❡/ ❞✐✛,'❡♥&/ R ❝❧❛//✐0✉❡/ ❡♥ ❡①♣❧✐0✉❛♥& ❧❡✉'

♦'✐❣✐♥❡ ♣❤②/✐0✉❡ ♦✉ ❜✐♦❧♦❣✐0✉❡✳

✶✳ ▲❡ ♣❛'❛❞✐❣♠❡ ❞✉ &❡'♠❡ ❞❡ ',❛❝&✐♦♥ ❡/& ✉♥ &❡'♠❡ ❞❡ ❝!♦✐$$❛♥❝❡ ❧♦❣✐$*✐+✉❡

R(u) = u(1 −

) ✳ ▲❡ ♣❛'❛♠B&'❡ K ❡/& ❛♣♣❡❧, ❝❛♣❛❝✐&, ❞✬❛❝❝✉❡✐❧✱ ✐❧ '❡♣',✲

/❡♥&❡ ❧❛ &❛✐❧❧❡ ♠❛①✐♠❛❧❡ ❞❡ ❧❛ ♣♦♣✉❧❛&✐♦♥ 0✉❡ ♣❡✉& /✉♣♣♦'&❡' ❧✬❡♥✈✐'♦♥♥❡✲

♠❡♥&✳ ❖♥ ♣❡✉& /✉♣♣♦/❡' K = 1 0✉✐&&❡ > ❛❞✐♠❡♥/✐♦♥♥❡'✱ ❡& ♦♥ ❞,✜♥✐& ❛✐♥/✐

❧❡ &❡'♠❡ ❞❡ ',❛❝&✐♦♥ ♠♦♥♦/&❛❜❧❡ ✿

R

(u) = u(1 − u), ✭■✳✸✮

❛♣♣❡❧, ❛✐♥/✐ ❡♥ '❛✐/♦♥ ❞❡ ❧❛ /&❛❜✐❧✐&, ❞❡ /❡/ ③,'♦/ ✭✈♦✐' ■✳✺✳✶✮✳ ❈♦♠♠❡ ♥♦✉/

❧✬❛✈♦♥/ ✈✉ ♣❧✉/ ❤❛✉&✱ ✐❧ ❡/& ❞P > ❋✐/❤❡' ❞✬✉♥❡ ♣❛'&✱ ❑♦❧♠♦❣♦'♦✈✱ S❡&'♦✈/❦✐✐

❡& S✐/❝♦✉♥♦✈ ❞✬❛✉&'❡ ♣❛'&✳ ■❧ ❡/& ♣♦✉' ❝❡&&❡ '❛✐/♦♥ ❞,♥♦♠♠, ❋✐/❤❡'✕❑SS✳

✷✳ ❯♥ ❛✉&'❡ &❡'♠❡ ❞❡ ',❛❝&✐♦♥ ❝❧❛//✐0✉❡ ❡/& ✉♥ &❡'♠❡ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ❞✉ &'♦✐/✐B♠❡

❞❡❣',✱ ✐♥&'♦❞✉✐& ♣❛' ❋✐&③❍✉❣❤ ❡& ◆❛❣✉♠♦ ❝♦♠♠❡ ♣❛'&✐❡ ❞✬✉♥ ♠♦❞B❧❡ ♣❧✉/

❝♦♠♣❧✐0✉,✳❖♥ ❧❡ ❞✐& ❛✉//✐ ❜✐/&❛❜❧❡ ✭♦♥ ❡♥ ✈❡''❛ ❧❛ '❛✐/♦♥ ❡♥ ■✳✹✳✶✮ ❡& ✐❧

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R

(u) = u(1 − u)(u − a), ✭■✳✹✮

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❆❧❧❡❡ ✭❝♦'',❧❛&✐♦♥ ♣♦/✐&✐✈❡ ❡♥&'❡ ❧❛ ❞❡♥/✐&, ❞✬✉♥❡ ♣♦♣✉❧❛&✐♦♥ ❡& /♦♥ &❛✉① ❞❡

❝'♦✐//❛♥❝❡✮ ❢♦'& ✭❡①✐/&❡♥❝❡ ❞✬✉♥❡ ❞❡♥/✐&, ❝'✐&✐0✉❡ ❡♥ ❞❡//♦✉/ ❞❡ ❧❛0✉❡❧❧❡

❧❛ ♣♦♣✉❧❛&✐♦♥ ❞,❝'♦\&✮✳ ◆♦✉/ ❛❧❧♦♥/ ✈♦✐' 0✉❡ ❝❡ &❡'♠❡ ❞❡ ',❛❝&✐♦♥ ♣❧✉/

❝♦♠♣❧✐0✉, ❝♦♥❞✉✐& > ✉♥❡ &❤,♦'✐❡ ❡♥ ❢❛✐& ♣❧✉/ /✐♠♣❧❡✱ ❝❡ 0✉✐ ♠♦&✐✈❡ ❞❡ ❧❛

♣',/❡♥&❡' ❡♥ ♣'❡♠✐❡' ❞❛♥/ ♥♦&'❡ ❡①♣♦/,✳

✸✳ ▲❡ &'♦✐/✐B♠❡ &❡'♠❡ ❞❡ ',❛❝&✐♦♥ 0✉❡ ♥♦✉/ ♣',/❡♥&♦♥/ ♠♦❞,❧✐/❡ ✉♥❡ ❝♦♠❜✉$✲

*✐♦♥✳ ❖♥ /❡ ❞♦♥♥❡ ✉♥❡ &❡♠♣,'❛&✉'❡ /❡✉✐❧ θ

✭♣'✐/❡ ♥♦'♠❛❧✐/,❡ ❡♥&'❡ 0 ❡&

1 ✮ &❡❧❧❡ 0✉✬❛✉❝✉♥❡ ',❛❝&✐♦♥ ♥✬❛ ❧✐❡✉ ❡♥✲❞❡]> ❞✉ /❡✉✐❧ ✭/✐ ♦♥ ♥❡ ❝❤❛✉✛❡ ♣❛/

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❡& R(u ) > 0 ♣♦✉' θ

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✐♥&'♦❞✉✐& ♣❛' ❩❡❧❞♦✈✐❝❤ ❡& ❋'❛♥❦✲❑❛♠❡♥❡&/❦✐✐ ❬❩❡❧✾✷❪✳

■✳✷✳ ❉$✜♥✐(✐♦♥* ✺

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

❋✐❣✉$❡ ■✳✶ ✕ ❚❡0♠❡* ❞❡ 0$❛❝(✐♦♥✳

❉❛♥* ❧❛ *✉✐(❡ ❞❡ ❝❡ ❝❤❛♣✐(0❡✱ ♥♦✉* ❛❧❧♦♥*

✶✳ ❞♦♥♥❡0 :✉❡❧:✉❡* ❞$✜♥✐(✐♦♥* ❝♦♥❝❡0♥❛♥( ❧❡* $:✉❛(✐♦♥* ❝♦♥*✐❞$0$❡*✱

✷✳ ♣0$*❡♥(❡0 ❧❡* 0$*✉❧(❛(* ❞✬❡①✐*(❡♥❝❡✱

✸✳ ❞✐*❝✉(❡0 ♣❧✉* ♣0$❝✐*$♠❡♥( ❞❡* *♦❧✉(✐♦♥* ♣0♦❣0❡**✐✈❡* ✭❡( *(❛(✐♦♥♥❛✐0❡*✮ ❡(

✹✳ ❞✐*❝✉(❡0 ❞❡ ❧✬❡①✐*(❡♥❝❡ ❞❡ *♦❧✉(✐♦♥* ❡①♣❧✐❝✐(❡*✳

♣

♣ ♣

■✳✷ ❉$✜♥✐(✐♦♥*

❉$✜♥✐(✐♦♥ ✶ ✭❖♥❞❡ ♣0♦❣0❡**✐✈❡✮ ✿ ❖♥ ❛♣♣❡❧❧❡ ♦♥❞❡ ♣%♦❣%❡''✐✈❡ ✉♥❡ *♦❧✉(✐♦♥ ❞❡

✭■✳✶✮ ❞❡ ❧❛ ❢♦0♠❡

u(x, t ) = U(z), z = x − ct, ✭■✳✺✮

❛✈❡❝ c ✉♥❡ ❝♦♥*(❛♥(❡ ❛♣♣❡❧$❡ ✈✐*❡''❡ ❞❡ ❧✬♦♥❞❡ ♣0♦❣0❡**✐✈❡✳

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♠♦❜✐❧❡✱ 0❡♣H0❡ :✉✐ *❡ ❞$♣❧❛❝❡ I ✈✐(❡**❡ c ♣❛0 0❛♣♣♦0( ❛✉ 0❡♣H0❡ ❝❛♥♦♥✐:✉❡ ❞❛♥*

❧✬❡*♣❛❝❡ (x, t)✳ ❖♥ $❝0✐(

u(x, t) = ˜ u(z, t), z = x − ct ,

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∂

u ˜ = ∆

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u ˜ + s R(˜ u). ✭■✳✻✮

➚ ✉♥❡ *♦❧✉(✐♦♥ ♣0♦❣0❡**✐✈❡ ❞❡ ✭■✳✶✮ ❝♦00❡*♣♦♥❞ ❞♦♥❝ ✉♥❡ *♦❧✉(✐♦♥ *(❛(✐♦♥♥❛✐0❡ ❞❡

✭■✳✻✮ ✿

∆

u ˜ + c ∂

˜ u + s R(˜ u) = 0,

❡( 0$❝✐♣0♦:✉❡♠❡♥(✳

❉$✜♥✐(✐♦♥ ✷ ✭❋0♦♥(✮ ✿ ❖♥ ❛♣♣❡❧❧❡ ❢%♦♥* ✉♥❡ ❢♦♥❝(✐♦♥ ♠♦♥♦(♦♥❡ *✉0 R ❛❞♠❡((❛♥(

❞❡* ❧✐♠✐(❡* ✜♥✐❡* ❡♥ ±∞✳

✻ ❈❤❛♣✐&'❡ ■✳ ❚❤,♦'✐❡ ❞❡/ ,0✉❛&✐♦♥/ ❞❡ ',❛❝&✐♦♥✲❞✐✛✉/✐♦♥

◆♦✉/ ✈❡''♦♥/ 0✉❡ ❧❡/ ,0✉❛&✐♦♥/ ,&✉❞✐,❡/ ❛❞♠❡&&❡♥& ❞❡/ /♦❧✉&✐♦♥/ ❞❡ &②♣❡ ❢'♦♥&

❡& ♦♥❞❡ ♣'♦❣'❡//✐✈❡ 0✉❡ ♥♦✉/ ❛♣♣❡❧♦♥/ ❢!♦♥$ ♣!♦❣!❡((✐❢✳ ❈❡# ❢%♦♥(# ❝♦♥♥❡❝(❡♥(

❞❡✉① -(❛(# ❞✬-0✉✐❧✐❜%❡ ❞❡ ❧✬-0✉❛(✐♦♥✱ ❝✬❡#(✲6✲❞✐%❡ ❞❡✉① ③-%♦# ❞❡ R ✳ ❆✐♥#✐✱ ♣♦✉% ✉♥

❢%♦♥( ❞-❝%♦✐##❛♥(✱ ♦♥ ❛ ♣❛% ❡①❡♠♣❧❡

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z→+∞

U (z ) = 0

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z→−∞

lim U (z ) = 1 ❡( lim

z→+∞

U (z ) = 0

♦✉

z→−∞

lim U (z ) = 1 ❡( lim

z→+∞

U (z ) = a

♦✉

z→−∞

lim U (z ) = a ❡( lim

z→+∞

U (z) = 0

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∂

u = ∆u + s R(u)

u( · , 0) = u

✭■✳✼✮

◆♦✉$ $✉♣♣♦$♦♥$ >✉❡ f : R 7→ R ❡$( ❞❡ ❝❧❛$$❡ C

❡( >✉❡ u

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❖♥ ♣❡✉( $❡ )8❢8)❡) G ❬❈❍✾✵❪ ♦✉ ❬◗❙✵✼❪✳

♣

♣ ♣

■✳✹ ➱7✉❛(✐♦♥ ❜✐$(❛❜❧❡

❈♦♠♠❡ ♥♦✉$ ❧✬❛✈♦♥$ ❡①♣❧✐>✉8✱ ♥♦✉$ ❝♦♥$✐❞8)♦♥$ ❞✬❛❜♦)❞ ❧✬8>✉❛(✐♦♥ ❜✐$(❛❜❧❡

G ❞✐✛✉$✐✈✐(8 ❡( )8❛❝(✐✈✐(8 ✉♥✐(❛✐)❡$ ✿

∂

u = ∆u + u (1 − u)(u − a) ✭■✳✽✮

♦R a ❡$( ✉♥❡ ❝♦♥$(❛♥(❡ ♣♦$✐(✐✈❡ >✉❡ ♥♦✉$ ♣)❡♥♦♥$ ❝♦♠♣)✐$❡ ❡♥()❡ 0 ❡( 1 $()✐❝(❡✲

♠❡♥(✳

■✳✹✳✶ ➱%❛%' '%❛%✐♦♥♥❛✐+❡' ❡% '%❛❜✐❧✐%/

❊♥ )8❣✐♠❡ $(❛(✐♦♥♥❛✐)❡✱ ❧❛ ❢♦♥❝(✐♦♥ u ✈8)✐✜❡

∆u + u(1 − u)(u − a) = 0.

❈❡❧❛ ❡$( ❡♥ ♣❛)(✐❝✉❧✐❡) ❧❡ ❝❛$ ❧♦)$>✉❡ u ≡ 0 ✱ u ≡ a ♦✉ u ≡ 1 ✳ ◆♦✉$ ❛♣♣❡❧♦♥$

❝❡$ 8(❛($ ❧❡$ 8(❛($ $(❛(✐♦♥♥❛✐)❡$ ❞❡ ❧✬8>✉❛(✐♦♥ ❡( ✈♦✉❧♦♥$ ♠❛✐♥(❡♥❛♥( )❡❣❛)❞❡)

❧❡✉) $(❛❜✐❧✐(8✳ ➱❝)✐✈♦♥$ ♣♦✉) ❝❡❧❛ u = u

+ v ✱ ♦R u

❡$( ❧✬✉♥ ❞❡$ ()♦✐$ 8(❛($

$(❛(✐♦♥♥❛✐)❡$✱ ❡( v ✉♥❡ ♣❡(✐(❡ ✈❛)✐❛(✐♦♥ ❛✉(♦✉) ❞❡ ❝❡( 8(❛(✳ ❊♥ )❡♠♣❧❛V❛♥( ❞❛♥$

❧✬8>✉❛(✐♦♥✱ ✐❧ ✈✐❡♥(

∂

v = ∆v + R

(u

+ v)

❖♥ ❡♥ 8❝)✐( ✉♥ ❞8✈❡❧♦♣♣❡♠❡♥( ❧✐♠✐(8 R

(u

+ v) = R

(u

) + R

(u

)v + O(v

)

❡( ♦♥ ♦❜(✐❡♥( ❞♦♥❝

∂

v = ∆v + R

(u

)v + O(v

)

❊♥ ♣)❡♠✐-)❡ ❛♣♣)♦①✐♠❛(✐♦♥✱ ♦♥ ❛ ∂

v = ∆v + R

(u

)v ✳ ❯♥❡ ❢❛♠✐❧❧❡ ❞❡ $♦❧✉(✐♦♥$

❞❡ ❝❡((❡ 8>✉❛(✐♦♥ ❧✐♥8❛✐)❡ ❡$( ❞♦♥♥8❡ ♣❛) v

(x, t) = exp(ikx +ωt) ♣♦✉) k ∈ R ✱ ♦R