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Epreuve sur dossier – s´eance du 10 mars 2010 Th`eme : Probabilit´es conditionnelles L’exercice.

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Academic year: 2022

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Epreuve sur dossier – s´ eance du 10 mars 2010 Th` eme : Probabilit´ es conditionnelles

L’exercice.

Lors d’une campagne ´ electorale deux listes A et B s’affrontent lors de joutes oratoires quo- tidiennes. Chaque jour de campagne on interroge un ´ electeur pris au hasard et on d´ efinit les

´ ev` enements suivants :

• A

n

: l’´ electeur est favorable ` a la liste A au n-i` eme jour de campagne ;

• B

n

: l’´ electeur est favorable ` a la liste B au n-i` eme jour de campagne ;

On note p

n

et q

n

les probabilit´ es des ´ ev` enements A

n

et B

n

et on admet que chaque ´ electeur ne se d´ etermine que pour les listes A et B.

Les arguments des uns et des autres sont si convaincants et les ´ electeurs si ind´ ecis qu’` a l’issue de chaque jour de campagne 20% des ´ electeurs favorables ` a la liste A et 30% des ´ electeurs favorables

`

a la liste B changent d’avis pour le jour suivant.

1. On suppose que le premier jour de campagne 10% de la population est favorable ` a la liste A.

Calculer les valeurs p

4

et q

4

.

2. Calculer p

n+1

en fonction de p

n

et q

n

. V´ erifier p

n+1

= 0, 5 p

n

+ 0, 3.

3. On veut conjecturer la liste gagnante.

(a) D´ eterminer une valeur de x telle que la suite u

n

= p

n

− x soit g´ eom´ etrique.

(b) En d´ eduire la limite de la suite p

n

. Conclure.

Le travail ` a exposer au jury.

• A quel niveau de la scolarit´ e peut-on proposer un tel exercice?

• Indiquer les m´ ethodes et les savoirs mis en jeu dans l’exercice.

• Proposer une autre r´ edaction de la question 3 faisant intervenir un raisonnement par r´ ecurrence.

• Proposer plusieurs exercices sur le th` eme ”Probabilit´ es conditionnelles”.

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